Ein Grenzwert. Existiert folgender Grenzwert. Ein Grenzwert n gegen unendlich von Wurzel n plus 2n hoch 3 durch n minus 7 mal den Sinus von n plus 5n².

Geht dieser Grenzwert, eigentlich kann ich dieses Symbol hier, N gegen unendlich nur hinschreiben, wenn das auch wirklich konvergiert. Konvergiert das ja oder nein? Wenn ja, wohin?

Ich sag gerade noch was an. Also das Problem ist offensichtlich, wenn N gegen unendlich geht, geht der Zähler gegen unendlich und der Nenner geht gegen unendlich. Da steht zum Schluss was wie unendlich durch unendlich. Und das kann irgendwas werden. Wenn der Zähler gegen 5 ginge und der Nenner ginge gegen 9, dann wäre der Grenzwert 5 durch 9. Schön.

Aber es ist eben nicht so einfach. Hier steht quasi unendlich durch unendlich. Man kann als einer von tausend Fähigen dafür sorgen, dass da nicht mehr unendlich durch unendlich steht. Versuchen Sie so zu erweitern, so zu kürzen, diesen Bruch exakt umzuformen, so umzuformen, dass im Grenzwert nicht mehr unendlich durch unendlich da steht.

Das wäre das Standardrezept. Hier würde ich eben Folgendes tun. Hier ist auch der Großteil angekommen. Hier würde ich Folgendes tun. Zähler und Nenner durch n². Ich kürze mit n².

Nicht das ganze Ding quadrieren. Das könnte man auch probieren. Diesen ganzen Ausdruck hier quadrieren, er wird nicht unbedingt hübscher. Es wird die Wurzel wegfallen. Aber dafür haben Sie einen monstermäßigen Nenner. Und vor allen Dingen, wenn Sie das quadrieren, berechnen Sie auch das Quadrat vom Grenzwert, wenn es einen gibt. Dann können Sie nicht mit gleich weiter schreiben. Wenn ich hier kürze, bleibt der Bruch so wie er war.

Es wird ein Gleichwerden. Dieses Ding ist gleich. Und jetzt kürze ich Zähler und Nenner durch n². N durch n² ist 1 durch n minus 7 durch n² mal den Sinus von n. Und hier kürze ich 5 mit der Wurzel.

Die Wurzel durch n², das heißt, ich ziehe n hoch 4, das Quadrat von n² in die Wurzel. N durch n hoch 4 macht 1 durch n hoch 3 plus den durch n hoch 4 ist 2 durch n. Jetzt können wir mit Grenzwertsetzen dran gehen,

weil Zähler und Nenner endlich bleiben, wenn n gegen unendlich geht. Nämlich 1 durch n geht gegen 0, wenn n gegen unendlich geht. Der Sinus ist beschränkt, immer zwischen minus 1 und 1. Wenn Sie das durch n² teilen, haben Sie etwas, was gegen 0 geht.

Die 5, naja, ist konstant 5. Das heißt, der ganze Nenner geht gegen 5. Er bleibt endlich im Unendlichen. Das habe ich jetzt erreicht durch das Kürzen. In Zähler, 1 durch n hoch 3 geht gegen 0, 2 durch n geht gegen 0.

Jetzt bilde ich die Wurzel aus etwas, was gegen 0 geht. Ich lene die Wurzelfunktion vor. Mein x geht gegen 0. Dann, Überraschung, geht auch mein y gegen 0. Die Wurzel geht gegen 0.

Welche Eigenschaft der Wurzelfunktion ist das eigentlich? Ich bilde die Wurzel aus etwas, was gegen 0 geht. Dann weiß ich, die Wurzel geht gegen 0. Welche Eigenschaft der Wurzelfunktion steckt da drin? Genau, die Stetigkeit. Das ist eigentlich dann auch eine Art Grenzwertsatz, die Stetigkeit. Wenn ich die Wurzel von etwas bilde, das gegen 0 geht,

dann wird auch die Wurzel gegen 0 gehen, weil die Wurzel stetig ist. Die Wurzel läuft ja nicht so, sondern ist stetig. Stetige Funktionen sind mit Grenzwerten kompatibel sozusagen. Das kommt hier nebenbei noch vor. Und jetzt gibt es den Grenzwertsatz für Brüche.

Wenn der Zähler gegen was Endliches geht, und der Nenner gegen was Endliches geht, aber nicht 0, geht das ganze Ding, der Bruch, gegen Grenzwert durch Grenzwert, 0 durch 5. Und das ist 0.

