Wahl eine sinnvolle Anwendung von Kombinatorik. Ich habe so einen Ausdruck a plus b plus c hoch 42 und möchte das ausmultiplizieren. Das wäre eine schöne Strafarbeit. Das macht ja keiner, sondern man geht intelligent dran ausmultiplizieren.

Da gehe ich intelligent dran, kriege alle möglichen Ausdrücke. Irgendeiner dieser Ausdrücke wird sein eine Zahl mal a² mal b hoch 3 mal c hoch irgendwas und so weiter und so weiter. Also sie multiplizieren das Ding komplett aus. a plus b plus c hoch 42

multiplizieren sie komplett aus, fassen zusammen, soweit wie es geht und dann kriegen sie mittendrin so einen Ausdruck, also ein Wust von Termen und zwischendrin steht so einer a² b hoch 3 c hoch irgendwas und meine Frage ist, was steht als Zahl vor dem und was steht als Zahl hier im Exponenten von c?

Das bestimmen sie mal. Das ist eine kombinatorische Aufgabe. Ich erzähle noch mal den wesentlichen Gedanken, der ist schon raffiniert. Stellen Sie sich vor, Sie würden es wirklich als Strafarbeit ausmultiplizieren.

a plus b plus c mal a plus b plus c mal mal mal mal mal mal und a plus b plus c, das 42 mal hintereinander schreiben. Was will ich jetzt? Ich suche alle Möglichkeiten aus zwei von diesen Faktoren ein a zu nehmen, aus dreien von diesen Faktoren ein b zu

nehmen und den Rest auf c zu setzen. Zum Beispiel aus dem ersten das a zu nehmen, aus dem zweiten das b zu nehmen, hier irgendwo noch mal ein a zu nehmen, dann habe ich beide a's, ich brauche noch mal irgendwo ein b und ich brauche noch mal irgendwo ein b und von anderen Faktoren nehme ich das c.

Hier kommt ein c, dann hier kommt noch mal ein c, dann noch mal ein c, hier noch mal ein c und so weiter bis es zum Schluss hinkommt und im Letzten muss ich auch das c nehmen. Und jetzt möchte ich zählen, wie viele Möglichkeiten es denn gibt. Zwei von den 42 Faktoren, aus denen nehme ich ein a, aus drei von den 42 Faktoren nehme ich ein b und aus den übrigen nehme ich das c,

dass ich einen Ausdruck von dieser Form kriege. Dann können wir zumindest schon mal sagen c hoch wie viel muss das sein? Richtig. 37 muss das schon mal sein, was anders kann gar nicht vorkommen. Ich muss ja zum Schluss 42 Faktoren haben. Einen aus der ersten Klammer, einen aus der zweiten, dritten

und zuletzt einen aus der 42 Klammer. Zum Schluss habe ich 42 Faktoren, ich weiß zwar nicht welche, aber jeder ist a, b oder c. Die Summe hier muss 42 sein, 2 plus 3 plus 37, 42, damit ich 42 Faktoren habe. So und jetzt denken Sie weiter.

Aus 42 Faktoren muss ich zweimal ein a haben. Zwei von den 42, aus denen wähle ich das a. Wie viele Möglichkeiten gibt es das a zu wählen? Das ist der erste Schritt und dann weiter denken. Da müssen Sie aus dem restlichen 3 mal b wählen und alle übrigen setzen Sie auf c.

Ich versuche mal aufzumalen, wie die Möglichkeiten für a sind. Aus zwei Faktoren muss ich a wählen. Sie können es aus dem ersten und den zweiten nehmen, Sie können das a aus dem ersten und dem dritten nehmen und so weiter oder sie können das a aus dem ersten und dem letzten nehmen oder Sie können das a aus dem zweiten und den dritten nehmen, aus dem zweiten und dem vierten und so weiter oder sie können das a

aus dem zweiten und dem letzten nehmen und so weiter und so weiter. Wie viele Möglichkeiten sind das zwei a aus diesen Klammern rauszupicken? Sie sehen erst mal sowas wie 41.

Den ersten nehme ich, dazu den zweiten oder den dritten und so weiter oder den letzten. Das sind 41, was ich hier habe. 41 Möglichkeiten hier oben. Für den ersten. Wir sehen, jetzt wird es blöd zu zählen. Man müsste ein bisschen raffinierter dran gehen.

Also man könnte jetzt tatsächlich sagen, okay für den nächsten sind es dann 40 und für den übernächsten sind es 39 und so weiter. Aber da muss man so viel nachdenken. Der Trick ist, in beide Richtungen zu denken. Ich habe jetzt hier immer nur die Paare einmal hin gemalt. Wenn sich jedes Paar zweimal hin mahlen, ist es

leichter zu zählen. Ich zähle erst mal doppelt so viel wie nötig. Diese beiden a's. So und so und so. Und dann zähle ich weiter mit dem zweiten. Doppelt so viel wie nötig. Mit dem zweiten zähle ich auch für denn alle Richtungen.

