Nochmal das Newton-Verfahren im Schnelldurchgang. Ich habe eine Funktion gegeben und gesucht ist eine Nullstelle dieser Funktion. Wie kann ich eine Nullstelle meiner Funktion, nennen wir sie f, sehr überraschend, wie kann ich eine Nullstelle meiner Funktion finden? Und der Gedanke bei dem Newton-Verfahren ist, man nimmt eine Stelle, von der man weiß, dass sie ungefähr in der richtigen Größenordnung liegt,

als Ausgangspunkt, und arbeitet sich dann weiter. Und zwar so, indem man eine Tangente an die Kurve legt, an dieser Stelle, mal gerade gucken, wo sie am besten liegen würde, ja, so was, vielleicht so was, naja, bisschen großzügig,

man legt eine Tangente an die Kurve und guckt, wo die Tangente die x-Achse schneiden würde. Wenn das schon dicht beieinander ist hier, wenn mein versuchter Wert schon dicht an der Nullstelle ist,

und die Kurve hier nicht allzu fürchterlich krüngerlich ist, sondern relativ glatt ist, dann ist der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse und die Nullstelle doch ziemlich dicht beieinander. Ausnahmen muss ich gleich nochmal sagen, aber typischerweise wird das der Fall sein. Damit habe ich einen zweiten Kandidaten, der hoffentlich besser ist als der erste Kandidat.

Dichter an der Nullstelle liegt als der erste Kandidat, oder der Null, ich habe jetzt die Startstelle als Null bezeichnet. Das macht man jetzt weiter, man guckt sich da die Tangente an, an dieser Stelle mit der Nummer eins, und untersucht, wo die die x-Achse schneidet, das ist mein nächster Kandidat, und so weiter und so weiter.

Das wird sich hoffentlich sehr schnell zusammenziehen, das haben wir eben auch gesehen. Die Zahl der gültigen Dizimalstellen verdoppelt sich typischerweise in jedem Schritt bei diesem Verfahren. Das ist spannend, es ist richtig super schnell, wenn man nicht gerade irgendein Problem damit hat mit dem Verfahren. Es gibt einige problematische Situationen, da muss ich gleich noch etwas dazu sagen.

So, und von der Gleichung her ist das relativ billig. Ich gebe x-Null vor, ich frage mich, was ist x-1? Wenn Sie sich folgendes Dreieck angucken, dieses Dreieck hier, dann sehen Sie, dass die untere Seite x-Null minus x-1 ist.

Das ist die untere Seite, x-Null minus x-1, hier unten. Wie lang ist, oder untere Kathete, sollte ich sagen, die horizontale Kathete. Wie können Sie die vertikale Kathete hier ausdrücken, die Seite von x-Null.

Ja, der Funktionswert an der Stelle x-Null. Und dann kann man sich jetzt noch das Verhältnis angucken, diese Kathete zu der Kathete ist was? Genau, das ist die Tangentensteigung, lustigerweise, f' von x-Null. Die rote Gerade soll die Tangente an der Stelle x-Null gewesen sein.

Dann sehen Sie, habe ich hier ein Steigungsdreieck, ein bisschen monströs groß, aber das ist ein Steigungsdreieck. Und das löst man jetzt einfach auf nach x-1. Man findet also der nächste Kandidat, hier der nächste Kandidat x-1, wird sein x-Null minus das Verhältnis aus Funktion zu Steigung.

Das ist das Newton-Verfahren. f von x-Null durch f von x-Null steht da hinten. Der nächste Schritt geht genauso, x-2 ist x-1 minus das Verhältnis von Funktion zu Steigung an der Stelle x-1 und so weiter. Es passiert ja immer wieder dasselbe. Ich bilde die Tangente, gucke wo die Tangente die x-Achse schneidet.

Man redet ständig diese Gleichung wieder neu. x-2 ist gleich x-1 minus f von x-1 durch f' von x-1. x-3 ist gleich x-2 minus f von x-2 und so weiter und so weiter. Das rechnet man so lange, bis es hinreichend genau ist. Und wie gesagt, typischerweise verdoppelt sich die Zahl der gültigen Stellen bei jedem Schritt.

