Bei dieser Aufgabe geht es nochmal darum, sich klar zu machen, welche Rechenregeln gehen und welche Rechenregeln nicht gehen. Es gibt diverse Stellen in der Mathematik, wo ich Folgendes rechnen kann. Irgendetwas angewendet auf eine Summe von, wie auch immer, gearteten Objekten, kann

ich genauso rechnen, als dasselbe Ding angewendet auf den ersten, plus dasselbe Ding angewendet auf den zweiten. Das geht an diversen Stellen in der Mathematik. Es geht nicht immer. Es geht zum Beispiel nicht bei der Wurzel. Die Wurzel aus 1 plus 2 ist nicht die Wurzel aus 1 und die Wurzel aus 2.

Da geht es nicht. Sie können hier nicht die Wurzel reinschreiben. Überlegen Sie sich, wo das geht. Das ist häufiger, als man glaubt, aber eben nicht überall. Für welche Rechenoperationen und andere Sachen, die man so veranstalten kann in der Mathematik, geht das. Das ist irgendwas angewendet auf die Summe, das selber ergibt, als wenn Sie es auf den

ersten Summanden anwenden und dazu addieren, was passiert, wenn Sie es auf den zweiten anwenden. Also ich mache mal hinten schon mal eine Liste Integral. In der Tat, wenn hier Funktionen stehen, das Integral einer Summe von Funktionen ist die Summe der Einzelintegrale. Ich mache hier in der Mitte schon mal eine Liste.

Das ist auch das Vektorprodukt, also ein Dreiervektor kreuzt die Summe zweier Dreiervektoren. Das kann ich so zerlegen. Den linken kreuzt den ersten plus den linken kreuzt den zweiten. Das kann ich zerlegen. Was haben wir noch?

Klar. Also für den Logarithmus geht das nicht, denn ich schreibe jetzt mal Ln als Beispiel der Logarithmus eines Produkts wird die Summe der Logarithmen, aber nicht der Logarithmus einer Summe. Das ist der Job vom Logarithmus, ein Produkt zur Summe zu machen.

Das heißt, für den geht das nicht, da muss ich ein Produkt haben im Logarithmus. Also die E-Funktion als Beispiel für eine Exponentialfunktion, E hoch eins Mal E hoch zwei ist E hoch eins plus zwei. Hier steht ein Mal, da steht ein Plus, das geht auch nicht mit Plus, da habe ich verschiedene

Zeichen stehen. Das ist ja eigentlich nichts anderes als diese Regel hier unten, übersetzt oder rückwärts. Genau. Bevor Sie mit dem Vektorprodukt anfangen, fangen Sie erst einmal mit ganz normalen Zahlen an. Dreimal die Summe zweier Vektoren kann ich natürlich auseinander nehmen.

Das Produkt eines Vektors mit einer Zahl, mit einem Skalar, skalare Multiplikation und dazwischen in der Komplexität das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einer Summe von Vektoren, das kann ich auch ausmultiplizieren, da geht es dann auch. Das ist das Skalarprodukt des ersten mit dem linken aus der Summe und dazugenommen

das Skalarprodukt mit dem ersten und dem rechten aus der Summe. Wenn ich das hier aufschreibe mit Vektoren, das geht natürlich auch mit Zahlen, das wäre das allererste. Das Distributivgesetz. Dreimal vier plus fünf ist dreimal vier plus dreimal fünf.

Das wäre das allererste. Das ist das Distributivgesetz. Wenn ich schreibe dreimal, dreimal eine Summe ist dreimal der erste plus dreimal der zweite. Bevor Sie vom Integral hier anfangen, sollten Sie eigentlich sofort mal sagen, die Summe zweier Funktionen ableiten ist die Ableitung der einen plus die Ableitung

der anderen. Die Ableitung macht das. Und wenn wir in der Ecke sind, Ableitung und Integral, da gibt es noch einen, man kommt nicht drauf, Grenzwert, Grenzwertsätze. Wenn ich die Summe zweier Folgen betrachte, der Grenzwert der Summe zweier Folgen ist

die Summe der Grenzwerte, wenn denn diese Grenzwerte existieren. Ich mache hier mal ein Warnschild dran, Grenzwert, also mit Einschränkungen. Wenn die Einzel-Grenzwerte existieren, dann ist der Grenzwert der Summe die Summe der

