So, mal was, was nicht ganz so leicht ist. Ich wüsste gerne alle komplexen Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft. Ich wüsste gerne alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft, dass deren vierte Potenz gleich i mal deren zweite Potenz ist.

Versuchen Sie, die mal zu bestimmen. Dann auch einzuzeichnen, vielleicht sogar auszurechnen, welche komplexen Zahlen z haben diese Eigenschaft, die vierte Potenz ist i mal die zweite Potenz.

Also, Vorsicht, wenn Sie durch z² teilen, wenn z nicht 0 ist, dann können Sie durch z² teilen, aber wenn z 0 ist, dann sollten Sie nicht durch z² teilen. Gefährlich. Ich würde es so rum machen. Z hoch 4 minus i mal z² ist gleich 0. Einfach i mal z² rüberbringen. Da kann ich ausklammern, z² ausklammern, z² mal

z² minus i ist gleich 0. So ein Produkt soll 0 werden. Wann wird z² gleich 0?

Z², wir wissen ja schon, wie das geht. Wenn Sie eine komplexe Zahl haben, wie geht das Quadrat? Doppelter Winkel und quadrierte Länge. Wenn z² 0 wird, ist z 0. Das ist die einzige Chance. Also z 0 oder das in den Klammern gleich 0. Da bin ich jetzt. Es ist z gleich 0.

Oder es ist das in den Klammern hier gleich 0. Ich will sagen z² ist gleich i. Z² ist gleich i. Jetzt stehe ich hier und brauche die Wurzeln im Plural. Die Wurzeln aus i. Jetzt die zweiten Wurzeln aus i.

Die Zahl i, da liegt sie. Hier liegt die Zahl i. Das ist immer so ein bisschen irritierend. Der Imaginierteil ist 1, aber die Zahl, die an der Stelle liegt, heißt i.

Sie gehen auf der Imaginierenachse mit den ganz normalen Zahlen durch. Da ist der Imaginierteil minus 1, da ist er 0, da ist er 1, 2, 3. Aber die Zahl, die da liegt, ist so und so viel plus i, plus 2i, plus 3. Hier liegt die Zahl i. Wo finde ich die Wurzeln von i?

Es ist wirklich so billig. Kostet Überwindung, aber ich hoffe, dass es dann so billig wird, wie es auch ist. Die Zahl i ist eine komplexe Zahl mit der Länge 1 und dem Winkel 90 Grad. Wie finde ich den ersten Kandidaten für eine Wurzel, für eine Quadratwurzel? Ich ziehe die Wurzel aus der Länge.

Wurzel aus 1 bleibt 1 und ich halbiere den Winkel. 45 Grad, Länge 1. Das wäre mein erster Kandidat für eine Wurzel von i. Wenn Sie diese Zahl nehmen mit Länge 1 und 45 Grad Winkel und Quadrieren, Länge Quadrieren bleibt 1, Winkel verdoppeln. Sie liegen bei i. Und das andere ist offensichtlich die hier.

Sie nehmen die Hälfte der kompletten Umdrehung dazu. Eben bei der dritten Wurzel hat man ein Drittel der kompletten Umdrehung. Jetzt haben wir die Hälfte der kompletten Umdrehung, 180 Grad dazu. Länge 1 einfach auf der anderen Seite. Einfach das Negative. Und das Negative, das Minuszeichen, fliegt natürlich weg, wenn Sie quadrieren. Also das hier sind die

Quadratwurzeln der Zahl i. Diese und diese hier. Und das sollten Sie inzwischen mitgekriegt haben. 45 Grad Hypotenuse 1. Diese Länge ist 1 durch Wurzel 2 und diese Länge ist 1 durch Wurzel 2. Sinus, Cosinus 45 Grad.

Also habe ich z ist gleich 0 oder z ist gleich diese Wurzel der Zahl i nämlich 1 durch Wurzel 2

plus 1 durch Wurzel 2i. Oder das Negative davon. z ist gleich Minus 1 durch Wurzel 2, minus 1 durch Wurzel 2i. Das ist der da unten. Drei Lösungen für diese Gleichung. Wenn Sie so wollen, z gleich 0 ist eine doppelte Nullstelle. Wenn ich das hier sehe, würde ich eigentlich erst mal vier Lösungen erwarten.

Denken Sie an den Fundamentalsatz der Algebra. Eigentlich haben wir das Recht auf vier Lösungen, aber hier dieses z gleich 0 ist eine doppelte Lösung.