Das heißt, das macht man vier-, fünfmal, sechs-, siebenmal, wenn es ganz schlimm wird. Und hat nun wirklich genug gültige Stellen. Das ist die Idee hinter dem Newton-Verfahren oder Newton-Raphson im Vollergenz. Aber typischerweise sagt man Newton-Verfahren. Ein Verfahren um Nullstellen von Funktionen zu suchen, numerisch zu suchen.

Ich habe hier keine schöne Gleichung, wo dann komplett steht, die Nullstelle ist an dieser Stelle. So rechne ich die aus, sondern ich nähere mich approximativ, iterativ, in Schritten.

Und komme eigentlich nie an bei den üblichen Funktionen. Ich sollte noch sagen, was schiefgehen kann. Bevor wir jetzt mal ein Beispiel dazu machen, was schiefgehen kann. Was passiert, wenn Sie hier oben starten würden? Wenn das hier mein x0 wäre. Wenn Sie hier in so einer Situation starten, haben Sie das Problem, dass Sie eine sehr flache Tangente gerade kriegen.

Vielleicht nicht unbedingt mit Steigung 0, aber sehr flach reicht auch. Wenn das meine Tangente gerade ist, geht der Schnittpunkt mit der x-Achse sonst wo liegen. JWD, wie man so Berlinerisch sagt. Die Ableitung hier wird dicht bei Null liegen. Ich teile durch einen Wert, der dicht bei Null liegt.

Das fliegt mir um die Ohren. Ein Problem. Wenn die Ableitung dicht bei Null liegt, lande ich sonst wo. Verbunden damit, wenn meine Funktion hier nicht so schön glatt durch die Achse geht, wenn meine Funktion die Achse nur berührt,

ist das Verfahren nicht allzu effizient. Ich bilde hier die Tangente, lande da. Dann bilde ich hier die Tangente, lande da. Das könnte eigentlich ein bisschen schöner sein. Also es gibt Situationen, in denen das Newton-Verfahren nicht gerade so schön ist. Typischerweise ist es richtig klasse. Das ist das Verfahren der Wahl, wenn man kompliziertere Gleichungen zu lösen hat.

Wir gucken jetzt nochmal ein Beispiel an. Hier können Sie mit dem Newton-Verfahren die Wurzel 5 ausrechnen. Ich schreibe mal, Wurzel 5 ist gleich x. Und zwar auf einem dummen Rechner ausrechnen, nur mit Plus, Minus, Mal und geteilt.

Das ist das, was die ganz einfachen Microcontroller können, die praktisch nichts kosten und auch praktisch keinen Strom verbrauchen. Die können nur die Grundrechenarten, wie so ein Werbegeschenkstaschenrechner. Wie kann ich die Wurzel mit Grundrechenarten ausrechnen? Das geht mit dem Newton-Verfahren.

Das schreiben Sie mal hin. Das wandeln Sie um in eine Nullstellensuche. Und dann baut man aus der Nullstellensuche ein Lösungsverfahren mit Herrn Newton. Das ist hoffentlich ganz banal, wenn man es einmal gesehen hat. Wie mache ich eine Nullstellensuche daraus mit hübschen Funktionen,

nicht mit der Wurzel x² minus 5 ist gleich 0. Ich suche eine Stelle, an der die Funktion x² minus 5 0 wird. Das ist Pluswurzel 5 und Minuswurzel 5. Wir müssen gleich ein bisschen aufpassen, dass wir nicht Minuswurzel 5 rauskriegen. Das ist aber kein großes Drama. Wenn ich eine Nullstelle dieser Funktion gefunden habe,

habe ich Wurzel 5. Oder mit Pech Minuswurzel 5. Sie sehen, hier komme ich mit Plusminusmargeteil zur Rande. Das ist eine ganz aller Weltsfunktion. Also das Newton-Verfahren mal auf diese Nullstellensuche anwenden.

Ich habe gar nicht daran gedacht, diese Funktion zu plotten. Das ist ja auch mal eine Idee. Machen wir das mal gerade zuerst. Eine quadratische Parabel, Normalparabel, um 5 nach unten verschoben. Bei minus 5 geht er durch die y-Achse.

Hier ist irgendwo die 1, da ist irgendwo die 2. Wenn Sie 2 einsetzen, 4 minus 5, kriegen Sie minus 1 raus. Wenn Sie 3 einsetzen, 9 minus 5, kriegen Sie 4 raus. Das heißt, irgend sowas von der Sorte wird das werden.