Grenzwerte. Insofern müssen wir wahrscheinlich beim Integral auch aufpassen, wenn die Einzelintegrale existieren, dann darf ich so die Summe ausrechnen. Da muss man auch ein bisschen vorsichtig sein, aber so oft kann man das wirklich tun. Jetzt hätte ich einen noch, Brüche mit gleichem Nenner, das kann nicht schaden,

das noch mal zu haben, wenn ich hier nicht drei davor schreibe, sondern wenn ich sowas habe wie vier plus fünf Drittel, ist gleich vier Drittel plus fünf Drittel. Brüche bei gleichem Nenner auseinander ziehen, die Zähler bei gleichem Nenner

auseinander ziehen, in der Art, aber nicht anders herum. Nicht, was machen wir mal, vier durch drei plus fünf, das ist nicht dasselbe wie vier durch drei plus vier durch fünf, allein schon Größenordnungsmäßig vier durch drei plus fünf, vier Achtel, ein Halb steht auf der linken Seite, vier Drittel ist mehr

als eins, und dann kommt noch was dazu, das kann nicht stimmen, wird immer gerne versucht, kann nicht hinhauen, also im Zähler darf ich die Brüche auseinander nehmen. Und der allerletzte, was wir bei der Wahrscheinlichkeit hatten, ist auch zum

einen, der ist wie ein Integral, fühlt sich so an wie ein Integral, bei den stetigen Zufallsgrößen ist er ein Integral, der hat dieselbe Eigenschaft, auch wieder mit Warnhinweis, weil, geht natürlich nur, wenn die beiden Einzelerwartungswerte existieren,

für alles Realistische existieren die Einzelerwartungswerte, also was heißt das beim Erwartungswert, der Erwartungswert der Summe zweier Zufallsgrößen, ich Ich messe erst das eine und messe das andere, bei jedem Versuch, frage mich, was kriege

ich dann als Mittel aus der Summe raus, das Mittel aus dem einen und das Mittel aus dem anderen, große Überraschung, das waren alle, die mir da eingefallen sind, dann können wir uns dasselbe mit Mal angucken, was geht da, irgendeine

Operation angewendet auf ein Produkt liefert, dieselbe Operation angewendet auf den ersten Mal, dieselbe Operation angewendet auf den zweiten, Sie sehen, dass ist schon wieder nicht Logarithmus und nicht Exponentialfunktion, die Exponentialfunktion macht das plus zum mal, der Logarithmus macht das mal zum

plus, das ist nicht beides mal mal, aber es gibt trotzdem ein paar Operationen, die das hier können, das mal bleibt mal, genau die Wurzel, die Wurzel aus 3 mal 4 ist die Wurzel aus 3 mal die Wurzel aus 4, das geht noch allgemeiner, genau die

allgemeinen Potenzen, 3 mal 4 hoch 42, 42 Faktoren, 3 mal 4, 3 mal 4, 3 mal 4 ist natürlich dasselbe wie 3 hoch 42 mal 4 hoch 42, das geht, was wäre neben der Wurzel, Wurzel hoch ein halb, was wäre neben der Wurzel noch eine interessante

einfache Potenz, nicht 1 und nicht 0, der Kehrwert, ja hoch minus 1, der Kehrwert, der Kehrwert von 3 mal 4 ist ein Drittel mal ein Viertel, das haut hin, aber nur mit der 1, hier oben nicht, nicht 2 durch 3 mal 4, das ist nicht 2 durch 3

mal 2 durch 4, dann haben Sie zu viel, aber mit dem Kehrwert haut das hin, das Produkt bleibt ein Produkt, der Grenzwert, das Produkt, 2 Erfolgen, davon der Grenzwert, wird auch im Allgemeinen funktionieren, muss ja vorsichtig sein,

haben die Folgen für sich jeweils einen Grenzwert, aber im Prinzip ist das machbar, der Grenzwert eines Produkts, was halten Sie von Ableitung und Integral, Ableitung und Integral in dieser Situation, bei der Ableitung und beim Integral würde die Produktregel oder irgendwie die partielle

