So, jetzt von der hohen Mathematik wieder zurück zum dummen Rechnen. Ein paar Ableitungen, und zwar, was passiert, wenn Sie x² mal den natürlichen Logarithmus von x ableiten nach x? Was passiert, wenn Sie e hoch minus Wurzel u ableiten nach u?

Was passiert, wenn ich sage, meine Funktion x von t soll sein e hoch minus 42t mal den Kosinus von 2t plus 3?

Was ist dann x Punkt von t? Und der letzte im Bunde, wenn ich sage, meine Funktion f von x soll sein, das ist sogar definiert als, da oben auch definiert als 1 durch x hoch 3 plus den Sinus von x.

Das müssen Sie klar machen. 1 durch x hoch 3 plus den Sinus von x, so ist klarer, was zusammengehört, durch x hoch 4 plus 3.

Was ist dann f Strich von x? Vier eher dumme Ableitungen nach Schema f. Das ist nicht wirklich Mathematik, muss ich gestehen.

So, der erste, den habe ich extra so geschrieben, um Sie zu irritieren. Dieses d nach dx ist eine Schreibweise für die Ableitung. Lassen Sie sich nicht von diesem Bruch in Anführungszeichen irritieren. Wenn Sie sehen, d nach dx, heißt das ja nur, leite nach x ab. Da wird nicht beteilt. Historisch wurde da geteilt, und das kann man sich auch so vorstellen, aber was hier geteilt wird, ist nicht das, was abzuleiten ist.

Das, was abzuleiten ist, steht da, x² mal den Logarithmus. Das ist abzuleiten, es ist nicht mit irgendeinem Bruch abzuleiten. So, das letzte, was ich hier mache, bei diesem Ausdruck, ist Multiplizieren. Dieses Mal, was da gar nicht steht, ist der Produktregel.

Was mache ich als letztes hier? Ein Produkt, also Produktregel. Den ersten ableiten, 2x, den zweiten stehen lassen. Den ersten stehen lassen, plus dazwischen, plus den ersten stehen lassen. Mal den zweiten abgeleitet, Logarithmus, natürlich Logarithmus ableiten,

wir müssen inzwischen eins durch x, Nummer kürzen. Besser wird's nicht. Ich soll vielleicht gerade noch was vor, das da steht, zur Produktregel sagen. Die kurze Begründung für die Produktregel. Wie ändert sich das Produkt zweier Zahlen? Produkt zweier Zahlen ist so was für die Fläche eines Rechtecks.

Wie ändert sich die Fläche eines Rechtecks, wenn Sie die eine Seite verändern und wenn Sie die andere Seite verändern? Was Sie als Änderung kriegen, ist mehr oder minder die Änderung der einen Seite, delta u, mal die andere, delta u mal v, plus die Änderung der anderen Seite, mal die eine, delta v mal u.

Das ist was Sie mehr oder minder als Fläche Änderung kriegen für das Rechteck. Hier oben ist noch ein bisschen über, aber das ist delta u mal delta v. Das ist nicht allzu viel. Das fällt dann weg, wenn man sich die Ableitungen anguckt. Das ist die Anschauung hinter der Produktregel.

Die Fläche eines Rechtecks ändert sich um die Änderung des einen, mal den anderen, plus die Änderung des anderen, mal den einen, plus ein kleines bisschen. Wenn man wirklich Ableitungen bildet, ist dieses kleine bisschen da oben und fliegt raus. Da kommt die Produktregel her. Den einen Ableiten, mal den anderen, plus den einen stehen lassen,

mal den anderen Ableiten. Das war der erste, der zweite. E hoch minus Wurzel u, wollte ich schreiben, nicht n. N sieht so aus wie eine natürliche Zahl, das wäre komisch. E hoch minus Wurzel u nach u Ableiten.

E hoch minus Wurzel u nach u. Auch wieder von der Schreibweise nicht irritieren lassen. Dieses D nach D u ist nicht als Bruch gemeint, sondern als Aufforderung abzuleiten. Leite ab nach der Variablen u. So, und jetzt guckt man sich wieder an, was steht da für ein Ausdruck.

