mal ein Einstieg in die Funktionen und die Abbildungen, was eigentlich dasselbe bedeutet, Funktion und Abbildung. Funktion sagt man eher, wenn es um Zahlen geht, Abbildung sagt man eher, wenn es um grüne Dreiecke geht, oder was auch immer, aber eigentlich ist das dasselbe, Funktion und Abbildung in der Mathematik. Das ist ein Begriff mit vielen Facetten.

Ich habe, glaube ich, vier angegeben, nämlich erstens hat man die Idee einer Maschine. Ich schiebe was in die Maschine rein, das kommt wieder was zurück aus der Maschine, oder dann formemäßig gerne eine Rechenvorschrift, so heißt das dann,

eine Rechenvorschrift. Das ist die übliche Art der Maschine in der Mathematik dann. Ich gebe etwas an, was gerechnet werden soll, zum Beispiel y ist gleich die Wurzel aus x, das wäre eine Rechenvorschrift. Formel können Sie auch sagen, aber eine besondere Art von Formel, nämlich eine Formel, die sagt, wie was ausgerechnet werden soll.

y ist so auszurechnen, indem ich die Wurzel aus x bilde. Das beschreibt eine Maschine, die Maschine namens Wurzel sozusagen, x geht rein und die Wurzel kommt raus. Alternativ kann man eine Tabelle hinschreiben, die ist gerne mal unendlich lang, die Tabelle,

oder ein Pfeildiagramm machen, gerade bei Abbildungen sieht man das gerne, oder eine Kurve aufmalen. Zum Start wollte ich mal, dass Sie das mal für die Wurzel machen.

Wie sähe die Tabelle aus, jetzt nicht alle unendlich vielen Einträge, aber wie sieht im Prinzip diese Tabelle für die Wurzel aus, die Wurzelfunktion aus, wie sieht ein Pfeildiagramm für die Wurzelfunktion aus, auch nur im Prinzip, nicht komplett, sonst wären wir heute nicht fertig, und wie sieht im Prinzip die Kurve für die Wurzelfunktion aus.

Lassen wir mal diese vier Aspekte für die Wurzelfunktion sehen. Fangen wir mit der Tabelle an. Hier kann man netterweise auf zwei Arten bauen, die Tabelle in herrnicht gerade. Bei uns würde ich die Tabelle üblicherweise so bauen, dass links was sortiertes steht,

was ich einsetzen will, und rechts, mehr oder minder unsortiert, steht, was rauskommt, wie beim Telefonbuch, da haben Sie die Nachnamen Müller, Mayer, Zacharias, die Nachnamen alphabetisch sortiert, und rechts stehen die Telefonnummern, die dann rauskommen.

Genauso ertiere ich das gerne, wenn ich die Null einsetze als x, kommt als y, Wurzel 0 ist 0 raus, wenn ich die 1 einsetze, Wurzel 1 ist 1, wenn ich die 2 einsetze, kommt Wurzel 2 raus, wenn ich Pi einsetze, kommt Wurzel Pi raus, und so weiter, und so weiter.

So stelle ich mir diese Tabelle vor. Links steht, was ich einsetze in die Funktion, rechts steht, was die Funktion zurückliefert. Also statt dass man die Wurzel hier auf irgendeine pure Weise ausrechnet, könnte man in der Mathematik auch auf den Gedanken kommen, man macht eine unendlich lange Tabelle,

und kann dann einfach in der Tabelle nachschlagen. Was der Wert der Wurzel ist. Hätte gerade eben sowas gesehen, dass hier dann auch noch Minus auftaucht, auf der rechten Seite. Nein, die Wurzel ist eindeutig definiert. Also die Wurzel aus 9, die Wurzel aus 9 ist definitiv

3 und nicht minus 3. Es ist 3² gleich 9 und minus 3² gleich 9, aber trotzdem sagt man, die Wurzel aus 9 ist nur die 3, nicht die minus 3, um das eindeutig zu haben. Das ist ja wesentlich bei der Funktion, da kommen wir jetzt schon drauf. In meiner Funktion muss ich

ein Ergebnis haben. Wenn ich die zwei einsetze in die Funktion, kommt ein Ergebnis zurück. Es kommen nicht zwei Ergebnisse zurück, oder drei, oder keines. Genau ein Ergebnis. Das heißt, wenn hier oben vorkommt mit der 1, gibt es die 1 zurück, dann darf hier nicht noch mal weiter unten stehen mit der 1, gibt es die 5 zurück, oder gibt es die minus 1 zurück. Das wäre keine Funktion, keine Abbildung.

