noch eine stetige Zufallsgröße und sie heißt wieder x und ich gebe folgende Wahrscheinlichkeitsdichte an.

Hier mit einer Stückweise definierten Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte ist 0, wenn das x kleiner ist als 2. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ebenfalls 0, wenn das x größer ist als 4 oder sogar gleich 4 ist. Und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine konstante, mal x minus 2, wenn das x zwischen 2 und 4 liegt.

Eine stückweise definierte Funktion. Aus irgendwelchen physikalischen Theorien kriegt man typischerweise solche Wahrscheinlichkeitsdichten, in denen noch irgendwelche Faktoren stecken.

Deshalb lasse ich das extra mal so stehen. Bestimmen Sie dieses C und dann schaffen Sie es vielleicht sogar noch, den Median zu bestimmen. Und wir vertagen Erwartungswert und Varianz auf den nächsten Termin.

Diese Kurve, oder Kurve in Anführungszeichen, sieht ja so aus. Von 2 bis 4 habe ich eine Gerade. Sie sehen, wo die Gerade losgeht. Bei 0 geht sie los. Hier ist die 2, da ist die 4. Ich habe hier eine Gerade. Die darf nicht jetzt negativ gehen.

Wahrscheinlichkeitsdichte darf ich negativ sein, sonst kriege ich negative Wahrscheinlichkeiten raus. So läuft meine Gerade. Ansonsten ist das Ding immer 0. So sieht meine Wahrscheinlichkeitsdichte aus.

Und ich möchte jetzt, die meisten von Ihnen haben es mit Integral gelöst, aber es geht ohne Integral, das möchte ich hier vorführen. Ich möchte jetzt, dass diese Fläche 1 ist. Und diese Fläche soll 1 sein. Ein Dreieck, das 2 breit ist, muss dann 1 hoch sein, damit es die Fläche 1 hat. 2 breit, 1 hoch stellen Sie sich das vor. Das wäre ein Rechteck mit der Fläche von 2, wenn das 1 hoch ist. Die Hälfte davon ist ein Dreieck.

Also das hier soll 1 hoch sein. Wenn ich 4 einsetze, soll 1 rauskommen. 4 minus 2 C muss ein Halb sein. Das geht auch mit einem Integral, lohnt sich aber nicht mit einem Integral.

Der Median muss so liegen, dass die Fläche 50-50 aufgeteilt ist. Der Median ist der x-Wert oder der Wert der Zufallsgröße, sodass die Hälfte der Versuche ein kleineres Resultat liefert und die andere Hälfte ein größeres. Wenn genauer der Median rauskommt, müssen wir auch nochmal diskutieren, aber hier

ist es egal. 50 Prozent weniger, 50 Prozent mehr, da liegt der Median. Was heißt das mit Integralen hingeschrieben? Also das Integral bis zum Median muss ein Halb sein. Hier diese Fläche hier muss ein Halb sein, die Fläche darüber muss ein Halb sein, das schreiben Sie hin.

Hier die Fläche von 2 aufwärts muss ein Halb sein, also von 2 bis zum Median. Ich schreibe mal gerade nur groß M. Die Fläche unter dieser Funktion, ein Halb mal x minus 2, wir wissen ja schon C ist ein Halb. Sie könnten das geometrisch machen mit diesem Dreieck oder Sie machen das mit dem Integral.

Ich ziehe den Faktor ein Halb vor das Integral, dann steht da x minus 2 dx im Integral, macht ein Halb jetzt hier eine Stammfunktion. Dann haben wir es ganz zu Fuß, x Quadrat halbe minus 2x als Stammfunktion von 2 bis M.

Dann haben wir da ein Halb, so jetzt muss ich einsetzen, M Quadrat halbe minus 2 mal M, M eingesetzt, 2 einsetzen, abziehen, minus, also 4 halbe, den abziehen, macht plus 4, wenn ich 2 einsetze, können wir das irgendwie noch retten.

Dann haben wir hier M Quadrat Viertel minus 2 M halbe, also M. Hier ziehen wir 2 ab, wir addieren 4 drauf, haben wir insgesamt 2 drauf gezählt, plus 2 halbe, also plus 1 habe ich hier dann. Das soll ein Halb sein, M Quadrat minus M plus 1 soll ein Halb sein, dann ist M der Median, das schreibe ich nochmal hin.

Das bedeutet nämlich, dass M Quadrat durch 4 minus M plus ein Halb gleich Null ist. Ich bringe diese ein Halb auf die andere Seite, jetzt habe ich eine fast handelsübliche quadratische Gleichung,

alles mal 4, M Quadrat minus 4, M plus, alles mal 4, dann steht hier 2 ist gleich Null, und bq-form, ich finde M ist gleich den hier halbierenden Minuszeichen, also 2, das ist schon mal gut, 2 war die linke Grenze,

plus minus Wurzel, den quadrieren, 4, den abziehen, minus 2, macht also 2 plus minus Wurzel, 2. Ich kriege 2 Resultate, Überraschung, welches von diesen beiden Resultaten ist blödsinnig?

Das unter 2 ist natürlich blödsinnig, 2 plus Wurzel 2, 2 plus Wurzel 2 wird der Median sein, 2 plus 1,4 noch was, 3,4 irgendwas, das kommt hin. Das unter 2 ist offensichtlich ein Blödsinn, ich löse hier zwar diese Gleichung, aber Sie sehen, ich habe eine wesentliche Geschichte vergessen.

Wenn ich das so hinschreibe, ich muss fordern, dass M größer ist, oder zumindest größer gleich 2 ist, sonst ergibt diese ganze Rechnung hier keinen Sinn. Größer gleich 2 und sogar auch noch kleiner 4, sonst kann ich ja meine Funktion hier gar nicht so einsetzen. Das habe ich hier weggelassen, anschaulich ist klar, 2 plus Wurzel 2, nicht 2 minus Wurzel 2.