Das wäre der offizielle Weg mit Grenzwertsätzen. Es gibt sich auch Leute, die hier so ganz hochmathematisch mit epsilon delta dran gehen. Das wäre viel zu heftig. Die Grenzwertsätze liefern einem das ja frei Haus. Ingenieurmäßig, das habe ich letterweise auch schon gerade bei einigen von Ihnen gesehen. Ingenieurmäßig würde ich sagen,

dieser Ausdruck hier ist asymptotisch zu folgendem. Im Zähler ist das N doch ein Witz gegen das N hoch 3. Also eigentlich steht da im Zähler 2 mal N hoch 3. Und im Nenner ist der Sinus und das N ein Witz gegen das 5m².

Und da steht dann im Endeffekt Wurzel 2 durch 5 mal N hoch 3 halbe durch N². Schauen wir uns mal hin, was ist das dann? Wurzel 2 durch 5 mal N hoch 3 halbe,

die Wurzel aus N hoch 3, also N hoch 3 halbe durch N², macht 2 die Wurzel durch 5. Was passiert hier? N hoch 3 halbe durch N². N hoch minus ein halb. Sie ziehen die beiden voneinander ab.

N hoch minus ein halb. 1 durch die Wurzel N. Das ist was hier eigentlich für große N passiert im wesentlichen, im asymptotischen Zeichen. So rechnet man dann nachher offiziell auch in der Informatik. Dann steht da irgendwas O von so und so viel. Dafür gibt es auch ganz direkte Rechenregeln. Das ist nicht so hundertprozentig einfach.

Das kann man nicht immer so händewedelnd machen. Aber so würde man dann im wahren Leben eigentlich dran gehen. Was macht der Zähler im Prinzip? Was macht der Nenner im Prinzip? Und dann sehen Sie, dieser ganze Bruch ist eigentlich sowas wie irgendwas mal 1 durch Wurzel N. Und natürlich geht das gegen Null. Das ist sehr händewedelnd.

Eine streng mathematische Begründung ist auf jeden Fall diese Idee hier mit dem Kürzen und Erweitern, sodass Zähler und Nenner endlich werden. Also wenn Sie so dran gehen wollen von mir aus, auch gerne so. Ich muss doch noch einen Warnhinweis geben hier zu der händewedelnden Methode.

Man kann da auch gerne mal Blödsinn rauskriegen, wenn man nicht vorsichtig ist. Gucken Sie sich folgendes an. N² durch N minus N minus 1² durch N. Was würden Sie aus dem Bauch heraus sagen? Was passiert hier?

Wenn Sie nicht allzu genau hingucken, möchten Sie vielleicht annehmen, dass hier was gegen unendlich geht. N² durch N. Tun Sie sich und mir mal den Gefallen. Fassen Sie das zusammen und gucken Sie, was wirklich passiert. Also hier haben wir N².

Und jetzt mit Binomie minus, ich schreibe es dann wirklich ausführlich hin, N² minus 2N plus 1 durch N. N² minus N² fliegt raus. Und dann haben wir minus minus 2N, also plus 2N.

Minus minus 2N macht plus 2N. Minus 1 durch N. Und jetzt wissen Sie schon den Trick. Zähler und Nenner so ändern, erweitern, kürzen, dass sie endlich werden. Wenn es denn geht, hier klappt es. Ich teile beides durch N. Ich kürze durch N.

Dann steht da 2 minus 1 durch N durch 1. Zähler und Nenner durch N. Das ist wirklich immer gleich. Gut, was passiert? 1 durch N geht gegen 0 und das ganze Ding geht gegen 2. Also gar kein Problem. Was hier passiert ist, dass diese Explosion des ersten Ausdrucks

fast durch die Explosion des zweiten Ausdrucks aufgehoben wird. Da steht so etwas wie unendlich minus unendlich. Und dann kann wieder jeder mögliche Unsinn passieren. Also man muss ein bisschen vorsichtig sein, wenn man hier so händewedelnd rechnet mit asymptotischen Verhalten. Dieses hier ist asymptotisch N.

Aber dieses hier ist auch asymptotisch N. Und wenn Sie die beiden voneinander abziehen, ist es ein bisschen knifflig. Dann kann natürlich quasi der Konstanter zum Beispiel stehen bleiben. Moral, lieber einen Schritt mehr rechnen und nicht ganz so hemsärmlich dran gehen.

Unendlich minus unendlich ist genauso undefiniert wie diese Geschichte hier unendlich durch unendlich. Man muss genau reingucken, sonst kann man nichts dazu sagen.