Das Letzte, was hier passiert in diesem Ausdruck, ist die Funktion einer Funktion. E hoch eine Funktion. Kettenregel. Hier steht nicht als Letztes ein Produkt oder ein Quotient oder eine Summe, sondern eine Funktion einer Funktion. Sie haben E hoch. Ich mache das wirklich mal mit Fleischwarfmaschinen.

Sie haben die Funktion E hoch irgendwas, die Exponentialfunktion. Und in diese Exponentialfunktion fällt rein, was vorher die Funktion minus Wurzel u ausgerechnet hat. Die Funktion einer Funktion. Kettenregel ist angesagt.

Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion. Deren Ableitung ist wieder die Exponentialfunktion. Es bleibt also stehen E hoch. Und jetzt vorsichtig das, was da vorher gestanden hat. Äußere Ableitung, die äußere Funktion,

ableiten von dem, was da vorher sowieso drin gestanden hat. Das selbe muss da oben stehen bleiben. Und jetzt kommt die innere Ableitung. Minus Wurzel u ableiten nach u. Vielleicht schreibe ich das sogar mal hin. Die Ableitung von Minus Wurzel u nach u. Das hätte ich da gerne.

Und der Trick, das haben glaube ich alle gemerkt, der Trick ist, dass man das schreibt als Minus u hoch ein halb. Wurzel aus u ist hoch ein halb.

Das steht da eigentlich. Das Minuszeichen kann ich rausholen aus der Ableitung. Faktor minus eins. Und jetzt muss ich u hoch ein halb ableiten. Minus u hoch ein halb ableiten. Die ein halb kommt nach vorne. Potenzregel für die Ableitung. Die ist ein halb, kommt nach vorne. Und das ein halb wird um eins verringert. Im Exponenten steht also ein halb minus eins.

Eins weniger. Das ist ein halb nach vorne und im Exponenten eins weniger. Und dann sind wir bei minus ein halb. Hier steht also minus ein halb u hoch minus ein halb. Hoch minus ein halb heißt Kehrwert der Wurzel.

u Kehrwert Wurzel. Dann bin ich also insgesamt bei e hoch minus Wurzel u minus ein halb Kehrwert der Wurzel. Mal natürlich alles. Mal minus ein halb Kehrwert der Wurzel. Das kommt zum Schluss raus.

Vielleicht nochmal zur Kettenregel. Wo die Kettenregel herkommt, anschaulich. Ich möchte wissen, was passiert, wenn sich u ein bisschen ändert. Wie ändert sich der gesamte Ausdruck? Dann gucke ich mir zuerst an, wie sich der Exponent ändert hier. Das ist diese innere Ableitung.

Und dann muss ich wissen, wie sich die Änderung des Exponenten auswirkt auf die Änderung der Gesamtfunktion. Was ändert sich an der E-Funktion, wenn ich eine etwas andere Zahl in den Exponenten einsetze? Na toll, das sagt mir die Ableitung der E-Funktion.

Die sagt mir, in welchem Übersetzungsverhältnis sozusagen das durchschlägt. Da kommt die Kettenregel her. Anschaulich. Oder wenn Sie das hier so aufmalen. Mein Eingang in die Minus-Wurzelfunktion wird etwas geändert, ein unendlich kleines Stückchen geändert.

Und ich frage mich, wie weit wir sich jetzt das Ergebnis ändern. Dazu gucke ich mir an, was die Wurzelfunktion anders macht. Ableitung der Wurzelfunktion. Und diese Abweichung wird dann ja nochmal durch die E-Funktion geschickt. Was macht die E-Funktion jetzt mit dieser Abweichung?

Und das ist das Produkt dann mit der Ableitung der E-Funktion. Also bei der Kettenregel, äußere Ableitung mal innere Ableitung. Oder innere mal äußere, egal. Produkt ist kommutativ. Und in die äußere Ableitung setzen Sie die Stelle ein, die da immer schon gestanden hat. Was ich in die E-Funktion einsetze,

ist der immer noch bei Minus-Wurzel u, ein kleines Stückchen daneben. Die Ableitung an dieser Stelle, der Originalstelle sozusagen. Der nächste Punkt. So, hier die Schreibweise aus der Physik mit dem Punkt. Wenn in der Physik was nach der Zeit abgeleitet werden soll, schreibt man gerne einen Punkt darüber.

