Fingerübungen zu integralen. Zwei Integrale auf einmal, das Integral von 2 bis 3, vom Sinus von 5x plus 6, das sollte 5 sein da, und das Integral von 2 bis 3 von x minus 2 durch x² minus 1.

Das ist keine große Mathematik, sondern wirklich nur Fingerübungen. Da könnte man jetzt mit Substitutionsregeln dran, das wäre mir für diesen Ausdruck hier ein bisschen zu kompliziert. Ich mache das so. Ich suche eine Funktion, deren Ableitung gleich Sinus 5x plus 6 ist.

Wir probieren mal minus Cosinus 5x plus 6. Und jetzt leite ich mal zur Probe ab. Wenn ich das ableite, muss ja das rauskommen, was im Integral steht. Das leite ich mit Kettenregel ab.

Minus Cosinus ableiten gibt den Sinus. Das muss ich vielleicht nochmal aufmalen. Das war eben noch nicht hundertprozentig. Minus Cosinus. Minus Cosinus. Den ableiten. Steigung ist 0. Steigung wächst. Steigung wird 1. So rum. Minus Cosinus abgeleitet, gibt den Sinus. Sie brauchen das Minuszeichen.

Das wäre dann der äußere Teil. Sinus von 5x plus 6. Äußere Ableitung. Der Minus Cosinus wird zum Sinus. Aber ich würde ja noch die innere Ableitung dazukriegen. Mal 5. Wenn Sie den ableiten, kommt noch was dazu. Mal 5. Das ist blöde, aber das können wir leicht beheben. Mal ein Fünftel. Und jetzt haut es hin. Wenn Sie den ableiten mit Kettenregel. Der Minus Cosinus wird zum Sinus.

Von dem, was vorher drin gestanden hat. So geht ja die Kettenregel. Äußere Ableitung. Von dem, was vorher drin gestanden hat. Die innere Funktion. Mal innere Ableitung. Die innere Ableitung ist 5. Und zum Schluss multipliziere ich mit ein Fünftel. Damit ist die innere Ableitung weg.

Einige Leute haben versucht, die Kettenregel auf etwa eine Stärkeweise rückwärts anzuwenden. Also Sie integrieren nicht, nicht, nicht den Sinus allein und die 5x plus 6 alleine. Das haut nicht hin. Das wird was monströses werden. Die Kettenregel geht nur vorwärts.

Wenn ich eine Funktion einer Funktion ableite, dann kriege ich die Ableitung der äußeren Funktion an der ursprünglichen Stelle mal die Ableitung der inneren Funktion. Das geht für Ableitungen. Das geht nicht für Integrale rückwärts. Insbesondere wegen des Produkts hier geht es nicht für Integrale rückwärts.

Bei Integration habe ich die Substitutionsregel nächste Woche. Die Substitutionsregel ist dieses hier aufs Integral übertragen. Aber das sieht dann, wenn man es hinschreibt, deutlich anders aus. Nicht einzeln integrieren. Innen drin. Und in der Grenze von 2 bis 3 natürlich.

Na gut, jetzt können wir einfach einsetzen. Die setzen die 3 ein. Das macht minus Cosinus von 15 plus 6. 21 mal ein Fünftel. Minus, Minus. Also plus Cosinus. Und jetzt die 2 einsetzen. 16 mal ein Fünftel.

Können wir jetzt noch schätzen. Aber Cosinus 16, Cosinus 21. Irgendwas fürchterlich Krummes. Viel zu große Werte. 2 Pi wären ja 6, noch was. Wer interessiert der Cosinus von 21? Ich habe jetzt einfach nur mal Beispiele gehabt. Das wäre das erste hier. Sehr gute Frage. Ist das jetzt Bogenmaß oder Gradmaß, wenn Sie es in den Taschenrechner eingeben?

Ich habe ja hier im Bogenmaß das Integral gebildet. Insofern wäre es sehr inkonsequent, wenn ich hier jetzt im Gradmaß ausrechne. Der Minus Cosinus, den abgeleitet im Bogenmaß gibt den Sinus. Also sollte ich hier auch im Bogenmaß weiterrechnen.