Und mit dem dritten würde ich auch wieder in alle Richtungen zählen. Dann habe ich doppelt so viel wie nötig gezählt, weil ich jeden Fall zweimal habe. Sie sehen, den Pfeil habe ich zweimal. Diesen Pfeil habe ich zweimal. Wenn ich so zähle, habe ich doppelt so viel wie nötig. Aber jetzt kann ich schnell sagen, wie viele Pfeile es sind.

Also wenn ich beide Richtungen zähle, in der Tat, dann sind es 42 mal 41 Pfeile. Den ersten verbinde ich mit 41 anderen. Den zweiten verbinde ich mit 41 anderen. Den dritten verbinde ich mit 41 anderen und so weiter. Zum Schluss habe ich 42 Klammern, die ich mit 41 anderen verbunden habe.

Aber das ist nicht die Zahl der Möglichkeiten zwei a's zu ziehen. Ja, durch zwei, weil ich ja die Pfeile in der Richtung hier ignorieren muss. Ich habe doppelt so viel gezählt. Den habe ich und den habe ich und den habe ich und den habe ich. Ich habe doppelt so viele Pfeile wie nötig.

Ich möchte die Richtung vergessen. Es ist mir egal, ob ich erst das erste a und dann das zweite a ziehe. Hauptsache a² durch zwei. Das ist die Zahl der Möglichkeiten zwei a's aus diesen Faktoren zu ziehen. Und dafür haben wir auch einen hübschen Ausdruck. Das ist 42 über 2.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei, ja, das stellt sich ein Lotto vor, das ist am einfachsten. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem Lotto mit 42 Kugeln einen Zweier zu haben? Genau die zwei Zahlen aus der Trommel mit den 42 verschiedenen Kugeln zu ziehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

42 über 2. Das haben wir gerade ausgerechnet. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für a². Zur Übung machen wir jetzt mit b hoch 3 weiter. Ich habe aus zwei Faktoren, stellen Sie es so vor, ich habe aus zwei Faktoren jetzt a's rausgepickt.

Zwei Faktoren sind weg. Da habe ich die a's rausgepickt. Und nun ist die Frage, drei Faktoren b. Wie viele Möglichkeiten habe ich dann für drei Faktoren b? Aus den verbleibenden 40 Faktoren. Wie viele bleiben da? Genau, man rechnet einfach weiter. Für die b's habe ich jetzt ja nur noch 40 Klammern. Zwei Klammern sind weg. Da habe ich die a's

rausgenommen. Ich weiß nicht, welche beiden Klammern. Egal. Hauptsache zwei Klammern sind weg. Es bleiben 40 Klammern für die b's über, aus denen ich dann drei b's nehmen kann. Nehmen wir das erste b. 40 Möglichkeiten. Ich nehme das zweite b. 39. Ich nehme das dritte b.

38 Möglichkeiten. Und mir ist die Reihenfolge der b's egal durch drei Fakultät. Hier kriege ich, jetzt wird es etwas unübersichtlich, für die b's kriege ich 40 über 3 Möglichkeiten. Aus den verbleibenden 40 Klammern

3 auswählen. Das ist wie ein Lotto mit 40 Kugeln in der Trommel. Und ich möchte ein Lotto 3a haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? 3 aus 40 auswählen. Es bleiben 40 Klammern übrig. Zwei Klammern habe ich schon mit dem a. Entsorgt. 40 Klammern bleiben übrig.

Warum kann ich aus der Klammer mit a nicht dort das b rausnehmen? Ich nehme hier aus jeder Klammer entweder a oder b oder c. Wie so funktioniert es ja mit dem Ausmultiplizieren? Sie nehmen sich irgendeinen aus der ersten Klammer, irgendeinen aus der zweiten Klammer, irgendeinen aus der dritten Klammer, irgendeinen aus der letzten Klammer und dann alle Möglichkeiten zusammen, dass sie alles durchdekliniert haben.

Sie nehmen niemals gleichzeitig zwei aus einer Klammer beim Ausmultiplizieren. Vielleicht muss ich das nochmal zeigen mit 2 mal 2. Das ist ja leichter zu verstehen. Wenn sie das ausmultiplizieren. 3 plus 4 mal 5 plus 6. Dann bilden sie ja 3 mal 5, den ersten aus der ersten Klammer, den ersten aus der zweiten Klammer, 3 mal 6,

ersten vorne, zweiten hinten. 4 mal 5, zweiten vorne, ersten hinten und 4 mal 6, zweiten vorne, zweiten hinten. Alle Möglichkeiten einen aus der ersten Klammer mal einen aus der zweiten Klammer zu nehmen. Und jetzt mit den 42 Klammern dasselbe. Es wird nun eine absolute Strafarbeit. Das macht keiner zu Fuß.

