Gucken Sie sich mal folgende drei Funktionen an. Alle sollen von den reellen Zahlen nach den reellen Zahlen gehen. Die erste soll sein, x wird abgebildet auf 2 hoch minus 3x. Die zweite soll sein, x wird abgebildet auf ein halb hoch minus 3x.

Und die dritte soll sein, x wird abgebildet auf x minus Betrag x.

Und jetzt überlegen Sie sich ohne grafischen Taschenrechner mal, wie das mit Monotonie aussieht. Welche davon sind monoton steigend, fallend? Welche sind streng monoton?

Und welche sind gar nicht, vielleicht? Mehrere Wege dahin zu kommen. x wird abgebildet auf 2 hoch x. Das sollte Ihnen zumindest versagen als eine Exponentialfunktion üblichen Zuschnitts.

Exponentiales Wachstum, ein bisschen schärfer vielleicht als hier gemalt. x auf 2 hoch x abbilden. 2 hoch 0 ist 1, 2 hoch 1 ist 2, 2 hoch 2 ist 4, 2 hoch minus 1 ist ein halb und so weiter. Von dem Ding weiß ich, es ist streng monoton.

Und zwar wachsend. Wenn Sie versuchen, diese hier auf das zurückzuführen, haben Sie gewonnen. Das kann man auf verschiedene Arten machen. Das sind Minus, könnte man sich irgendwie überlegen als links-rechts spiegeln. Die 3 könnte man sich als Streckenstauchen oder was ähnliches überlegen. Oder Sie können auch versuchen, das hier in irgendwie so und so viel hoch x umzuformen.

Genau so hier, bei dem letzten natürlich nicht. Aber bei den beiden können Sie das in so und so viel hoch x umformen. Vielleicht ist das ein Weg, wenn Sie gar keine Idee haben, wie man dran gehen kann. Bei den meisten sehe ich jetzt zumindest 2 hoch minus etwas ist 1 durch 2 hoch plus etwas.

Soweit sind wir schon da. Jetzt steht da 2 hoch 3x. Das brauchen wir nochmal an Potenzrechen gesetzen. 2 hoch 3x4 sind 2 hoch 12.

Der Witz ist, dass man das anders lesen kann. Das ist 2 hoch 3. 2 hoch 3 hoch 4. Ein Produkt im Exponenten wird zu einer Potenz einer Potenz.

Das war jetzt bei den meisten noch nicht da. Wenn Sie einfach abzählen, 2 hoch 12, 12 mal die 2 hintereinander schreiben. Stattdessen können Sie auch 4 mal 3 mal 2 hintereinander schreiben. 2 hoch 3 hoch 4. 2 hoch 3, 2 hoch 3, 2 hoch 3, 2 hoch 3 hoch 4 muss dasselbe sein.

Potenz einer Potenz ist Produkt der Exponenten. Das hätte ich an der Stelle gerne. Das geht natürlich auch für krumme Zahlen netterweise. Hier 2 hoch 3 mal x muss also sein. 1 durch 2 hoch 3 hoch x.

Jetzt können wir weiter arbeiten. Wie können Sie das jetzt vereinfachen? 2 hoch 3 ist 8. Hier steht also 1 durch 8 hoch x. Ich spreche hier das bewusst mit Pause. 8 hoch x und davon der Kehrwärts. 1 durch 8 hoch x. 1 durch 8 hoch x kann ich als ganz normale Potenz schreiben.

1 durch 8 hoch x, wenn Sie sich das vorstellen. 8 hoch 3. 1 durch 8 hoch 3 sind 1 durch 8 mal 8 mal 8.

Das ist wie viel hoch 3? So billig, ein Achtel hoch 3. Denn hier steht ja, das ist ein Achtel mal ein Achtel mal ein Achtel. Netterweise, wenn Sie das haben, 1 durch so und so viel hoch so und so viel.

Können Sie schreiben, 1 durch so und so viel hoch insgesamt so und so viel. Ein Bruch in eine Potenz zu bringen, allgemein. A durch B hoch 3. Ein Bruch in irgendeine Potenz. Zähler und Nenner einzeln potenzieren. Also kriegen wir das hier oben hin.

Das wäre 1 durch 8 hoch x. 2 hoch minus 3x ist nichts anderes als 1 durch 8. Ein Achtel, toll. Ein Achtel hoch x. Wie verläuft ein Achtel hoch x? Den male ich nochmal auf. Ein Achtel hoch x.

Ein Achtel hoch x. Wenn Sie 0 einsetzen, wenn Sie 0 einsetzen, ein Achtel hoch 0. Wie bei allen anderen Zahlen wird das 1 werden. So, ein Achtel hoch 0 ist 1. Wenn Sie x gleich 1 einsetzen,

kriegen Sie wie viel raus? Korrekt, ein Achtel. Irgendwas hoch 1 ist die Zahl selbst. In diesem Fall ein Achtel. Wenn Sie x gleich 2 einsetzen, kriegen Sie wie viel raus? Korrekt, ein 64. Ein Achtel ins Quadrat. Ein 64.