Sie sehen, oh gefährlich. Eigentlich müsste man irgendwo noch so eine Fußnote dran machen. Vorsicht, Vorsicht. Hier meine ich Bogenmaß und nicht Gradmaß. Aber wenn ich Gradmaß meinen würde, ehrlich gesagt, dann würde ich hier auch 2 Grad bis 3 Grad und hier plus 6 Grad dran schreiben. Das wäre komisch, wenn Sie Grad meinen und schreiben keinerlei Einheiten dran.

Also hier meine ich Bogenmaß, weil ich keine Einheiten dran geschrieben habe. Die Einheit Radiant fürs Bogenmaß ist ja keine echte Einheit. Die kann man auch weglassen. Aber Grad, das wäre komisch, wenn ich Grad meine und nicht Grad dran schreibe. Also hier habe ich Bogenmaß gemeint.

Zweite Teil natürlich mit Partialbruchzerlegung. Die Partialbruchzerlegung, also Nebenrechnung, x minus 2 durch x Quadrat minus 1 in Partialbrüche zerlegen.

Ich hoffe, dass Sie ohne PQ Formel oder ähnliches sehen. x minus 2 durch x Plus 1 mal x Minus 1. Ist das? Wird ein Binomium. Und jetzt ist klar, ich habe eine Polstelle bei Minus 1. Erste Ordnung.

Einfache Polstelle. Eine Polstelle bei Plus 1. Einfache Polstelle. Und eine Nullstelle bei 2. Das ist erstmal nicht so dramatisch mit der Nullstelle bei 2. Für die Partialbruchzerlegung sind die Polstellen spannend. Ich kann also hinschreiben, es wird zwangsläufig werden A durch x Plus 1, A eine Konstante, Plus B durch x Minus 1.

So muss es funktionieren. Es muss so funktionieren, Sicherheitshaber. Ich vergesse, der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners. Sonst müsste ich hier erst einmal Polinomdivision machen und etwas rausnehmen. Das würde hier noch nicht so funktionieren.

Aber hier ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners. Es muss so funktionieren, mit einer Zahl A, die ich noch nicht kenne, und einer Zahl B, die ich noch nicht kenne. Und diese beiden hier, die sind harmlos zu integrieren. Dieser Ausdruck hier ist eine Katastrophe zu integrieren, aber so geht es einfach. Jetzt können wir uns A und B auf die Schnelle überlegen.

Vielleicht auf die Schnelle überlegen, kriegen sie das noch hin, mit meinem händewedelnden Trick, wie man A und B bestimmen kann, ohne jetzt groß zu rechnen. Also Sie können jetzt hier eine Gleichung aufstellen, indem Sie das hier auf einen Bruchstrich bringen, und einen Koeffizientenvergleich machen oder was auch immer. Ich gehe ja anders dran.

Die erste Polstelle hier, bei Minus 1, den höchsten Termin, den führenden Termin dieser Polstelle, da gibt es ja nur einen Termin dazu, kriege ich, indem ich mir angucke, was passiert jetzt mit dem x plus 1. Wie schlimm explodiert meine Funktion an der Stelle x gleich Minus 1?

Was macht meine Funktion an der Stelle x gleich Minus 1? Und Sie sehen, hier haben wir den Ausdruck, der die Explosion verursacht. Was passiert mit dem Rest an der Stelle Minus 1? Da steht Minus 1 minus 2 sind Minus 3. Durch Minus 1 minus 1 sind Minus 2.

3 halbe. Der Rest hier ballt sich zu 3 halbe zusammen. Das A muss 3 halbe sein. Das wird man auf die andere Art auch rauskriegen, aber wozu, wenn es auch so geht. Das B, bei dem B gucke ich mir an, wie stark dieser Ausdruck an der Stelle x gleich 1 explodiert. Wir sehen, der hier ist das.

Was passiert mit dem Rest, wenn x gleich 1 wird? Da steht 1 minus 2 ist Minus 1 durch 2. Minus 1 halb. B muss Minus 1 halb sein. So, ich habe also, das ist 3 halbe durch x plus 1.

Minus 1 halb durch x minus 1. Passt nicht rein, ok. Ein bisschen scrollen hier jetzt. Das Integral wird also sein. 3 halbe durch x plus 1.

Minus 1 halb durch x minus 1 dx. Das rechnen Sie jetzt mal aus. Jetzt kann ich diese Integral auseinander nehmen. Eine Funktion minus eine andere Funktion. Das Integral ist damit verträglich.

