Sie müssen sich ja noch ein bisschen an imaginär Teil und real Teil gewöhnen. Wir machen mal ein Quadratstückgleichen für komplexe Zahlen. Z² plus 4z plus 13 ist gleich 0. Komplexe Zahlen heißen gerne z. Reelle Zahlen heißen gerne x. Geschwindigkeiten heißen gerne v, also hier z. Ich suche das hier, eine komplexe Zahl.

Ich schaue mal so. Mit z-Elementen in komplexen Zahlen. Ich suche eine komplexe Zahl, vielleicht auch mehrere, die das kann. Es wird ja irgendwie mit PQ-Formel gehen. Toi, toi, toi, gucken Sie mal, ob Sie die PQ-Formel hierauf zurechtgebogen kriegen.

Dann können Sie noch mal ein bisschen real Teil, imaginär Teil studieren. Also das Lustige ist, es geht nicht nur Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion durch. Es geht auch die PQ-Formel durch. Aus der gleiche und quadratischen Gleichung leiten Sie her. Das z ist gleich. Jetzt kommt minus P halbe.

Minus P halbe, also minus 2 plus Minus Wurzel, den hier vorne quadrieren mit 4. 13 abziehen, minus Q. Das leiten Sie, wenn Sie wollen, mit quadratischer Ergänzung her. Irgendwie kommt man es hin. Es ist die ganz normale PQ-Formel. Die geht durch, auch für komplexe Zahlen.

Wobei die Wurzel ein bisschen schwieriger ist. Wir sehen später ein bisschen heftigere Wurzeln. So, jetzt haben die meisten Leute hier unter der Wurzel ganz dreist neun geschrieben. Nee, nee, da steht ja minus neun unter der Wurzel. Da nicht ins Boxhorn jagen lassen. Neun wäre einfacher, aber da steht minus neun. Ich suche also eine Zahl, deren Quadrat gleich minus neun ist.

Jetzt sind die meisten angekommen. Zum Beispiel 3i würde es machen. Wenn Sie 3i quadrieren, kriegen Sie drei Quadrat mal i Quadrat macht neun mal minus eins. Haut hin. Wurzel aus minus neun. 3i ist ein Kandidat. Minus 3i würde es auch machen.

Netterweise steht vor der Wurzel plus minus. Wir kriegen automatisch beide Fälle mit. Also das ist minus zwei plus minus 3i. Das ist die Lösung für diese quadratische Gleichung. Das ist jetzt plötzlich nicht nur eine, sondern sie hat zwei Lösungen. Minus zwei plus 3i und minus zwei minus 3i.

Wir haben noch fünf Minuten. Rechnen Sie einmal Probe. Das kann nicht schaden. Einige Leute waren ganz überrascht gerade. Rechnen Sie einmal Probe. Setzen Sie das ein und gucken, dass es wirklich null wird. Einmal gerade die Probe, dass Sie nochmal komplexe Zahlen in Aktion sehen.

Diese Zahl hier quadrieren. Minus zwei plus minus 3i. Ich schreibe das sofort mit dem plus minus. Quadrieren plus vier mal diese Zahl. Minus zwei plus minus 3i. Ich habe die vier vergessen. Vier mal diese Zahl plus 13. Das möchte ich wissen, ob das null ist oder nicht.

Ich mache beide Fälle auf einmal, indem ich plus minus schreibe. Es gilt entweder das obere Zeichen überall oder das untere Zeichen überall. Vorne kommt binomi. Minus zwei quadrieren ist vier. Als nächster kommt zweimal der Kreuzterm. Zwei mal minus zwei mal plus minus 3i.

Das schreibe ich doch hin. Zwei mal minus zwei mal plus minus 3i. Und jetzt kommt der hintere ins Quadrat. Plus minus beim quadrieren wird plus. Neun mal minus eins. Also minus neun. Der nächste hier. Minus acht. Vier mal minus zwei.

Und hier kommt plus minus zwölfi. Plus minus zwölfi. Und da hätten die plus 13. Der muss noch verarztet werden. Zwei mal minus zwei mal plus minus 3i. Minus mal plus minus ist minus plus. Zwei mal zwei mal drei sind zwölfi.

Jetzt können wir die Trümmer zusammensortieren. Minus plus zwölfi plus minus zwölfi. Hebt sich weg. Und was haben wir denn? Vier minus neun sind minus fünf. Minus fünf, minus acht sind minus 13. Plus 13 sind null. Was zu zeigen war.