So, wenn Sie minus 1 einsetzen, minus 1 einsetzen, der Kehrwert von ein Achtel, ein Achtel, davon der Kehrwert. Der Kehrwert von ein Achtel ist 8. Bei minus 1 kriegen Sie 8 raus. Na toll.

Und bei minus 2, 64. Genau. Ganz weiter oben. Dann braucht man hoffentlich nicht zu viel Fantasie. Eine fallende Exponentialfunktion. Wenn die Basis, also was hier hoch x genommen wird, wenn die Basis kleiner ist als 1,

zwischen 0 und 1 ist, haben Sie eine fallende Exponentialfunktion. Exponentialen Zerfall. Einfach falsch rum. Kein exponentielles Wachstum, sondern exponentiellen Zerfall. So wird das aussehen. Und das ist offensichtlich streng monoton fallend. Und nichts anderes. Und hat keinen Huckel zwischendrin.

Oder ähnliches. Das ist dann kein offizieller Beweis, dass das streng monoton fallend ist. Aber wer will dafür einen Beweis? Das ist offensichtlich. So, den Nächsten überlegen Sie sich auf dieselbe Art. Den Dritten finden Sie hoffentlich auf eine andere Art.

Ja, also dieselbe Rechnung. Im Prinzip hoch minus heißt ja den Kehrwert 1 durch 1,5 hoch 3x a hoch minus b ist 1 durch a hoch b.

Das Minus wird zum Kehrwert. Jetzt kann ich hier unten wieder hoch 3 hoch x schreiben. Das ist 1 durch 1,5 hoch 3 hoch x. Ihr seht, ich brauche unbedingt die Klammern. Sonst habe ich da nachher nur stehen

ist ein 1 hoch 3 durch 2 hoch x. Das funktioniert nicht ohne Klammern. Ich brauche unbedingt die Klammern da unten. 1,5 hoch 3 hoch x. 1,5 hoch 3 kann ich ausrechnen. Das ist ein Achtel. Dann habe ich also 1 durch ein Achtel. Ein Achtel hoch x ist 1 durch 8 hoch x.

1 durch 1 durch 8 hoch x. Insgesamt bin ich bei 8 hoch x. Und das ist eine ganz normale Exponentialfunktion mit einer Basis größer als 1, die ist streng monoton wachsend.

Man könnte auch total anders dran gehen. Man könnte sagen, 1,5 hoch x ist exponentieller Zerfall. Minus kippt links rechts um und die 3 beschleunigt das Ganze. So habe ich es jetzt mit den Potenzrechengesetzen vorgeführt.

Das war mir nochmal ganz wichtig, dass Sie nochmal die Potenzrechengesetze in Aktion sehen. Soweit mit den Potenzen. Ok hier. Der letzte ist von ganz anderem Kaliber. x minus Betrag x. Ich male es mal insgesamt auf. x minus Betrag x.

Die Betragsfunktion. Y gleich Betrag von x. Wo ich jetzt bei einigen schon das richtig gesehen habe. Und die Funktion

y gleich x. Y gleich x. Und jetzt interessiert mich y ist gleich x minus Betrag x. Können Sie ja dann rein geometrisch bilden. Was mache ich mit der blauen Kurve in Anführungszeichen und der grünen Kurve

um die Differenz zu bilden. Was kommt raus auf der blauen Kurve für dieses x? Was kommt raus aus der grünen? Für dieses x dasselbe. Wenn Sie die voneinander abziehen. 0. Auf der rechten Seite für positive x-Werte kommt die ganze Zeit 0 raus. 5 minus Betrag

von 5. 0. 7 minus Betrag von 7. 0. Egal welche positive Zahl ich nehme. Der Betrag ist gleich der Zahl selbst. Ich ziehe die voneinander ab, kriege 0 raus. Wenn ich 0 einsetze, 0 minus Betrag von 0, kommt auch 0 raus. Für negative x passiert etwas anderes. Wenn hier nochmal minus 3 steht

und der Betrag von minus 3 ist 3, den ziehe ich ab. Habe ich minus 6. Ich verdoppe die negativen x. Oder mit den Kurven hier. Ich starte auf der grünen Kurve. Für dieses x starte ich auf der grünen Kurve. Das ist mein y.

Und jetzt ziehe ich das blaue ab. Dieses hier ziehe ich nochmal ab. Den blauen. Zum Schluss habe ich etwas, was doppelt so negativ ist. So wird er aussehen. Und das ist offensichtlich steigend,

monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend. Hier habe ich ein Plateau. Es ist also nur monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend. Oder wachsend, was auch immer Sie sagen wollen.