Eine um 5 nach unten verschobene Normalparabel. Und was ich jetzt machen würde, ist folgendes. Ich starte bei der 2. Das scheint für mich das Dürmste zu sein. Ich starte bei der 2. Und dann gucke ich eben, was die Tangente ist an die rote Kurve. x² minus 5. Ich gucke, wo die Tangente die x-Achse schneidet.

Und dann gucke ich da wieder nach. Wo ist da die Tangente? Sie sehen, das lässt sich hier schon gar nicht ordentlich zeichnen. So schnell konvergiert das. Ich gucke da nach, wo die Tangente ist. Wo schneidet diese Tangente die x-Achse und so weiter und so weiter. Und dann hat man die Wurzel 5 so genau genug, wie man sie nur haben möchte.

Nicht exakt, aber extrem genau. Wer will schon die millionste Stelle von der Wurzel 5 haben? So. Und jetzt kommt eben das Newton-Verfahren, was genau das tut.

Ich suche mir einen netten Startwert. Ich habe schon gesagt, 2 ist nicht so dumm. Es lohnt sich nicht großartig genau zu sein bei dem Startwert. 2 sieht besser aus als 3. Das Newton-Verfahren arbeitet so schnell, wenn Sie mit 2,5 starten. Der Unterschied zwischen 2 und 2,5 ist für das Newton-Verfahren ziemlich egal. Wie gesagt, die Zahl der gültigen Ziffern verdoppelt sich typischerweise pro Schritt.

Das macht kaum den Braten fett, ob Sie mit 2 oder mit 2,5 starten. Das Spannende an dem Newton-Verfahren ist weniger der Anfangswert, als wie ich von einem zum anderen komme. Von einem zum nächsten komme. Das könnte man jetzt zu Fuß konstruieren.

Wo schneidet die Tangente? Die x-Achse. Typischerweise nimmt man einfach das hier. Der alte x-Wert minus Verhältnis Funktion durch Ableitung am alten x-Wert. Das ist mein neuer Schätzwert. Der alte x-Wert minus Verhältnis von Funktion zu Ableitung. Die Funktion ist natürlich das hier, was auf der linken Seite steht.

x² minus 5 ist meine Funktion. Und hier steht das Verhältnis von Funktion zu Ableitung. x0² minus 5 durch Ableitung 2x0. Den Ableiten 2x minus 5 fällt weg.

Das interessiert mich ja an der Stelle x0. Mein Anfangswert. So kriege ich den nächsten Schätzwert. Gehe von dem Anfangswert so und so viel nach links und rechts. Zum beliebten Thema Klausur. Das Newton-Verfahren ist eines der wichtigsten Lösungsverfahren.

Das allerwichtigste ist wahrscheinlich Gradengleichung. Und dann kommt quadratische Gleichung. Und alle richtigen ernsthaften Gleichungen, wenn man sie am Rechner löst, löst man typischerweise mit dem Newton-Verfahren. Oder es sind ganz massive lineare Gleichungssysteme. Sie werden nächstes Semester. Aber insofern ist das Newton-Verfahren eminent wichtig

und auch garantiert ein klausurrelevanter Stoff. Es ist schwachsinnig, das hier im Einzelnen durchzurechnen. Was ich will, ist, dass Sie verstanden haben, was das Newton-Verfahren macht. Bisher, wenn ich das Newton-Verfahren in der Klausur verlangt habe, habe ich einfach verlangt, dass man den ersten Schritt hinschreibt. Wenn Sie den ersten Schritt hingeschrieben haben,

ist klar, wie die anderen gehen, genauso. Es ist ja immer derselbe Salmon. Die komme ich von x1 zu x2. Ich bilde die Tangente und gucke, wo die Tangente die x-Achse schneidet. Das ist immer derselbe Prozess. Das heißt, x2, den kriege ich als x1 minus,

und jetzt hier x1² minus 5 durch 2, x1. Es ist immer dieselbe Rechnung. Da will ich gleich sowieso noch ein bisschen mehr zu sagen, dass es immer dieselbe Rechnung ist. Das sagt ein bisschen was über das Verfahren. Das ist das Lustige. Ich rechne immer dasselbe, als ob Sie bei einem Taschenrechner tausendmal die Sinus-Taste hintereinander drücken

oder tausendmal die Wurzel-Taste hintereinander drücken. Ich rechne x-mal dasselbe hintereinander. Die Lösung wird mehr und mehr zu Wurzel-5 in diesem Fall. Bevor wir das ausrechnen hier, da jetzt x wirklich einsetzen, das würde ich in der Klausur nicht verlangen, dass Sie das x auch dann tatsächlich einsetzen.