Was ich einsetze, muss ganz klar zu immer demselben Ergebnis führen, ohne Wenn und Aber. Falldiagramm dann natürlich so ähnlich.

Ein Beutel mit Zahlen, eins, null, zwei, pi, wie auch immer, unendlich viele Zahlen und einen Beutel mit möglichen Ergebnissen und dann bilde ich eben ab, die null wird zu null, die eins wird zu eins, pi wird zu Wurzelpi, die zwei wird auch irgendwas werden und so weiter. Es bleibt gar Platz da.

Mit der Kurve, so versteht man dann ja gerne ingenieurmäßig die Funktion irgendwie als Kurve, nicht ganz gelungen, eine halbierte hingelegte Parabel.

Das ist ja nur die Sammlung von diesen ganzen Werteparen. 1, 1, hier der Punkt 1, 1, der Punkt 2, Wurzel 2, alle diese Punkte hier zusammengenommen. Das ist die Kurve im mathematischen Sinne. Die Menge aller Punkte auf dieser Kurve, so wie wir das bei Geraden hatten,

was ist eine Gerade, die Menge aller Punkte auf der Geraden, wir hatten was die Menge aller Punkte auf und unterhalb der Geraden, genauso dann diese Kurve hier, die Menge aller Punkte, die auf der Kurve liegen. All das besagt

dasselbe. Wie komme ich von x nach y? Dann gibt es eben so die diversen Randbedingungen hier in der Bibelle. Keine Widersprüche drin, nicht einmal die zwei auf die Wurzel 2 abbilden und dann die zwei auf die Minuswurzel 2 abbilden. Genauso hier bei der Kurve, darf ich nicht zwei Werte für selbe x haben. Das wäre verboten für eine Funktion.

Genauso hier bei dem Falldiagramm darf ich nicht haben, dass die 1 einmal zur 1 zeigt und dann obendrein noch mal zur Minus 1 zeigt. Das ist verboten für eine Funktion. Und natürlich hier auch, wenn Sie hier Plus Minuswurzel hinschreiben, das ist keine Funktion mehr.

Sie haben zwei Ergebnisse, außer bei Null natürlich, aber typischerweise haben sie zwei Ergebnisse. So, das wären die vier großen Ideen hinter Funktionen. In der Mathematik gibt es noch eine wesentliche Geschichte, die

vielleicht beim Falldiagramm deutlich werden könnte, aber ansonsten nicht so wirklich deutlich wird, wie man berücksichtigen muss. Was ist in der Mathematik noch wichtig? In der Mathematik gibt man eben zusätzlich immer noch gerne an, was ist die Definitionsmenge und was ist die Zielmenge. Die Definitionsmenge können Sie zumindest hier aus der Tabelle ablesen. Alle, die auf der linken Seite

stehen, die sind erlaubt als x. Oder beim Falldiagramm alle, die hier links stehen, die sind erlaubt. Das wäre die Definitionsmenge. Die könnte man dann auch im Prinzip ablesen. Oder hier bei der Kurve alle x, für die es ein y gibt, könnte man auch da ablesen. Bei der Rechenvorschrift können Sie das nicht direkt ablesen, was die

Definitionsmenge ist. Also die gehört mir dazu. Ich schreibe mal so, mathematisch noch dazu. Sehr kryptisch. Definitionsmenge oder

Definitionsbereich, der wird im Zweifelsfall nicht klar oder nicht direkt klar. Und die Zielmenge, die manchmal auch etwas verwirrend Wertemenge heißt oder Wertebereich, die wird noch weniger klar. Auch die gehört mathematisch mit dazu zu der Funktion, zu der Abbildung.