Es gibt also das Integral von 2 bis 3. 3 halbe durch x plus 1. Minus x. Minus das Integral von 2 bis 3. 1 halb x minus 1. Und jetzt das Vierfach einer Funktion.

Die 3 halbe kann ich noch vors Integral ziehen. Die 1 halb kann ich vors Integral ziehen. Und dann steht hier jeweils 1 durch x plus 1. 1 durch x minus 1. 3 halbe mal eine Stammfunktion für 1 durch x plus 1 von 2 bis 3. Minus 1 halb mal eine Stammfunktion von 1 durch x minus 1.

Na toll. Die kommt natürlich noch rein. Von 2 bis 3. So, was leite ich ab, damit ich 1 durch x plus 1 rauskriege? Den natürlichen Logorithmus von x plus 1.

Hübscher sogar mit Betrag. Ist hier nicht nötig, aber so funktioniert es auch für negative Zahlen. Die Ableitung vom Logorithmus Betrag ist 1 durch. Das ist der Kehrwert. Das ist eine Sondergeschichte, die wir uns merken müssen für die Potenzregel. Hier natürlich dann der Logorithmus von Betrag x minus 1.

Wenn Sie hier Probe rechnen. Kettenregel, eine Funktion einer Funktion. Den Logorithmus Ableiten wird der Kehrwert. Mal, ich sollte sagen, den Logorithmus Betrag Ableiten wird der Kehrwert. Mal die innere Ableitung, und die innere Ableitung ist der 1. x nach x ist 1. Und hier genauso.

Wenn hier 2 x stünde, dann müsste ich ein bisschen vorsichtiger sein. Gerade noch mal zum Logorithmus. Das war hier anscheinend noch nicht so präsent. Also wenn ich Ableite der Logorithmus Betrag x nach x, kriege ich netterweise 1 durch x raus. Nicht für x gleich 0, aber ansonsten schon.

Mal das mal prinzipiell als Idee, warum das hinhaut. 1 durch x, die normale Hyperbe. Und der Logorithmus. Geht ja so los.

So sieht irgendwie der Logorithmus aus. Und Logorithmus Betrag. Wie sieht Logorithmus Betrag aus, wenn das hier der Logorithmus ist? Genau, an der y-Achse gespiegelt. Der muss ja eine gerade Funktion werden. Logorithmus Betrag x ist eine gerade Funktion. Wenn Sie hier ein negatives x einsetzen, kriegen Sie dasselbe raus, als wenn Sie ein positives x einsetzen.

Eine gerade Funktion. Der muss spiegelsymmetrisch, ist hier nicht ganz gelungen, sorry. Der muss so spiegelsymmetrisch zur y-Achse liegen, Logorithmus Betrag x. Und Sie sehen, na, das scheint ja wohl dann irgendwie hinzuhauen. Hier ist die Steigung groß, sehr steil und positiv. Das in der Tat, wenn das rote die Steigung sein soll, groß und positiv.

Die Steigung wird immer flacher. In der Tat, die rote Kurve wird immer dichter bei Null liegen. Auf der linken Seite, die Steigung ist immer negativ, es geht immer abwärts. Und je dichter ich an die Null komme, desto steiler geht es abwärts. Wenn die rote Kurve die Steigung sein soll, sieht das nicht un plausibel aus.

Die Steigung wird sehr negativ werden. Dafür gab es in den alten Videos auch eine offizielle Begründung mit Kettenregel und Exponentialfunktionen und so weiter. Muss man sich merken, als Ausnahme für diese Potenzen, wenn Sie integrieren, ich suche eine Stammfunktion, ich schreibe mal f und f.

Ich suche eine Stammfunktion für x². Was nehme ich als Stammfunktion für x²? Ja, ein Drittel x³. Probe, ableiten, gibt 3x² durch 3x².

Das sollte man vielleicht schreiben, f von x, Stammfunktion von x. So, wenn ich x integriere, ein halb x². Wenn ich 1 durch x² integriere, also x hoch minus 2 integriere, was wäre eine Stammfunktion?

Also minus 1 durch x, ja, minus 1 durch x. Minus, oh, jetzt wird es hier eng, minus x hoch minus 1. Wenn Sie minus x hoch minus 1 ableiten, kommt die minus 1 nach vorne, es wird plus. Und dann um 1 verringern, dann steht da oben minus 2. Also minus 1 durch x, abgeleitet, gibt x hoch minus 2.