Wozu? Das ist ja einfach auszurechnen. Aber ich will trotzdem heute vorführen, was da passiert. Bevor wir da einsetzen, vereinfachen Sie den mal. Das lässt sich hübsch verschreiben. Also ich nehme den Bruch hier auseinander. Dann habe ich x0- x0² durch 2x0.

Minus, Minus, Vorsicht, Minus, Minus. Also plus 5 durch 2x0. Unten werde ich x0 los. Oben werde ich das Quadrat los.

Jetzt kann ich die beiden ersten zusammenfassen. x0 minus die Hälfte von x0. Ist also x0 halbe plus 5 durch 2x0. So lässt sich das leichter rechnen. Ich brauche die Funktion gleich noch, um Ihnen was anderes zu zeigen. Deshalb der Aufwand. Aber wir können es jetzt auch leichter rechnen.

Wenn ich mit 2 anfange, steht hier 2 durch 2 macht 1 plus 5 viertel sind 9 viertel. Will sagen 2,25. Das ist schon nicht schlecht, 2,25 im allerersten Schritt. Und das x2 wird werden.

x2 rechne ich mit derselben Formel aus. Natürlich damit x1. x1 halbe plus 5 durch 2xx1. x1 halbe plus 5 durch 2xx1. Da setze ich jetzt mein x1 ein. Das waren 9 viertel. Da stehen hier 9 viertel plus 5 durch 2xx1.

Also 18 viertel. 18 viertel. Können wir kürzen. 18 viertel sind 9 halbe.

Dann haben wir zum Schluss 9 viertel plus die 2 kommt ganz nach oben 10 neuntel. Das wird der Schätzwert Nummer 2 sein. Den könnte man jetzt wieder einsetzen und so weiter. Ziemlich zwecklos das zu Fuß zu machen. Sodass sie es einmal gesehen haben hier halt, wie es eigentlich passieren würde, was der Rechner dann macht, wenn man ihn so programmiert.

Solche Gleichungen zu lösen. Zu lösen ist die Gleichung x2 minus 5 gleich 0, eine Nullstellen-Suche. Das kann ich eben auf diese Weise sehr effizient machen. Indem ich mir einen Kandidaten suche, indem ich weiß, dass es ungefähr hinhaut.

2 passt so ungefähr als Startwert. Und dann gehe ich immer aus von dem jeweiligen Wert entlang der Tangenten, wo die x-Achse geschnitten wird. Diese Rechenvorschrift. Immer wieder dieselbe Rechenvorschrift. Und wenn ich das bis ins Endliche mache, komme ich an.

Das mache ich natürlich nicht bis ins Endliche, sondern fünfmal, siebenmal. Und dann reicht mir das an Genauigkeit. Und dieses Verfahren tut jetzt genau das, was ich will. Ich arbeite nur mit plus minus mal geteilt und rechne Wurzel 5 aus. Es dauert zwar unendlich lange, Wurzel 5 auszurechnen, aber ich arbeite nur mit plus.

Minus gesehen, sie kommt hier gerade gar nicht vor. Da steht noch ein Minus drin. Mal, zweimal so und so viel, doch mit geteilt. Mit den Grundrechenarten taste ich mich an die Wurzel 5 heran. Und das sehr schnell. Das sehen wir gleich nochmal. Es wird niemals exakt, aber es geht sehr schnell sehr genau.

So kann zum Beispiel der Computer das machen. Ich hoffe, Sie haben eine Idee, wie man plus minus mal geteilt macht. Wie schriftliches Addieren, Dividieren und so weiter in der Schule, falls das jemals noch dran kam bei Ihnen. Das kann man natürlich programmieren. Das kann der Rechner auch. Und wenn der Rechner die Grundrechenarten kann, sehen Sie, oh, dann kann er auch Wurzel ziehen plötzlich.