Welche können im Prinzip vorkommen? Da steht bei der Rechenvorschriftung gar nicht drin, was im Prinzip vorkommen kann. Bei der Tabelle wissen Sie nur, welche mindestens vorkommen können. Hier sind ja nur die aufgelistet, die mindestens vorkommen, aber nicht alle, die möglich wären. Bei der Kurve auch unklar,

was die Zielmenge ist. Beim Falldiagramm, okay, das könnte sein, dass das hier dann die Zielmenge sein soll. Alle, die im Prinzip vorkommen können, aber nicht unbedingt vorkommen müssen.

Das gehört mathematisch zur Definition der Funktion mit dazu, was immer für Verwirrung sorgt. Vielleicht sollte ich das noch mal mit dem Falldiagramm aufmalen. So was. Die 1 wird auf die 1 abgebildet, die 2 wird auf die Wurzel 2 abgebildet, die 0 wird auf die 0 abgebildet. Ich könnte ja rechts auch sagen, aber schauen wir noch die Minus 1 und die Minus 42 mit dazu,

und nichts wird auf die Minus 1 und auf die Minus 42 abgebildet. Das wäre mathematisch erlaubt. Dann wäre die Zielmenge zu groß sozusagen. Das ist erlaubt. Diese Zielmenge sagt nur,

was theoretisch vorkommen kann. Es muss aber nicht alles vorkommen. Für die, die tatsächlich vorkommen, gibt es einen anderen Namen. Genau, Bildmenge. Das sind die, die vorkommen. Um Sie zu verwirren, heißt die Bildmenge manchmal Wertenmenge, Wertenbereich und die Zielmenge auch manchmal Wertenmenge, Wertenbereich. Deshalb vermeide ich den Ausdruck Wert sowieso

und sage ausdrücklich Zielmenge für alles, was vorkommen könnte und Bildmenge für alles, was vorkommt. Die Bildmenge könnte man ablesen aus der Tabelle. Wir nehmen einfach alle, die rechts vorkommen. Das wäre die Bildmenge. Aber da kann ich beliebig viele noch dazu nehmen,

um eine Zielmenge zu haben. Und bei der Kurve hier sind die Bildmenge alle Y-Werte, auf deren Höhe tatsächlich Punkte existieren. Also hier keine negativen Y.

Also sinnvollerweise sollte ich hier sagen, die Wurzelfunktion, die Wurzelfunktion, bildet die Zahlen ab Null aufwärts, die reellen Zahlen ab Null aufwärts

ab nach den reellen Zahlen ab Null aufwärts. Das wäre die vernünftige Lösung. Ich darf reelle Zahlen ab Null aufwärts einsetzen in die Wurzel und kriege reelle Zahlen ab Null aufwärts raus. Aber das Ding auf der rechten Seite ist nicht 100% bestimmt. Sie könnten

auch sagen, auch hier nehmen wir alle reellen Zahlen auf der rechten Seite als Zielmenge. Es ist okay, wenn nicht alle vorkommen hier auf der rechten Seite. Oder alle komplexen Zahlen oder schlimmere Geschichten. Auf der rechten Seite müssen mindestens die Zahlen, die reellen Zahlen, ab Null aufwärts stehen. Aber wir dürfen ruhig eine größere Menge haben. Das ist dieser

unsägliche Kram mit Bildmenge und Zielmenge. Die Zielmenge darf größer sein als die Bildmenge. Das dürfen mehr sein als die, die tatsächlich vorkommen. Einfach, wenn man faul ist und nicht immer sich Gedanken darüber machen will, welche denn tatsächlich vorkommen.