Integration zuschlagen, also bitte sowas nicht für das Integral und nicht für die Ableitung rechnen, das haut nicht hin, typischerweise, es gibt Fälle, in denen es hinhaut, aber die sind sehr selten, überraschenderweise gibt es von denen eben noch einen, den Erwartungswert, in bestimmten

Situationen und nicht unüblichen Situationen geht es mit dem Erwartungswert, ich kann tatsächlich haben, dass der Erwartungswert eines Produkts gleich dem Produkt der Erwartungswerte ist, eigentlich eine Notiz am Rande, aber finde ich in dieser Tabelle wichtig, wo ich sie schon gefangen habe, nämlich wenn x und y unkorreliert sind, dann darf ich das

rechnen, dann ist der Erwartungswert des Produkts gleich dem Produkt der Erwartungswerte, eine einfache Art zwei unkorrelierte Zufallsgrößen zu machen, ist Zufallsgrößen zu bauen, die nichts

miteinander zu tun haben, sie nehmen zwei Würfel, einen roten, einen grünen die Augenzahl auf dem roten Würfel, die Augenzahl auf dem grünen Würfel, die sind definitiv unkorreliert, das wird funktionieren, die Würfel dürfen gezinkt sein, die dürfen sonst was machen, hauptsache sie sind nicht

irgendwie wahrscheinlich mit einander verknubbelt, dann sind die immer noch unkorreliert, auch wenn sie gezinkt sind, das ist erst mal überraschend und deshalb wollte ich dafür gleich noch ein Beispiel bringen, sich als halber was nicht geht, hier dürfen sie nicht reinschreiben, 3 mal

3 mal 4 mal 5 ist ja nicht 3 mal 4 mal 3 mal 5, also das geht nicht mit ganz normalen Zahlen, was man mitnehmen kann, also Regeln bei denen ein Mal wieder ein Mal wird sind eher selten, Potenzrechnung, Grenzwert und in

gewissen Rahmen Erwartungswerte, Regeln bei denen ein Plus wieder ein Plus wird, die finden sie sehr häufig, aber nicht überall, das ist das Wichtige, sich das klar zu machen, bitte nicht neue Regeln von dieser Art erfinden, sie können auch ein paar von der Art erfinden, das Problem ist,

dass es dann irgendwann zu Widersprüchen kommt, jetzt zum Abschluss noch mal ein kleines Beispiel, wo sie das hier in Aktion sehen, zwei unkorrelierte Zufallsgrößen, dann ist tatsächlich der Erwartungswert vom Produkt, das Produkt der Erwartungswerte, das macht das Leben deutlich einfacher, ich sollte aber als Warnhinweis vorher noch sagen, zwei Zufallsgrößen, die definitiv korreliert sind, kriegen sie, wenn sie einfach für y wieder x

nehmen, dieselbe Zufallsgröße 2 mal, sie nehmen für x ein Würfel und für y dasselbe Ergebnis des selben Würfels, wenn der erste Würfel auf 2 fällt, sagen sie für den hier auch 2, immer wieder dasselbe Ergebnis, das kann ich hinhauen, dann haben sie hier das Quadrat stehen vom ihrer

Zufallsgröße und das ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie der Erwartungswert der Zufallsgröße im Quadrat, sie sollten sogar sagen können, was die Differenz zwischen diesen beiden ist, korrekt, die Differenz

dazwischen war die Varianz, die Varianz war Erwartungswert vom Quadrat minus Erwartungswert ins Quadrat, sobald also die Varianz nicht 0 ist, das wäre eine langweilige Zufallsgröße mit Varianz 0, sobald die Varianz nicht 0 ist, können sie diese Regel hier nicht mit x gleich y machen zum Beispiel, also Vorsicht, unkorreliert ist schon eine starke Anforderung, sie

können diese Regel nicht für y gleich x anwenden.