Macht das Ganze noch kürzer, als wenn Sie schreiben d x nach d t. Später in der Relativitätstheorie fängt man dann an, dass man nur noch irgendwo ein Komma oder ein Semikolon hinmacht zum Ableiten. Egal. Hier ist das letzte, was passiert, wieder ein Produkt.

Letzter Rechenschritt. Mal. Nämlich E hoch so und so viel mal Cosinus. Sie haben diese Zahl E hoch so und so viel, Sie haben die Zahl Cosinus so und so viel, und dann wird als letztes das Produkt davon gebildet. Also Produktregel. Den ersten Ableiten. Das kommt jetzt mit der Kettenregel.

Diesen hier Ableiten mit der Kettenregel. Äußere Ableitung hatten wir gerade gesehen. E hoch minus 42t bleibt so stehen. Innere Ableitung. Minus 42t nach t Ableiten. Minus 42t nach t Ableiten. Haben Sie nur noch minus 42t.

Hier nach t Ableiten. Also mal minus 42. Mal. Ich war bei der Produktregel. Das ist ein bisschen viele Schritte auf einmal. Übung macht den Meister. Ich war bei der Produktregel. Den ersten habe ich abgeleitet jetzt mit der Kettenregel. Der Cosinus bleibt stehen bei der Produktregel. 2t plus 3.

Jetzt kommt der zweite Teil der Produktregel. Den ersten stehen lassen, den zweiten Ableiten. Den ersten lasse ich stehen plus den ersten stehen lassen, den zweiten Ableiten. Cosinus von irgendwas wird wieder die Kettenregel. Äußere Ableitung heißt den Cosinus abzuleiten.

Sinus fängt mit Steigung 1 an. Der Sinus abgeleitet ist der Cosinus. Wenn Sie den Cosinus ableiten, der fängt mit Steigung 0 an. Und sinkt. Minus Sinus. Genau. Minus Sinus muss das werden. Es kann nichts anderes werden. Auch ohne Formelsammlung. Also äußere Ableitung von dem Cosinus hier.

Minus Sinus. Mal. Minus Sinus. Von dem, was da sowieso drin steht. Wie eben. Das war die äußere Ableitung. Mal. Jetzt kommt die innere Ableitung. 2t plus 3. Nach t ableiten. 2. Das wäre der. Wie gesagt, das ist nicht allzu viel Mathematik.

Das ist einfach das stumpfe Anwenden von diesen Regeln. Mathematik wäre, dass Sie verstehen, wo diese Regeln herkommen. Das wäre mir am allerliebsten. Wenn Sie verstanden haben, wo diese Regeln herkommen, dann ist der Rest banal. So, der letzte hier. Ein Bruch.

Das letzte, was hier passiert, ist offensichtlich, dass ich den Bruch ausrechne. Ich rechne den Zähler aus. Ich rechne den Nenner aus. Letzter Schritt. Ich teile die beiden durcheinander.

Quotientenregel wird also das letzte sein. Oh, ich glaube, da war ein bisschen mehr Platz. So, ein langer Bruchstrich. Quotientenregel sagt, den Nenner quadrieren.

Den Nenner quadrieren. So, und jetzt muss ich auch immer wieder nachdenken. Wo kommt das eigentlich her? Ich kann mir die Reihenfolge oben nicht merken. Wenn Sie so etwas haben. U durch V. Das soll abgeleitet werden. Dann steht da ja eigentlich U mal 1 durch V abgeleitet.

U durch V ableiten ist U mal 1 durch V ableiten. Und jetzt kann ich sagen, oh, mal kann ich. Das ist Produktregel. Produktregel ist einfach. Hier. Wie ändert sich die Fläche eines Rechtecks? Produktregel kann ich im Schlaf. Das ist U mal 1 durch V plus U mal die Ableitung von 1 durch V.

Mit Produktregel. Den ersten ableiten, den zweiten stehen lassen. Plus den ersten stehen lassen, den zweiten ableiten. Das wäre Produktregel. Wie kann ich 1 durch V ableiten? Also Vorschlag.

Ja, wir schreiben das hier als V hoch minus 1. V hoch minus 1 abgeleitet wird so etwas werden wie minus V hoch minus 2. Aber da fehlt mir jetzt. Was fehlt mir da noch?