Dann kommt hier so ein vorsichtiger Trennungsding gezogen. Und so weiter und so weiter, nach plus und minus. Da gibt es x hoch 42, x hoch minus 42. Aber der Ärger ist, wenn ich eine Stammfunktion zu 1 durch x suche, tada, ist dann eben der Rhythmusbetrag x angesagt. Das ist die Ausnahme.

Ich sollte vielleicht noch sagen, natürlich gibt plus eine Konstante, wenn Sie ganz kurintenmäßig drauf sind. Plus eine Konstante, plus eine Konstante, plus eine Konstante, plus eine Konstante. Wir bestimmen hier ja Flächen, ein bestimmtes Integral.

Im bestimmten Integral fliegt die Konstante ja raus. Deshalb schreibe ich hier erst gar nicht hin, ich bin ein fauler Mensch. So, jetzt können wir uns das hier gerade noch einmal zu Ende angucken. So, da waren wir angekommen, das Integral ist dieses hier. Und jetzt nur noch einsetzen.

Logarithmus aus 4, Minus unten einsetzen, Logarithmus aus 3, natürlicher Logarithmus natürlich. Minus einhalb, oben einsetzen, natürlicher Logarithmus aus Betrag von 3 minus 1, Betrag von 2 ist 2, natürlicher Logarithmus von 2.

Minus unten einsetzen, 2 minus 1 macht 1, Betrag bleibt 1, natürlicher Logarithmus von 1. Wie schreiben Sie das, Gürtzer? Natürlicher Logarithmus von 4, Minus natürlicher Logarithmus von 3.

Logarithmengesetze, also 4 durch 3, in der Tat. Der Logarithmus eines Prozents, Differenz der Logarithmen, der Logarithmus eines Produkts, Summe der Logarithmen. Minus einhalb, wie können Sie das hier hinten vereinfachen? Ich habe da doch eine Klammer zu viel, die ist zu viel.

So, ja Ln1 ist gleich 0, also minus einhalb Ln2. Weil das noch nicht so richtig flüssig läuft mit den Logarithmen, schreibe ich das mal gerade so. So, das ist einhalb mal 3 mal den Logarithmus 4 Drittel minus den Logarithmus 2.

Ich habe die einhalb rausgezogen. Jetzt fassen Sie die beiden noch zusammen als Übung zu Logarithmen. Also, wenn hier die 3 nicht stünde, hypothetisch, wenn die 3 da nicht stünde, wenn ich die beiden ja zusammenfassen als Logarithmus 4 Drittel durch 2, die 2 hier unten noch mit reinnehmen,

Logarithmus eines Bruchs ist die Differenz der Logarithmen. Wenn die 3 da nicht stünde, aber ja, das Leben ist gemein, da steht die 3, ich versuche erstmal die 3 in den Logarithmus reinzukriegen und dann wird es eine Potenz. Das hier vorne schreibe ich als Logarithmus von 4 hoch 3 durch 3 hoch 3.

Das, was drin steht, in die dritte Potenz nehmen. Wenn Sie wollen, eigentlich erstmal Logarithmus 4 Drittel hoch 3, aber das ist natürlich 4 hoch 3 durch 3 hoch 3. So habe ich die 3 reingezogen, jetzt steht da Logarithmus minus Logarithmus

und dann kann ich zusammenfassen, ist also einhalb Logarithmus von 4 hoch 3 durch 3 hoch 3 durch 2 auch noch. Macht einhalb Logarithmus, ich meine natürlich immer den natürlichen Logarithmus,

von die 3 hoch 3, da wird sich nichts dann ändern, 27, 4 hoch 3 sind 2 hoch 6, 2 hoch 6 sind 64, durch 2 sind 32. Soweit könnte man das im Prinzip zusammenfassen. In der Tat, man könnte die Wurzel sogar noch reinziehen, boah, wird das hässlich.

Das ist der Logarithmus von Wurzel, 32 durch 27, ich weiß nicht, ob es dadurch viel schöner geworden ist, aber im Prinzip ja, ist einhalbmal der Logarithmus Logarithmus der Wurzel. Behalten Sie die Logarithmengesetze im Hinterkopf.