Sonst wäre es einfach. Jetzt versuchen wir das mal zu verallgemeinern. Was mit komplexen Zahlen passiert. Gibt es hierzu noch Fragen? Eine Sache fällt mir gerade noch ein, bevor ich es vergesse. Die Reihenfolge in der Tapelle

ist egal. Ich habe es eben sortiert, damit es ein bisschen bequemer ist. Aber eigentlich ist die Reihenfolge in der Tabelle egal. Hauptsache auf der linken Seite kommt jedes Element der Definitionsmenge einmal vor und nur einmal vor. Und Hauptsache auf der rechten Seite kommen nur

Elemente der Zielmenge vor und nichts anderes. Was passiert jetzt mit komplexen Zahlen? Wir hatten ja schon gesehen, dass man die Wurzel aus I bilden kann. Und genauso kann man auch Wurzeln aus allen anderen komplexen Zahlen bilden. Was ist, wenn ich sowas versuchen wollen würde? Eine Wurzelfunktion von komplexen Zahlen nach komplexen Zahlen.

Was wird dann aus der Tabelle? Was wird dann aus der Kurve? Die beiden anderen ignorieren wir mal.

Was wird aus der Tabelle? Was wird aus der Kurve? Wenn ich das versuchen wollen würde, die Wurzel zu erweitern, dass auch komplexe Zahlen verarbeitet werden. Der Anfang der Tabelle. Es bleiben natürlich die Werte erst mal stehen, die wir schon kennen. 0 ist ja eine komplexe Zahl. 0 plus 0 mal I. Und die Wurzel aus 0 soll natürlich 0 bleiben. 1 ist eine komplexe Zahl.

1 plus 0 mal I. 1 plus 0 mal I. Offensichtlich eine komplexe Zahl. Daraus die Wurzel soll gefälligst 1 bleiben und die Wurzel aus 2 soll Wurzel 2 bleiben. Die Wurzel aus minus 9 ist aber nun möglich. Zum Beispiel

denn 3I würde es tun. Also hat man da schon mal eine Erweiterung. Der Ärger ist, es wird aber nicht nur 3I tun, sondern auch minus 3I. Jetzt will ich da aber nicht plus minus 3I hinschreiben. Man muss sich entscheiden, damit das, die Wurzelfunktion im Komplexen,

damit das wirklich eine Funktion wird, muss ich mich entscheiden. Ich darf hier nicht plus minus 3I hinschreiben. Was soll ich noch mal vorführen, dass minus 3I es auch tut, weil das noch nicht ganz klar war. Minus 3I quadrieren ist minus 3 Quadrat mal die Quadrat. Minus 3 minus das Quadrat nimmt das Minus weg, ist 9 mal minus 1, minus 9 plus minus 3I. Beide tun es. Beide haben im Quadrat minus 9.

Für die Wurzel muss man sich entscheiden, damit es eine Funktion wird. Man wird logischerweise das Plus nehmen, das Minus wäre ein bisschen komisch. Plus 3I wird man nehmen. Das nennt sich dann nachher Hauptwert.

Mehr zu komplexen Zahlen später. Also man muss eine Entscheidung treffen, wenn man komplexe Zahlen dann auf diese Weise verarbeiten will. I konnten wir auch schon. Für I hatten wir 1 durch Wurzel 2 plus 1 durch Wurzel 2 mal I.

Und wir hatten Minus davon. Und auch hier entscheidet man sich natürlich für das mit dem Plus. Das ist dann auch wieder der Hauptwert. Und so weiter und so weiter. Mehr zum Hauptwert später. Damit die Wurzelfunktion auch im Komplexen eine Funktion ist, muss man sich tatsächlich entscheiden, welches der beiden möglichen Ergebnisse ich immer nehme.

