Die letzte Ungleichung, in der noch mal was Kritisches drin ist. x-1 durch x-2 soll größer gleich 1 sein. Sie sehen, wenn ich die Ungleichung hinschreibe, dann kann ich nicht schreiben, für alle x soll die gelöst werden. Wenn x gleich 2 ist, ist das nicht definiert.

Wenn ich hier durch 0 teile, das ergibt nur Sinn für x. Ich schreibe mal so x aus den reellen Zahlen ohne die 2. Das wäre jetzt sehr streng geschrieben. Das möchte ich lösen für x ist eine reelle Zahl, aber nicht die 2.

Die Menge der reellen Zahlen steht hier abgezogen, die Menge mit der 2. Alle reellen Zahlen außer der 2. Das mal lösen, will sagen, Äquivalenz umformen. Das 1. wird natürlich sein, dass man versucht, diese x-2 aus den Nenner wegzukriegen.

Ich trage mal die verschiedenen Möglichkeiten zusammen, was man hier alles rummachen kann. Wenn hier größer gleich 0 stünde, dann könnte ich anfangen mit Vorzeichen zu argumentieren. Sind beide positiv, sind beide negativ usw. Aber hier steht größer gleich 1, das ist gemein.

Was ich hier machen muss, ich möchte den Nenner wegkriegen. Ich möchte beide Seiten der Ungleichung mit x-2 multiplizieren. Das ist mein Gedanke, beide Seiten mit x-2 multiplizieren. Dann ist es hier nur noch x-1 und da auf der anderen Seite steht x-2. So, das ist die Strategie, aber der Ärger ist, wenn Sie eine Ungleichung,

machen wir so was, 4 größer gleich 1. Wenn Sie eine Ungleichung auf beiden Seiten multiplizieren mit einer positiven Zahl, 20 ist größer gleich 5, beide Seiten mal 5, kein Problem. Wenn Sie aber mit einer negativen Zahl multiplizieren,

steht da minus 8, minus 2. 4 ist größer gleich 1, aber minus 8 ist kleiner gleich, minus 2. Wenn Sie mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich die Ungleichung um. Vielleicht müssen wir es nochmal aufmalen. Wenn Sie haben was, das ist größer gleich dem.

Wenn Sie die Vorzeichen ändern, ist das falsch rum, dann kriegen Sie kleiner gleich. Sie können auf beiden Seiten was addieren, das heißt aufzustocken,

dann bleibt die Ungleichung wie sie ist. Sie können auf beiden Seiten was subtrahieren, quasi abspecken auf beiden Seiten, dann bleibt die Ungleichung auch erhalten. Aber wenn Sie mit negativen Zahlen multiplizieren, dann dreht sich die Ungleichung um. Wenn x minus 2 negativ ist, will ich auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren.

Das ist gemein. Deshalb führe ich das hier ausdrücklich nochmal vor. Also brauche ich eine Fallunterscheidung. Ist das, was unten steht, positiv oder ist es negativ? Das wäre meine Fallunterscheidung. Ist es positiv, ist es negativ? Und gleichzeitig soll die Ungleichung gelten.

Dann haben wir jetzt eine Chance weiterzukommen. Vielleicht mache ich die 1 nicht ganz so monströs. x minus 1 durch x minus 2 ist größer gleich 1. Das ist wieder meine etwas schräge Art Fallunterscheidungen hinzuschreiben in einer einzigen logischen Umformung.

Der Nenner ist positiv und meine Ungleichung gilt. Oder Alternative, der Nenner ist negativ und meine Ungleichung gilt. Und jetzt kann ich weiterarbeiten. Habe ich eigentlich nicht etwas verschlammt? Wo ist gleich geblieben? Bei dem Betrag hatte ich darauf Wert gelegt, dass sie irgendwo ein Gleich haben. Jetzt habe ich plötzlich kein Gleich mehr hier bei der Fallunterscheidung.