Mit diesem Trick. Zwar nicht exakt, aber beliebig genau. Wenn man nur hinreichend viel Zeit investiert und es geht relativ schnell. Ein paar Schritte und dann fertig. Jetzt will ich noch etwas zu dieser Funktion sagen, die hier entsteht. Diese Funktion hier.

Das ist eine spannende Geschichte. x halbe plus fünf durch zwei x. Im nächsten Skript geht es ja um rationale Funktionen. Das hier ist eine rationale Funktion mit sehr interessanten Eigenschaften. Das können wir uns vorab schon mal angucken. x halbe plus fünf durch zwei x als Funktion.

Ein mathematisches Experiment. Was ist hier eigentlich los? Nennen wir die mal g. g von x ist gleich x halbe plus fünf durch zwei x. Diese Funktion wird ja ständig wiederholt.

Ich setze zwei in diese Funktion ein. Und kriege neun viertel raus. Dann setze ich neun viertel in die Funktion ein. Die grün eingekringelte. Und kriege den nächsten Scherzwert raus. Dann setze ich den nächsten Scherzwert wieder ein. Und kriege den übernächsten raus. Diese Funktion ist von großer Bedeutung für dieses Problem.

Die hat irgendwas mit nur zu fünf und mit dem Quadrat zu tun. Ist daraus gewonnen. Die gucken wir uns mal ein bisschen an. Im Sinne der Kurvendiskussion. Eine vernünftige Kurvendiskussion. Man guckt sich gefälligst nur das an, was interessant ist.

Und arbeitet nicht jetzt irgendwelche Rezepte ab. Schaffe das zu zeichnen. Spannend sind nur die positiven x. Dass da auch Minus wo zu fünf rauskommen kann. Ignoriere ich mal. Versuchen Sie mal ein paar wesentliche Eigenschaften dieser Funktion herauszufinden.

Wie verläuft die? Was passiert dicht bei Null? Was passiert im Unendlichen? Da gibt es Punkte dazwischen, die irgendwie spannend sind. Wir lernen nebenbei was über rationale Funktionen.

Wenn x sehr groß wird, ist der zweite Term hier ziemlich egal. Fünf durch zwei mal eine große Zahl. Der wird umso egaler, je weiter man mit x nach rechts geht. Der erste Term ist dann der wichtige. Das gibt eine Asymptote, wie es so schön heißt.

Ich sollte mal zwei Sachen einzeichnen, die ungefähr liegen hier. x halbe wird eine Asymptote werden. Also die Gerade mit der Steigung ein halb durch den Ursprung.

y ist gleich ein halb mal x. Diese Gerade ist eine Asymptote. Begriff kommt in der nächsten Vorlesung. Bei den rationalen Funktionen Asymptote. Ich will sagen eine Kurve, gegen die meine Funktionskurve immer dichter immer dichter strebt.

Die Funktionskurve, wie wird die an diese grüne Gerade gehen? Wird die so daran gehen oder so an die grüne Gerade dran gehen? Also das untere kann keinesfalls sein, das kann nicht sein. Es muss so ungefähr aussehen wie hier oben. Ich nehme ja die Gradengleichung und addiere noch etwas drauf.

Von x halbe gehe ich aus und dann addiere ich noch 5 durch 2x drauf. Ich kann nur oberhalb der grünen Gerade liegen. Ich kann niemals darunter liegen mit meiner Kurve. Zumindest für positive x niemals darunter liegen. Also man weiß, es muss irgendwie so enden, ob es nun genau so endet oder so da endet.

Da muss man gucken, auf jeden Fall ist das hier eine Asymptote. Meine Kurve nähert sich mehr und mehr der grünen Gerade nach rechts ins Unendliche hin. Und zwar von oben, sie geht niemals da durch.

Und hier ist klar, wenn ich x gleich Null einsetze, naja so klar ist es nicht, wie ich gerade eben gesehen habe. Wenn ich x gleich Null einsetze, der erste Term wird Null und der zweite Term ist nicht definiert. Kleines Problem, aber wenn Sie x eine ganz kleine positive Zahl nehmen, ist das hier auch dicht bei Null. Und hier steht 5 durch 2x eine kleine positive Zahl.