Gibt es nachher eine vernünftige Regel dafür, beziehungsweise mehrere vernünftige Regeln, muss ich dann für irgendeinen entscheiden. Auf jeden Fall kriege ich das hin. Ich kann links alle komplexen Zahlen auflisten und rechts komplexe Zahlen hinschreiben, sodass deren Quadrat, das auf der linken Seite sind, und

mit einer ordentlichen Regel dazu kriege ich rechts auch eine eindeutige komplexe Zahl hin. Immer eine von den beiden Möglichkeiten. Ich brauche eine Regelung, um eine von den beiden Möglichkeiten hinzuschreiben. Nur für die Null habe ich ja kein Problem. Plus minus Null macht keinen Ärger. Bei der 1 muss ich mich für

plus minus 1, welche von beiden entscheiden, natürlich plus 1 und so weiter. Und hier bei i entscheide ich mich für 1 durch 4 zu 2 plus 1 durch 4 zu 2i und nicht minus von dem Ganzen. So kann man die Tabelle füllen. Links alle komplexen Zahlen, rechts stehen komplexe Zahlen. Wir überlegen uns später, welche komplexen Zahlen da stehen. Auf jeden Fall stehen da komplexe Zahlen. Das sage ich ja hier mit der Zielmenge.

Es steht nichts anderes da als komplexe Zahlen. Ich sage nicht, dass da alle komplexen Zahlen stehen, aber es stehen da komplexe Zahlen. Mit der Kurve wird das schwieriger.

Bei reellen Zahlen konnte ich das so auftragen. Auf der x-Achse den Definitionsbereich, auf der y-Achse Zielmenge, Bildmenge. Was ist jetzt der Ärger bei komplexen Zahlen? Mir mangels an Dimensionen, genau.

Hier bei den reellen Zahlen, ich gehe mit einer Zahl rein. Ja, schön, das kann ich auf einer Dimension darstellen. Eine reelle Zahl, 1, 2, Pi, doch immer. Ich gehe mit einer reellen Zahl raus, 1, 2, Pi, kann ich auf einer

gerade abtragen. Der Ärger ist hier jetzt, aber ich gehe mit zwei Dimensionen rein. Ich gehe mit komplexen Zahlen rein und ich gehe mit zwei Dimensionen auch wieder raus. Ich bräuchte sozusagen eine zweidimensionale x-Achse und eine zweidimensionale y-Achse. Das haut nicht hin. Ich kann keine Kurve aufmalen für diese Funktion. Ich könnte

sowas aufmalen, dass ich sage, okay, das ist meine gausche Zahlenebene, Realteil, Imaginärteil. Und das ist meine gausche Zahlenebene, Realteil, Imaginärteil. Und dann male ich jetzt ein, was von wo abgebildet wird.

Die 1 wird abgebildet auf die 1. Das i wird abgebildet auf 0,7 etwa plus 0,7 mal i. Auf sowas hier. Da landet i. Und so weiter. Für jeden Punkt links kann ich einen Pfeil malen zu einem Punkt rechts.

Aber das wird keine Kurve. Da kann ich mich auf den Kopf stellen. Es wird keine Kurve. Ich gehe mit zwei Dimensionen rein und ich gehe mit zwei Dimensionen wieder raus. Das kann ich nicht als Kurve malen. Also leider, das mit den Funktionen und den Kurven, das klappt leider nur,

wenn ich von reellen Zahlen ausgehe und wieder reelle Zahlen draus mache. Dann können sie das in so einer Kurve malen. Die Funktion in so einer Kurve malen. Ich will heute im Lauf des Tages auch mal zeigen, dass man Kurven auch anders bauen kann, in anderen Situationen. Aber erstmal ist das die Art, wie Kurven entstehen. Ich habe eine Definitionsmenge

aus reellen Zahlen. Ich habe eine Zielmenge aus reellen Zahlen. Und dann kann ich die eben x nach y mit so einer Kurve darstellen. In diesem Fall Komplex nach Komplex. Keine Chance. Das macht das Ganze extrem unübersichtlich bei komplexen Zahlen.

Ich zeige im Lauf des Semesters noch ein paar Tricks, wie man trotzdem solche Funktionen komplexer Zahlen darstellen kann. So offensichtlich nicht. Das funktioniert nicht ordentlich. Und mit Kurven schon mal gar nicht. Da fehlen uns zwei Dimensionen.