Folgendes Polynom, x hoch 3 minus 400 x² plus 40.000 x. Die Frage ist, ist y größer als 0 für x gleich 193,75?

Die Fragezeichen, das ohne Rechnen beantworten, ohne großartiges Rechnen. Also man sieht sofort, dass 0 eine Nullstelle ist. Wenn Sie 0 einsetzen, kommt 0 raus. Insbesondere steht ja hier nicht noch plus 42 ohne x. Alles hat ein x dabei. Wenn ich 0 einsetze, kommt 0 raus.

Das weiß ich schon mal. Da gehe ich durch die x-Achse an der Stelle 0. Und nach 3 mal Nachrechnen stellt man fest, wenn man 200 einsetzt, kommt auch 0 raus.

Hier der Faktor 2 macht hier die 8. Hier habe ich 4 mal die 2 am Anfang, macht eine 16, abgezogen. Und hier kommt 4 mal 2, macht wieder eine 8. Und die Nullen kommen dann auch richtig hin. 200 haut hin. Wenn ich 200 einsetze, kommt auch 0 raus.

Es ist eine kubische Parabel. Da habe ich jetzt nicht mehr allzu viele Möglichkeiten für eine kubische Parabel. Insbesondere weiß ich, dass es eine kubische Parabel ist, die von unten nach oben geht. Hier steht nicht minus 98 x hoch 3, sondern steht plus 1 x hoch 3. Die geht von unten nach oben. Muss von unten kommen und nach oben gehen.

Allerdings, der Ärger ist, ich weiß jetzt nicht, ob ich eine dritte Nullstelle habe und wo die liegt. Wenn es eine dritte Nullstelle gibt und die liegt hier links, ich komme von unten, gehe so da durch, so rauf. Okay, wenn das die Situation wäre, dann wäre der Wert an der Stelle 193 noch etwas negativ.

Ohne dass ich weiter nachrechne, wenn das die Situation wäre. Fragezeichen. Wenn diese Null eine doppelte Nullstelle wäre, gehe ich hier so dran und hier so durch.

Was halten Sie von Null eine doppelte Nullstelle? Ist das plausibel? Null kann keine doppelte Nullstelle sein, weil ich dann ja durch x Quadrat teilen können müsste. Durch x minus Null Quadrat müsste ich teilen können. Durch x Quadrat. Die können aber nicht x durch x Quadrat teilen.

Ich müsste insgesamt x Quadrat ausklammern können. Dann wäre Null eine doppelte Nullstelle. Ich kann aber nur x ausklammern. Null ist keine doppelte Nullstelle. Das können wir ausschließen. Ich könnte eine Nullstelle hier zwischen haben vielleicht. Dann komme ich von hier, gehe so da durch, wäre dieselbe Situation.

Es wäre negativ. Ich könnte aber auch eine weitere Nullstelle. Ich könnte aber auch oder nicht. Was halten Sie mir in der Nullstelle? Oder doch? Ich muss mir gerade überlegen. Eine Nullstelle hier. Ich muss mir gerade selbst überlegen. Wie finden Sie das? Eine Nullstelle auf der rechten Seite.

In der Tat. Das wäre machbar. Dann habe ich so einen Verlauf. Und Sie sehen, der Wert an der Stelle 193 wäre positiv. Kann auch passieren. Das kann ich nicht ausschließen. Und was auch noch passieren könnte, ist, dass ich eine doppelte Nullstelle bei 200 habe. Das heißt, ich gehe hier so durch.

Eine doppelte Nullstelle bei 200. Dann wäre der Wert an 193 auch positiv. Das heißt, bisher, weiß ich nicht. Es könnte negativ sein. Es könnte positiv sein. Da muss ich noch ein bisschen weiter nachdenken. Ich versuche erst einmal, dieses Polynom weiter auszubuchstabieren.

Erst einmal diese eine Nullstelle bei 0 rauszunehmen. x mal x² minus 400x plus 40.000 ohne x. Das habe ich ja ausgeklammert. Wie kann ich nun weiter vorgehen?

Genau. Wir gehen einfach mal auf die Suche nach einer verbleibenden Nullstelle. Das hier hinten muss durch x minus 200 teilbar sein. Machen wir das mal gerade. Nebenrechnung. x minus 400x plus 40.000 durch x minus 200 teil.

Man hätte hier hinten auch PQ-Formel anwenden können, um festzustellen, das ist ja quadratisch. x² nämlich. Man hätte ja auch PQ-Formel anwenden können, um hier die Nullstellen zu bestimmen. Aber machen wir es mit Polynomdivision. x² durch x macht x.

Zurückmultiplizieren haben wir x² minus 200x. Ich ziehe das ab. Dann bleiben hier minus 400 plus 200 sind minus 200x. Und die 40.000 haben wir hier auch noch. So, das durch x sind minus 200.

Zurückmultiplizieren. Minus 200 mal x sind diese minus 200. Minus 200 mal minus 200 sind plus 40.000. Und das geht komplett auf. Ich will sagen, es ist eine doppelte Nullstelle. Ich teile durch x minus 200 und ich kriege x minus 200 raus.

Das hier ist also x minus 200 ins Quadrat. x minus 200 mal x minus 200. 200 ist eine doppelte Nullstelle. Ich will sagen, die richtige Wahl ist dieses hier.

Die Kurve setzt bei 200 auf auf die x-Achse. Und deshalb ist der Wert bei 193 oder bei 150 oder bei 100 oder bei 50 positiv. Nicht negativ.

Ohne, dass ich ihn wirklich ausgerechnet habe. Wie gesagt, PQ-Formel wäre eine Alternative. Hier haben Sie die Ausgangsbasis für PQ-Formel. Und Sie stellen fest, in der Wurzel bei der PQ-Formel steht Null. Doppelte Lösung.