Noch mal zwei Grad. Eben, die waren ja parallel. Das ist nicht so spannend, dann Schnittmengen zu bestimmen. Jetzt möchte ich gerne mal zwei Grad, die vielleicht schneiden. Auch wieder zwei Punkte auf jeder Grabe. Ein bisschen sauber.

Zwei, eins, zwei Punkte auf jeder Grabe. Zieh. Ich zeichne die jetzt auch wieder so schematisch ein, ohne mich zu bemühen, dass das irgendwas an Perspektive ist. Also nehmen Sie das nur als Prinzipskizze, so wie den Londoner U-Bahn-Plan. Die wahre Welt sieht auch deutlich anders aus als der U-Bahn-Plan.

So, das sollen meine vier Punkte sein. Die Frage ist, schneiden sich diese beiden Grad? Das ist schon eine Nummer komplizierter.

Schneiden sich diese beiden Grad? Laufen die dann doch irgendwo zusammen, da unten oder da oben, wie auch immer? Probieren Sie mal, eine Gleichung aufzustellen. Das ist eine andere Aufgabe als eben. Und das hier wäre eher so richtig schultypisch, mit Menge zweier Grad.

Erfinden Sie das mal selbst. Es wissen ja doch erstaunlich viele was über Gradengleichungen mit Vektoren. Ich benenne diese beiden Grade vielleicht mal, dass die eine G heißt und die andere H heißt.

Die Grade G. Das sind alle Punkte mit folgenden Ortsvektoren. Jetzt kommt der Trick mit den Ortsvektoren. Alle Punkte mit folgenden Ortsvektoren, die ich so bilden kann. Ich nehme den hier, 1, 2, 3, zum Beispiel. Plus ein Vierfaches von der Differenz.

3, 2, 1. 3, 2, 1, minus, minus, 1, 2, 3. So. Alle Punkte, die hier auf der einen Graden sind. Upsi. Alle Punkte, die auf der einen Graden sind, kann ich so kriegen.

Ich starte bei dem Punkt hier, 1, 2, 3. Bei dessen Ortsvektor. Und dann gehe ich weiter. So und so viel in die eine oder die andere Richtung. Ein Vierfaches Lambda, das ist das Schwierigste an der Stelle. Da kriege ich den Buchstabe Lambda. Ein Vierfaches von diesem Differenzvektor, den wir eben hatten.

Nämlich in dieser Stelle so rum. 3, minus 1 und so weiter. So kriegen Sie jeden Punkt hier unten auf der Graden. Eine Gradengleichung. Das kommt im zweiten Semester nochmal ganz ausführlich. Keine Panik. Für die obere genauso. Alle Punkte auf der oberen Graden. Ich schreibe jetzt mal X mit Vektorfall.

Alle Ortsvektoren zu Punkten auf der oberen Graden. Kriege ich, indem ich hier bei dem zum Beispiel starte. 5, 3, 1. Und dann in diese entlang der Graden gehe. Ein Vierfaches von einem Vektor entlang der Graden. Dann war es 2, 2, 2, minus, minus, minus.

5, 3, 1. Das wären die üblichen Gradengleichungen. Ich starte bei einem Punkt und gehe dann entlang der Graden. Vielleicht nur die Hälfte von diesem Richtungsvektor. Ein halbmal den, den ganzen.

Dann bin ich hier bei dem Punkt. Warte, unten geht natürlich 2, 2, 2. Wenn ich da bei dem Punkt 2, 2, 2 bin, bin ich den ganzen da drauf addiere. Oder ich gehe in die Richtung. Mit einem negativen Mühe und so weiter. Und dann ist der letzte Schritt, ein bisschen knapp kalkuliert gewesen gerade. Und dann ist der letzte Schritt, diese beiden Sachen gleichzusetzen.

Ich möchte, dass ein Punkt, der aus dem oberen rauskommt, ein Punkt auf der oberen Grade, auch ein Punkt auf der unteren Graden ist. Ich möchte zuerst gucken, ob es solche Punkte gibt. Ich setze die gleich. Dann steht da irgend sowas wie 1, 2, 3 plus Lambda mal.