Das wird extrem groß. Wir kommen von plusunendlich. Es ist ja auch kein anderer Platz, wir können nicht durch die grüne Kurve durch. Wir kommen von plusunendlich und gehen nach da. Das heißt, es muss mindestens ein lokales Minimum geben. Man könnte Pech haben und das Ding hat mehrere lokale Minima.

Aber diese Funktion, so ein Verlauf, das wäre ein bisschen komisch. Wir werden sehen, es gibt nur ein lokales Minimum. Finden Sie heraus, wo, wo sitzt das lokale Minimum? Das wäre der nächste Teil der Kurvendiskussion an der Stelle.

Ich suche mal nach Stellen mit horizontaler Tangente. Höchstwahrscheinlich gibt es nur eine einzige Stelle mit horizontaler Tangente. Steigung Null. Ich schreibe noch einmal die Funktion hin. g von x ist gleich x halbe plus 5 durch 2x.

Richtig, ja. Die Ableitung ein Halb mal x, eine Gerade mit der Steigung ein Halb durch den Ursprung, hat die Steigung ein Halb. Das ist ja noch einfach. Plus, den hier lesen Sie vielleicht am besten als 5 halbe mal 1 durch x.

5 halbe mal 1 durch x. Und das ist natürlich nichts anderes als 5 halbe mal x hoch minus 1. Und dann geht das mit der Potenzregel. Also 5 halbe mal x hoch minus 1 ableiten, die minus 1 kommt nach vorne. Und der Exponent wird um 1 verringert, x hoch minus 2.

So sieht das aus. Und ich suche nach Stellen mit horizontaler Tangente. Das soll Null werden. Wo wird die erste Ableitung Null? Wie gesagt, mit viel Glück, und das ist hier der Fall, gibt es nur eine Stelle. Da muss man nicht viel nachdenken. So, wenn wir das jetzt hier auseinander bauen.

Mache ich mal klar, welche Gleichung gemeint ist. Diese Gleichung hier meine ich. Null soll also sein. Ein Halb plus 5 halbe mal minus x hoch minus 2. Beide Seiten mal 2 nehmen. Dann steht da 1 minus 5x hoch minus 2 ist gleich Null.

Beide Seiten, mach von mir aus mal x nehmen. Mach mal so, beide Seiten mal x nehmen. x gleich Null, müsste man vorsichtig sein. Aber es kann ja sowieso nicht Null sein, weil ich sonst durch Null teilen würde. Kein Problem. x² minus 5 ist gleich Null.

So habe ich beide Seiten mit x² multipliziert. Null mal x² bleibt Null. So, und hier das wissen Sie jetzt. x² minus 5 gleich Null. Also, x ist gleich Wurzel 5. Oder minus Wurzel 5. Ich glaube, ich wollte ja nur die positiven x angucken. Das heißt, in der Tat bei Wurzel 5 habe ich eine horizontale Tangente.

Das ist lustig. Weil das ist nicht das einzige, was ich über Wurzel 5 rauskriegen kann. Da sollte man ein bisschen geschickter einzeichnen. Wurzel 5 wissen wir ja inzwischen schon. Ist 2, noch was. Wir haben schon einen Näherungswert. 9 Achtel plus 10 Neuntel.

Oder etwas einfacher 2,25 als Näherungswert. Also, bei 2,25 weiß ich, gibt es eine horizontale Tangente. Das vereinfacht die Sache schon mal. So müsste das aussehen. Es gibt auch nur bei 2,25 eine horizontale Tangente. Das heißt, der Verlauf kann nicht so sein.

Es kann nicht mehrere Berge oder Täler geben. Sondern es kann nur ein einziges Tal geben. Das kann auch nicht ein Berg sein. Denn sobald Sie einen Berg haben und Sie müssen nach links rauf und nach rechts rauf, beuchten Sie auch wieder zwei Täler. Es muss ein Tal sein. Das lokale Minimum haben wir damit gefunden.

Und zwar an der Stelle Wurzel 5. Jetzt kann man sich noch überlegen, was kommt denn eigentlich raus, wenn Sie Wurzel 5 einsetzen hier? Was kriegen Sie raus? Genau, bei Wurzel 5 kommt netterweise Wurzel 5 raus. Das ist eine wesentliche Geschichte.