So. Ich habe also 42 über 2 Möglichkeiten für das A. Dafür zwei Faktoren zu wählen. Ich habe 40 über 3 Möglichkeiten für das B. Davon 3 Faktoren zu wählen.

Wie viele Möglichkeiten bleiben dann? Für das C. Interessant. Ja, also eine Möglichkeit, weil es ja alles nur noch C sein sollen. Ich habe 2 As gewählt, 2 Bs gewählt. Der Rest soll C sein. Eine einzige Möglichkeit. Alle anderen C wählen. Oder, das ist lustig, habe ich gar nicht gedacht,

gedacht. Sie können natürlich auch sagen, wie viele Möglichkeiten für C. 37 über 37. Das ist auch 1. Und 37 gibt mir alle 37. Das gibt mir auf eine Art. Damit wissen wir den Faktor davor. Ich habe jetzt hier das darstellungstechnische Problem, dass nicht alles auf den Bildschirm passt. Damit wissen wir diesen Faktor hier.

Muss ich Sie nicht fragen, denn das kriegen Sie auch selber dann hin. Also das ist 42 über 2 mal, was wir hier hatten, 40 über 3, mal 1. Das steht davor. Das nennt sich auch Trinomial-Koeffizient. Die binomial-Koeffizienten 42 über 2, 40 über 3, kriegen Sie, wenn Sie ein Binom haben,

A plus B oder 93 plus 42 oder 7x plus Wurzel 2. Ein Binom macht die binomial-Koeffizienten und ein Trinom kommt eher selten vor. Kommt aber tatsächlich irgendwo vor. Ein Trinom macht Trinomial-Koeffizienten. Das sind diese Produkte hier.

Den kann man noch hübscher schreiben. Das wäre noch mal eine hübsche Übung. 42 über 2 mal 40 über 3 sieht so asymetrisch aus, da die 37 kommt irgendwie nicht vor. Die 2 kommt vor, die 3 kommt vor, aber die 37 kommt nicht vor. Schreibt ihr das mal hübscher. 42 über 2 mal 40 über 3.

2, machen wir mal ein bisschen mehr Platz. 42 über 2 mal 40 über 3. Wie kann ich das hübscher schreiben? Wenn Sie das ausbuchstabieren, was heißt das? 42 über 2 in Zahlen hingeschrieben auf einem langen Bruchstrich. Ich wollte ja ausdrücklich nicht die schulmäßige Formel für

42 über 2. Die schulmäßige Formel wäre ja 42 Fakultät durch und so weiter und so weiter. Ein bisschen mazturöser Ausdruck. 42 über 2. Das hatten wir eben ja hier noch mal gesehen. 42 über 2 ist 42 mal 41 halbe. 42 Möglichkeiten den ersten zu wählen, dann bleiben 41 Möglichkeiten für den zweiten.

Ich habe aber zu viel gezählt, deshalb durch 2, weil mir die Reihenfolge egal ist, deshalb durch 2. Das ist mein erster hier. 42 mal 41 durch 2 und das ist jetzt vielleicht ein bisschen überkandidelt.

Das hier heißt eigentlich die Reihenfolge ist mir egal. Das ist eigentlich eine 2 Fakultät. Von zwei Sachen die Reihenfolge vergessen, ist eigentlich die Zahl der Permutationen. 2 Fakultät. 2 Fakultät ist 2, aber ich schreibe es nur als 2 Fakultät, weil es dann klar war, ist gleich was passiert. Der nächste. Da sind ganz viele versucht jetzt zu schreiben. 40 mal 39. Ne, ne, ich wähle 3 aus 40.

3 aus 40. 40 Möglichkeiten für den ersten, 39 für den zweiten und 38 für den dritten. Da müssen drei Faktoren stehen bei 40 über 3, nicht nur zwei Faktoren. Und unten schreibe ich, wie viele Möglichkeiten es gibt, drei Sachen anzuordnen.

Aus den 40 Klammern, wähle ich 3 Klammern mit dem B drinnen. 40 Möglichkeiten die erste zu wählen, 39 Möglichkeiten die zweite zu wählen, 38 Möglichkeiten die dritte zu wählen und dann vergesse ich die Reihenfolge, weil mir das egal ist, ob es B mal B mal B ist oder ob es B mal B mal B ist oder ob es B mal B mal B ist.

Die Reihenfolge ist egal. Und das ist 3 Fakultät, die Zahl der möglichen Reihenfolgen. 3 Sachen anzuordnen sind nicht 3 Möglichkeiten, nochmal ABC, sondern 6 Möglichkeiten, 3 mal 2. ABC, ACB, B, AC, ach, können Sie selber ausfüllen, sind 6 Möglichkeiten, nicht 3 Möglichkeiten.