2, 0, minus 2 ist gleich. Die beiden gleichsetzen. 5, 3, 1 plus Müh mal. Minus 3. Minus 1, 1. Minus 3, minus 1, 1.

Dann ich verrechne. So. Eine Gleichung für Vektoren. Die Summe dieser beiden Vektoren soll gleich der Summe dieser beiden Vektoren sein. Ich kenne Lambda nicht. Und ich kenne Mühe nicht. Ich weiß nicht, wie weit ich, wenn überhaupt möglich, hier von meinen Punkten nach links oder rechts oben und unten gehen muss.

Und diese Gleichung löst man. Ein Gleichungssystem. Das sind ja eigentlich drei Gleichungen. Der Vektor links soll gleich dem Vektor rechts sein. Das heißt, eine x-Komponente muss gleich der x-Komponente rechts sein.

Es muss, ich schreibe das jetzt mal schon ganz schön, ist äquivalent zu. Schweifklammer. Ich schreibe mal eine ordentliche Schweifklammer. Noch nicht wieder ordentlich geworden. 1 plus 2 Lambda. Das ist hier die x-Komponente. Das Lambdafacher von der 2 und der 1. Muss sein, die x-Komponente auf der anderen Seite.

5 minus 3 Mü. Hier die y-Komponente. 2 plus Mücht muss sein. Die y-Komponente auf der anderen Seite. 3 minus Mü. Hier die z-Komponente. 3 minus 2 Lambda. Muss hier die z-Komponente sein. Auf der rechten Seite.

1 plus Mü. Das sind drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die wir einem sofort lösen können. Ich hatte es gar nicht vor, aber das können wir sofort lösen. Geben sie noch zwei Minuten, dann haben wir es sogar fertig. Wir lösen sie, diese drei Gleichungen. Schränk wäre jetzt Auflösen oder sowas. Aber brauchen sie gar nicht, nicht?

Mü ist gleich 1. Das kriegen wir geschenkt. Aus der mittleren Gleichung kriegen wir geschenkt. Wenn es überhaupt geht, ist Mü gleich 1. Dann sehen Sie hier unten, oh je. Wenn 3 minus 2 Lambda gleich 2 ist, also. Wenn 3 minus Lambda gleich 2 ist.

Dann schraub es mal auf. 3 minus 2 Lambda ist gleich 2. Dann ist also. Minus 2. Dann ist minus 2 Lambda gleich 3 rüberbringen. Minus 1, 2 minus 3. Und das heißt, Lambda ist gleich was?

Oh ja, überhaupt lieber ein Halb statt 0,5. 0,5 liest sich immer so wie ein Messwert. Und man fragt sich, ist es vielleicht doch 0,49? Weil ein Halb ist klar, ein Halb ist ein Halb, genau. Bin ich jetzt eigentlich fertig? Ich weiß jetzt, was Mü und Lambda zwangsläufig sein müssten.

Aber ich weiß gar nicht, ob sie die dritte Gleichung erfüllen. Es könnte ja sein, dass die dritte Gleichung gar nicht erfüllt wird. Denn es keinen Schnittpunkt gäbe, wäre die dritte Gleichung nicht erfüllt. Was mir sagt, es geht nicht. Also wir testen nochmal die dritte Gleichung. 1 plus 2 Lambda. Das sind also 2. 5 minus 3 Mü.

5 minus 3 Mü. Mü über 1 ist 2. Wunderbar. Also es sind tatsächlich alle 3 Gleichungen erfüllt. Ich muss Mü gleich 1 wählen, Lambda gleich ein Halb wählen. Und dann sind auch alle 3 Gleichungen erfüllt. Das heißt, es gibt genau einen Schnittpunkt. Ich kann hier genau ein Mü reinsetzen, kriege da so ein X raus. Und ich kriege genau ein Lambda, kriege da auch genau dasselbe X raus.

Es gibt exakt einen Schnittpunkt. All das gucken wir uns später noch im Detail an. Mir ging es jetzt darum, ein bisschen mit Vektoren vorzurechnen, dass sie da so ein bisschen reinkommen in das Thema.