Die Funktion an der Stelle Wurzel 5 ist gleich Wurzel 5. Denn, wir können ja einmal gucken, wo es herkommt. Wenn ich das Newton-Verfahren an der Stelle Wurzel 5 starte, ich bilde die Tangente an der Stelle Wurzel 5 und gucke, wo die Tangente die x-Achse schneidet,

kriege ich ja wieder Wurzel 5 raus. Wenn Sie das an der Nullstelle starten, wenn Sie Glück gehabt haben und es starten an der Nullstelle, bleiben Sie da sitzen an der Nullstelle. Man sieht es auch hier. Wenn x0² gleich 5 ist, ich ziehe 5 ab, dann steht hier 0 durch irgendwas und ich bleibe bei x0 stehen.

Wenn ich auf der Nullstelle starte, bleibe ich bei der Nullstelle stehen, bei dem Newton-Verfahren. Das heißt, diese grüne Funktion hier muss für Wurzel 5 wieder Wurzel 5 liefern. Wenn ich Wurzel 5 einsetze, kriege ich Wurzel 5 wieder raus. Sie können es auch zu Fuß nachrechnen.

Wurzel 5 halbe durch 5 mal 2 Wurzel 5. Einmal Wurzel 5 hier hinten kürzen. Hausaufgabe, man kann es auch leicht zu Fuß nachrechnen. Es kommt Wurzel 5 wieder raus. Das heißt, ich habe ein bisschen was zu zeichnen hier. An der Stelle Wurzel 5, ein bisschen sehr großzügig.

An der Stelle Wurzel 5 kommt Wurzel 5 raus. Besser noch. Ich habe obendrein eine horizontale Tangente. Also meine Funktion läuft durch diesen Punkt, Wurzel 5 rein, Wurzel 5 raus. Die kommt von hier oben

und sie geht hier horizontal weg an der Stelle Wurzel 5 und schmiegt sich allmählich an diese Asymptote. Irgendwie so etwas muss das werden, vom Prinzip. Details kann der Rechner besser. Mich interessiert so dieser grobe Verlauf von der Funktion.

Und jetzt kann man sich überlegen, warum denn das Newton-Verfahren so genial ist. Vielleicht sollte ich noch mal sagen, was denn jetzt diese rote Kurve ist. Auf der roten Kurve kann ich ablesen, wie ich von dem einen Schätzwert zum nächsten komme. Ich setze 2 ein in die rote Kurve und kriege den nächsten Schätzwert raus.

Dann setze ich den wieder ein in diese Kurve und kriege den nächsten Schätzwert raus. Das hat also nicht direkt etwas mit unserer Parabel zu tun, sondern ist auf ganz schräge Weise aus der Parabel gewonnen. Das ist das, was ich rechne, von einem Schritt zum nächsten.

Ich starte mit dem Wert 2. Da starte ich und dann kriege ich, haben wir eben ausgerechnet, 9 Viertel raus. Und dann rechne ich weiter, mit den 9 Vierteln gehe ich rein in die Funktion und kriege 9 Achtel plus 10 Neuntel raus.

Mit den 9 Vierteln gehe ich in die Funktion rein und kriege 9 Achtel plus, habe ich schon wieder vergessen, egal, irgendwas Krummes raus. Damit gehe ich wieder rein und so weiter und so weiter. Und ich nähere mich immer mehr dieser violetten Wurzel 5.

Das ist, was hinter den Kulissen passiert. Es wird diese Kurve hier ausgerechnet. Das ist das, was ich von Schritt zu Schritt rechne. Jetzt kann man sich an dieser Kurve überlegen, warum denn das Newton-Verfahren so schick funktioniert. Wenn Sie sich diesen Fehler hier angucken. Ich starte mit der 2.

Dann habe ich einen gewissen Fehler gegen Wurzel 5. Wenn ich einmal gerechnet habe, was der nächste Schätzwert ist, ist mein Fehler offensichtlich viel kleiner geworden. Wenn Sie das Stückchen mit dem vergleichen. Das ist der Fehler vorher. Ich setze 2 ein statt Wurzel 5, was ich wissen will,

und kriege hier die obere Linie raus. Der Fehler ist offensichtlich viel kleiner geworden. Was kann man jetzt durch diese Form der roten Kurve über diesen Fehler sagen? Der Gedanke ist, dies sieht doch so ungefähr aus wie eine Quadrat sparabel. Mit der Wurzel 5 hier im Scheitel drin.