Das muss ich nochmal ausführlich erklären. Eine Funktion durch eine andere Funktion. Davon die Ableitung. Und hier komme ich drauf. Der Kehrwert einer Funktion. Davon die Ableitung. Was ist leichter zu erkennen, wenn Sie es am Beispiel sehen? An diesem Beispiel mal vorgeführt. Die Ableitung von 1 durch Sinus von X.

1 durch eine Funktion ableiten. Dass wir hier das konkret mal hingeschrieben an einer Funktion. Die Ableitung von Sinus von X hoch minus 1. Mit welcher Regel gehen Sie da dran? Sie können das natürlich mit der Quotientenregel machen. Die dann sehr einfach wird, weil die Ableitung vom Zähler 0 ist. Ich wollte das natürlich jetzt ausführlich nicht mit der Quotientenregel haben,

weil ich damit die Quotientenregel begründen will. Und deshalb über die Kettenregel. Der Kehrwert vom Sinus. Ich habe zwei Funktionen, die miteinander verkettet sind. Ich habe den Kehrwert. Das ist die äußere Funktion. Warum wird meine Funktion plötzlich ein Trichter?

Ich habe den Kehrwert. Das ist die äußere Funktion. Blub hoch minus 1. Das ist die äußere Funktion. Und die innere Funktion ist der Sinus. Da schmeiße ich jetzt das X rein. Oben fällt das X rein. Erst durch den Sinus und dann den Kehrwert nehmen.

Kettenregel. Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Ableitung ist kein Drama. Das haben Sie alle. Kosinus von X. Der steht da aber als Faktor dahinter. Äußere mal innere. Der Kosinus steht da hübsch. Ganz allein als Faktor dahinter. Und davor steht die äußere Ableitung.

Und das wird nun etwas überraschend offensichtlich. Ich muss den Kehrwert ableiten. Was ist die Steigung vom Kehrwert? Das machen wir gerade mal auf dem Extrablatt. Also, was ist die Steigung vom Kehrwert? X hoch minus 1. Die Steigung vom Kehrwert. Na ja, schön. Potenzregel ist minus X hoch minus 2.

Also minus 1 durch X². Die Ableitung der äußeren Funktion. Die Ableitung vom Kehrwert ist minus 1 durchs Quadrat. Das ist die Ableitung der äußeren Funktion. Minus 1 durch das Quadrat. Den Kehrwert ableiten ist minus 1 durch das Quadrat.

Das ist die Ableitung der äußeren Funktion. Und ich setze jetzt in die äußere Funktion das ein, was vorher als innere Funktion gestanden hat. Denken Sie an das mit E hoch eben. Wo war das? War das hier? Hier.

Ich möchte E hoch Minuswurzel ableiten. Äußere Ableitung E hoch ableiten wird wieder E hoch. Und da steht weiterhin das, was da vorher gestanden hat in der Funktion drinnen. Die äußere Ableitung an der Originalstelle. Diese innere Funktion.

Hier. Die äußere Ableitung an der Originalstelle. Und das war Sinus von X. Das kostet Überwindung. Das sehe ich gerade. Aber so gehört das an dieser Stelle. Also die innere Ableitung.

Ich schreibe es hier nochmal drunter. Die innere Ableitung ist geschenkt. Der Sinus wird zum Cosinus. Die äußere Ableitung scheint ein größeres Drama zu sein. Den Kehrwert ableiten. Und die Ableitung gucke ich mir an. An der Stelle Sinus X. Der Kehrwert abgeleitet ist minus 1 durch das Quadrat.

Haben Sie gerade gesehen. Und das gucken Sie sich an. An der Stelle Sinus X. Das können wir jetzt vielleicht noch mit Tangents oder Cotangents hübscher schreiben. Egal. Sollte ja nur ein Beispiel sein. Ein Beispiel für diese Geschichte hier. Kriege ich alles auf einen Schirm. Nicht ganz. Ein Beispiel für diese Geschichte.

Ich möchte den Kehrwert einer Funktion ableiten. Der Kehrwert einer Funktion abgeleitet. Ist nicht einfach minus diese Funktion hoch minus 2. Sondern was fehlt mir noch? Ja. Die innere Ableitung. V- Strich fehlt mir hier noch. Wenn Sie sich das angucken. 1 durch den Sinus ableiten.