Was habe ich da verschlammt oder nicht? Durch 0 kann ich nicht teilen. Ich habe das sowieso schon ausgeschlossen. Ich gucke mir nur die x an, die größer sind als 2 oder die x, die kleiner sind als 2. Ich gucke mir nicht die Zahl 2 an, weil dieser Ausdruck undefiniert wird. Also habe ich tatsächlich alle Fälle erwischt. x gleich 2, x minus 2 gleich 0 kommt gar nicht vor.

Bei dem Betrag hatten wir den Ärger. Da kam alles vor. In dem Betrag können Sie alle Zahlen einsetzen. Aber hier bei dem Bruch darf unten nicht 0 stehen. Also ich habe hier keinen Fall verpennt. Das ist komplett. So, und jetzt versuchen Sie mal den oberen und den unteren weiter umzuformen, indem Sie mit x minus 2 multiplizieren.

Im ersten Fall weiß ich, dass der Nenner positiv ist. Und ich wollte ja, deshalb der ganze Ärger, ich wollte links und rechts mit x minus 2 mit dem Nenner multiplizieren. Der Nenner ist positiv. Und das, wenn Sie jetzt links und rechts mit dem Nenner multiplizieren, steht auf der linken Seite nur noch x minus 1.

Der Nenner fliegt raus. Und auf der rechten Seite steht x minus 2. Links und rechts mit x minus 2 multiplizieren, eine positive Zahl. Hier kürzt sich das weg. Rechts kommt es hin. Und das Ungleichungszeichen bleibt so stehen, denn ich habe mit einer positiven Zahl multipliziert.

Im zweiten Fall weiß ich, dass der Nenner negativ ist. Dieses soll gelten und das soll gelten. Das heißt, der Nenner ist auf jeden Fall negativ. Wenn ich jetzt links und rechts mit dem Nenner multipliziere, ist der zahlentechnisch links und rechts das selbe wie vorher. Links kürzt es sich weg, rechts bleibt es x minus 2.

Aber, wie eben erklärt, das hier muss dann eben ein kleiner Gleich werden. Übrigens auch nicht das Gegenteil. Kein kleiner. Beim logischen Gegenteil hat man das kleiner. Das Gegenteil vom Größergleich ist kleiner. Aber hier brauche ich nicht das Gegenteil, sondern sozusagen minus die Ungleichung. Die Ungleichung anders herum.

Links und rechts vertauscht. Aus dem Größergleich wird ein kleiner Gleich. Das ist der zweite Fall. Das war noch nicht so ganz verständlich anscheinend. Vielleicht muss ich das doch nochmal mit irgendwelchen Zahlen haben. Wenn Sie so eine Ungleichung haben, wie 3 durch 4 ist Größergleich, was machen wir, ein halb.

Und jetzt multiplizieren Sie auf beiden Seiten mit 4. Dann steht da 3 ist Größergleich 4 mal ein halb. Das passiert ja im Endeffekt. Nur eben mit Symbolen hingeschrieben

und nicht mit echten Zahlen hingeschrieben. Das ist das obere. Ich weiß, dass mein Nenner eine positive Zahl ist. Hier unten steht eine positive Zahl. Ich multipliziere beide Seiten mit dem Nenner. Haut hin. Hier unten weiß ich, dass der Nenner eine negative Zahl ist. So was wie 3 durch minus 4. Dann sollte ich hier auf der rechten Seite natürlich irgendwas Sinnvolles hinschreiben.

3 durch minus 4 ist Größergleich. Och, was weiß ich, minus 1000. So. Und jetzt multipliziere ich beide Seiten mit minus 4. Das ist, was hier unten passiert. Da bleibt die 3 stehen. Diese minus 1000 wird minus 1000 mal minus 4.

Ich setze mal ein Klammer drum. Sieht netter aus. Das heißt, auf der rechten Seite steht als Ergebnis, was? Ja, plus 4000. Um uns zu ärgern. Plus 4000. Das ist kein Größergleich mehr. 3 ist nicht Größergleich 4000.