So geht das mit den Prenomial-Koeffizienzen. Und das hier oben, wir sehen 42, 41, 40, 39, 38, schreit doch irgendwie danach, dass man es fortsetzt. 37, 36 und so weiter und so weiter, 3, 2, 1, Countdown.

Das ist jetzt natürlich falsch. So wie ich es hingeschrieben habe, ist es falsch. Wie kann ich das heilen? Genau, ich teile durch 37 Fakultät, dann ist es wieder in Ordnung. Vielleicht muss ich das nochmal markieren. Der erste hier ist das. Aus 42 einen auswählen, aus den verbleibenden 41 noch einen auswählen, die Reihenfolge vergessen.

Das waren meine A's. Dieses hier, aus 40 3 auswählen. Den ersten auswählen 40 Möglichkeiten, den zweiten auswählen, es sind noch 39 in der Trommel. Den dritten auswählen, es sind noch 38 in der Trommel und ich vergesse die Reihenfolge durch 3 Fakultät.

Und Sie sehen, das hier ist lustigerweise, was wir eben auch schon hingeschrieben haben, 37 über 37. Prenomial-Koeffizienz 37 über 37, 37 für den nächsten 36 und so weiter und 37 Fakultätmöglichkeiten, die zu vertauschen. Das ist einfach nur eins, was dahinten steht.

Eine sehr komplizierte Art, die 1 zu schreiben. Aber jetzt kann ich das Ganze hübsch verschreiben. Was ist daran jetzt eigentlich das Hübsche? Jetzt sieht das so aus, wie es für die Formelsammlung gemacht sein muss. 42 Fakultät steht da oben.

Die ganze Reihe runter ab 42, die ganze Reihe runter. 42 Fakultät durch 2 Fakultät, durch 3 Fakultät, durch 37 Fakultät. Das ist die übliche Formel für den Trinomial-Koeffizienz. Trinomial-Koeffizienz. Also die Gesamtzahl Fakultät durch meine einzelnen Potenzen jeweils Fakultät.

Ich gehe nochmal zurück. Was waren die Potenzen? Die Exponenten, 2, 3, 7, 30. Und jetzt sieht das hübsch symmetrisch aus. 42 war die gesamte Potenz, der gesamte Exponent. 2, 3, 7, 30 waren die Einzelnexponenten.

Das ist analog zur Schulformel für den Binomial-Koeffizienten. Ich schreibe es erst nochmal, wie ich das schreiben würde. 6 aus 49, die übrigen Lottozahlen, wie viele Möglichkeiten? 49 Möglichkeiten für die erste Kugel, 48 für die zweite, 47, 46, 45, 44, habe ich oben jetzt 6.

Das ist die Zahl der Möglichkeiten, die Kugeln in einer bestimmten Reihenfolge zu ziehen. Und ich vergesse jetzt die Reihenfolge durch 6 Fakultät. Die Zahl der möglichen Reihenfolgen, so hatte ich das vorgeführt. Und schuhmäßig schreiben Sie, das ist 49 Fakultät durch 6 Fakultät 43 Fakultät.

Ich hoffe, Sie sehen die Ähnlichkeit zu dem, was wir da eben hatten. Das kann man genauso umformen. Ich finde diese Formel deutlich handlicher. Ich kann sie auch leichter verstehen, so wie ich sie gerade erklärt habe. Und man muss weniger rechnen. Hier stehen nur 5 Malzeichen oben und eine Fakultät unten.

Hier steht eine monstergroße Zahl mit viel mehr Produkten und unten nochmal eine Fakultät. Diese Formel ist viel handlicher und viel leichter zu verstehen, finde ich. So steht sie in der Formelsammlung. Und Sie sehen jetzt zumindest die Analogie. Aha, die Formel für die Trinomial-Koeffizienzen aus der Formelsammlung sieht verdächtlich ähnlich aus.

Die Frage, kann man das noch schöner schreiben? Eigentlich nicht, weil alles dabei steht, was ich brauche. Man kann es nicht viel schöner schreiben, weil man alle Zutaten ja schon hat. Ich kann hier die beiden Binomial-Koeffizienzen wegwischen und sagen, vor diesem Term steht 42 Fakultät, steht da im gesamten Exponenten, habe ich geschenkt,

durch 2 Fakultät, steht da, durch 3 Fakultät, steht da, durch 37 Fakultät. Alles beisammen, direkt in die Formel rein und fertig. Aber nicht, allgemeine Ansage, aber bitte nicht solche Formeln auswendig lernen. Das geht schief.

Verstehen Sie das Problem, verstehen Sie, wo das herkommt, sonst haben Sie keine Chance, da das richtige Ergebnis zu kriegen.