Sinus hoch minus 1 ableiten. Was haben wir? Minus 1 durch Sinus Quadrat. Fein. Mal die innere Ableitung. V- Strich. Das fehlte mir da eben. V- Strich muss da stehen. So. Wenn Sie sich hier dran erinnern. Das sollte ja eigentlich nochmal eine kurze Herleitung für die Quotientenregel gewesen sein. Wie leite ich einen Quotienten, einen Bruch ab?

Ich splitte einfach auf. Zähler mal Kehrwert des Nenners. Und Kehrwert des Nenners. Den kriege ich mit Kettenregel. Das sehen wir da. Jetzt kann ich zusammenfassen. U- Strich. Zähler ableiten durch den Nenner. Plus. Minus. Den Nenner quadrieren.

Unten lassen. Und oben mal die Ableitung des Nenners. Das bringen wir alles mal auf V-Quadrat. Den erweitere ich mit V. Dann steht da U- Strich mal V durch V-Quadrat. U- Strich. V. Minus. Da steht schon V-Quadrat unten. U mal V- Strich.

So geht also die Quotientenregel. Den Zähler ableiten mal den Nenner. Minus den Zähler mal den Nenner abgeleitet durch den Nenner ins Quadrat. Wie ich mir das merke ist, ich weiß einfach dann diesen ersten Term. Ich weiß, Zähler durch Nenner ist Zähler mal 1 durch Nenner.

Es geht also los mit Zähler ableiten mal 1 durch Nenner. Die Ableitung des Zählers muss einen Plus haben. Die Ableitung des Nenners kriegt nachher einen Minus. Es geht mit der Ableitung des Zählers los. Lange Vorbemerkung, um jetzt endlich zu der Aufgabe zurückzukommen.

Es geht also mit der Ableitung des Zählers los. 1 durch X hoch 3 ableiten. Da hatte ich eben wilde Sachen gesehen. Das wird ja nicht zu 3X² oder was? Hier vorne steht der X hoch minus 3.

Das ist nicht übersehen. Das ist X hoch minus 3. Und X hoch minus 3 wird also zu minus 3 mal X hoch minus 4, wenn Sie es ableiten. Dann nicht von der X hoch 3 irritieren lassen. Den ersten ableiten, den zweiten ableiten, Cosinus. Das hatten wir jetzt zu Genüge. Das ist die Ableitung des Zählers.

Und die mal den Nenner. Oh, das wird schön eng hier oben. Die mal den Nenner. X hoch 4 plus 3. Minus den Zähler stehen lassen und den Nenner ableiten. 1 durch X hoch 3 plus den Sinus von X.

Den Zähler stehen lassen, den Nenner ableiten. 4X hoch 3. Da kann man vielleicht noch was zusammenfassen, aber das ist irgendwie rettungslos, chancenlos. Das reicht mir, wenn Sie das so hinschreiben. Ich wollte an der Stelle nur wissen, ob Sie die Ableitungsregeln drauf haben.

Dass sich das zusammenfassen lässt, kein Wunder. Sie sehen eine ganz billige Art, wie man das vereinfachen kann. Man kann in der Regel natürlich hier dieses V, das V zumindest für den ersten Sommanten streichen. Sie können ja wieder dahin zurück. Was ist die Ableitung eines Bruches? Den Zähler ableiten durch den Nenner.

Minus, jetzt nicht auf demselben Bruchstrich, den Zähler mal die Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat. Wir können ja sofort hier oben auch das X hoch 4 plus 3, X hoch 4 plus 3 zumindest dem ersten Sommanten loswerden. Aber dann haben Sie nicht mehr einen einzigen Bruch, sondern eine Summe.

So sieht die Korsentenregel aus. Ist etwas ekliger von der Rechnung her. Also das ist alles jetzt keine größere Mathematik, sondern nur eher dummes Rumrechnen mit den Ableitungsregeln. Wenn das noch nicht hinhaut, hier und da gab es ja insbesondere mit der Kettenregel noch Probleme,

würde ich empfehlen, schreiben Sie sich irgendwelche Ausdrücke hin. Überlegen Sie sich, was rauskommt. Und mit Wolfram Alpha können Sie ja nachprüfen, ob Sie es richtig gemacht haben. Wolfram Alpha sagt Ihnen ja sogar den Rechenweg. Kann nicht schaden, wenn Sie da noch unsicher sind.