Das muss ein kleiner Gleich sein. 3 ist kleiner Gleich 4000. Das ist das, was hier passiert. Ich multipliziere mit einer negativen Zahl. Mit der minus 4 auf beiden Seiten. Und dann dreht sich das Ungleichungszeichnungen. Es wird nicht zum Gegenteil. Es wird zu links-rechts vertauscht. Das passiert hier im zweiten Fall.

Also ich würde ganz dreist aus Zeitgründen sagen, wenn das noch hakt, verlagern wir das ins Tutorium. Besprechen Sie das nochmal mit den Tutoren. Oder gucken Sie sich das Video nachher nochmal an. Ich hatte das in den alten Videos ja auch schon vorgeführt.

Ich möchte jetzt noch mal darauf zu sprechen kommen, was jetzt im weiteren passiert. Da waren einige schon ganz irritiert. Was da jetzt steht, das finde ich gut, dass sie irritiert waren. Dann lernen sie was. Ich schreibe mal hin, was da jetzt als Ergebnis steht. x minus 2 ist größer 0. Und x minus 1 ist größergleich x minus 2.

Das bleibt da oben übrig. x minus 1 ist größergleich x minus 2. Oder, x minus 2 kleiner 0, x minus 2 kleiner 0. Und x minus 1 ist kleinergleich x minus 2. x minus 1 ist kleinergleich x minus 2. Das bleibt da übrig. Übrigens, das hatte ich eben gesehen, das da vorne bleibt natürlich stehen.

Ich habe den hinteren Teil umgeformt. Wenn x größer ist als 2, dann weiß ich, was ich aus diesem zweiten Ausdruck machen kann. Das steht da. Aber das da vorne muss natürlich stehen bleiben. Den kann ich nicht einfach unter den Tisch fallen lassen. Ich habe nur den hier hinten umgeformt. Zu dem. Und den da hinten zu dem umgeformt.

Ja, Frage, warum muss ich jetzt nicht links umformen? Lesen Sie das linke wie eine Bedingung. x soll kleiner sein als 2. x minus 2 soll kleiner sein als 0. Lesen Sie das wie eine Bedingung. Und dann gucken Sie sich den rechten an und gucken, ah, wenn x minus 2 kleiner ist als 0, was kann ich aus dem rechten machen?

Kann ich den raffinierter schreiben? Oder, nicht raffinierter, einfacher schreiben? Ja, ich kann den einfacher schreiben. Ich forme nur den rechten um aktuell. Und im nächsten Schritt bleibt es bei dem rechten. Das hatten jetzt viele schon gesehen und sich gewundert. x minus 1 ist größer gleich x minus 2. Da kann ich auf beiden Seiten x abziehen.

Ich habe ja gesagt, ich kann abziehen und addieren, was ich will bei der Umgleichung. Es geht nichts kaputt. Also ziehen wir von beiden Seiten x ab. Und da steht da, minus 1 ist größer gleich minus 2. Und x kommt nicht mehr vor. Das irritiert Sie, aber eigentlich müssten Sie sich darüber freuen, dass da gar kein x mehr drin steht.

Das selbe passiert hier unten. Sie ziehen von beiden Seiten x ab, dann steht da, minus 1 ist kleiner gleich minus 2. Kein x mehr. Da denken Sie mal weiter. Was passiert da für einen Unsinn? Und warum ist das gar kein Unsinn? Darauf freuen wir uns drüber. Eine Ungleichung zu lösen, in der kein x vorkommt, kostet anscheinend noch Überwindung. Stellen Sie sich vielleicht Folgendes vor.

Die Menge aller reellen Zahlen x mit der Eigenschaft, dass 13 kleiner als 42 ist. Was ist das für eine Menge? 13 kleiner als 42 ist immer wahr. Egal welches x Sie nehmen, 13 kleiner als 42 ist immer wahr. Das heißt, ich nehme alle x.

Das ist die Menge der reellen Zahlen. Es ist ein Blödsinn, nicht in diesem Fall, weil man das sofort wegstreichen kann. Aber Sie sehen, wenn sich hier Ungleichungen auflösen, tritt sowas tatsächlich auf. So, dass das x plötzlich einfach rausfällt. Kann man machen. Vielleicht ist das hier noch nicht ganz so schick. Vielleicht schreiben Sie es so.