Da habe ich die horizontale Tangente. Das heißt, wenn ich ein Stückchen weggehe aus dem Scheitel, das hier ist mein Fehler beim Schätzen, wenn ich ein Stückchen weggehe aus dem Scheitel, ist das Ergebnis so etwas wie dieses Stückchen ins Quadrat mal irgendeine Konstante. Dieses ins Quadrat mal irgendeine Konstante. Das ist eine Näherung für meinen Fehler.

Ich will sagen, im Wesentlichen wird der Fehler quadriert. Wenn Sie hier einen Fehler von einem Zehntel haben, werden Sie hier Größenordnungsmäßig, wenn die Funktion nicht ganz so fürchterlich ist, irgendwie etwas bei einem Hundertstel haben. Wenn Sie hier mit einem Fehler von einem Tausendstel reingehen, werden Sie hier mit Größenordnungsmäßig ein Millionstel rausgehen.

Das ist dieser Effekt, dass die Zahl der gültigen Stellen typischerweise verdoppelt wird. Der Fehler wird mehr oder minder quadriert, mal eine kleine, typischerweise kleine Konstante. Das ist der Gag bei dem Newton-Verfahren. Man findet so eine Kurve,

die durch den richtigen Punkt läuft, Wurzel 5 rein, Wurzel 5 raus, ohne die Wurzelfunktion zu benutzen. Diese Kurve läuft nicht nur durch den Punkt, nein, sie läuft sogar horizontal durch den Punkt. Deshalb geht das so schnell, weil sie hier horizontal durchläuft. Wenn Sie einen gewissen Fehler machen,

weil das hier horizontal ist, ist der Fehler im Ergebnis drastisch kleiner als der Fehler, den Sie zu Beginn gemacht haben. Das ist der Trick. Das schafft das Newton-Verfahren beides auf einmal, die richtige Höhe und die richtige Tangente. Durch diese simple Formel kann man allgemein nachrechnen. Das hatte ich in den alten Videos vorgeführt, dass man das allgemein nachrechnen kann.

Dann sieht man, dass dieses Verfahren extrem schnell auf das Ergebnis zuläuft. So ein Punkt hier, nennt sich gerne Fixpunkt, ein fester Punkt, ein Punkt, der fest bleibt, wie ein Fixstern fest am Himmel ist. Ein Fixpunkt. Es gibt eine ganz große mathematische Theorie

zu solchen Geschichten. Vielleicht ist das mit den beiden Funktionen hier verwirrend, deshalb möchte ich das noch einmal gerade sagen. Ich habe eine Funktion, von der suche ich eine Nullstelle. Hier suche ich die Nullstelle. Von dieser Funktion suche ich die Nullstelle.

Jetzt geht der Schritt über das Newton-Verfahren. Über das Newton-Verfahren. Was mache ich mit der Funktion? Ich lege eine Tangente dran, gucke, wo die Tangente X-Achse schneidet und gewinne ein Verfahren, wie ich von einem Schätzwert zum nächsten Schätzwert komme. Das ist das Newton-Verfahren. Lustigerweise kann ich dieses Newton-Verfahren

jetzt mit dieser Funktion darstellen. Diese Funktion hat irgendwie ganz, ganz entfernt was mit unserer ursprünglichen Parabel zu tun, aber nur ganz, ganz entfernt. Das ist, wie das Newton-Verfahren funktioniert. Wenn ich an der Stelle 2 anfange und von meiner Originalfunktion, die Tangente suche und die mit der X-Achse schneidet und so weiter,

lande ich an dieser Stelle 9 Viertel. Wenn ich mit der Stelle 9 Viertel anfange, lande ich an, was auch immer eben rausgekommen ist, und wenn ich an der Stelle Wurzel 5 anfange, lande ich an der Stelle Wurzel 5, denn das ist ja bereits eine Nullstelle. Dieses hier beschreibt, wie das Newton-Verfahren ganz von innen funktioniert. Das ist vielleicht am Anfang etwas abstrakt.