Wenn Sie unbedingt einen x haben wollen, dann schreiben Sie 0 mal x plus 13 ist kleiner als 42. Das ist für jedes x wahr. Wenn Sie unbedingt einen x haben wollen, schreiben Sie sich eins rein, wenn es für Sie leichter ist. 0 mal x plus 13 kleiner als 42. Das ist für alle x wahr. Es kommen die reellen Zahlen raus als Menge. Aber 0 mal x ist immer 0.

Das kann ich weglassen. Deshalb steht da 13 kleiner als 42. Und dasselbe passiert jetzt hier oben. x fliegt netterweise raus. Und ich habe die ganze Zeit was Wahres oder was Falsches. Minus 1 größer als minus 2 steht hier oben.

Minus 1 größer als minus 2. Das muss ich mir auf dem Sahnenstrahl aufmalen. Minus 1 haben wir da, minus 2 haben wir da. Dieser logische Ausdruck hier, minus 1 größer als minus 2. Ich möchte wissen, ob minus 1 auf der selben Stelle oder rechts von minus 2 liegt. Ja, dieses hier ist immer wahr.

Für alle x. Das hier unten, liegt minus 1 auf der selben Stelle wie minus 2. Oder links davon, nein, genau falsch herum. Das hier unten ist immer falsch. Egal was ich mache. Egal welches x.

Insofern ist das doch schön, dass x rausfällt. Ich habe hier direkt vereinfacht. Und jetzt steht hier oben, irgendetwas und etwas Wahres. Was machen Sie da raus? Irgendetwas und etwas Wahres. Genau, Vorsicht. Das ist nicht sofort wahr oder falsch,

sondern was hier vorne steht. Wenn das da vorne wahr ist, wahr und wahr ist das Gesamte wahr. Wenn das da vorne falsch ist, falsch und wahr ist das Gesamte falsch. Das heißt, dieses hier hinten kann ich einfach wegstreichen. Diesen ganzen Teil hier hinten kann ich wegstreichen, weil er immer wahr ist. Das ist wie Mal 1.

Das wahr ist sowas für die Zahl 1 und das und ist sowas wie mal. Sehr abstrakt. Und was hier steht ist dann mal 1. 42 mal 1 können Sie weglassen. 42 mal 1 ist 42. Sowas ähnliches passiert dann hier. Und wahr. Im unteren Teil, und falsch. Was wäre das bei Zahlen?

Die Analogie bei Zahlen. Und falsch. Und falsch ist analog zu mal 0 bei den Zahlen. Egal was hier vorne steht, und falsch wird falsch werden. Wahr und falsch ist falsch. Falsch und falsch ist falsch. Das ist sowas wie mal 0 bei den Zahlen. Das heißt, ich kann hier nicht das Ding da hinten wegstreichen.

Ich kann das ganze hier unten wegstreichen. Samt dem Oder. All das kann ich wegstreichen. Oder etwas was falsch ist. Der gesamte unteren Ausdruck wird falsch. Oder etwas was falsch ist. Ist so wie plus 0. Macht nichts kaputt. Und dann bleibt das da stehen. X minus 2 größer 0.

X minus 2 größer 0 heißt, X ist größer als 2. Oder wenn Sie es als Lösungsmenge hinschreiben, ein Intervall eben. Die reellen Zahlen ab 2 aufwärts ohne die 2. So könnte man das hinschreiben. Jo, da waren noch so ein paar Klippen zu überwinden.

Übung macht den Meister, muss ich da sagen. Sie können es ja notfalls in den alten Videos nachgucken. Der Trick ist wirklich aufzupassen mit Vorzeichen. Das darf man an solchen Stellen nicht übersehen. Und lassen Sie sich nicht ins Bockshorn jagen, wenn das X plötzlich weg ist. Freuen Sie sich, wenn das X plötzlich weg ist.