Zu lösen ist folgende Ungleichung. Das Produkt x-2 mal x-3 soll größer sein als 0. Und x ist eine reelle Zahl. Denken Sie darüber nach, wann das Produkt zweier Zahlen positiv wird.

Das ist der Gedanke. 7 mal 8 ist positiv, 7 mal minus 8 ist negativ, minus 7 mal minus 8 ist wieder positiv. Schreiben Sie das mal hin. Nicht ausmultiplizieren. Bevor Sie anfangen zu arbeiten, denken Sie erst mal darüber nach, was Sie da arbeiten.

Das geht auch mit ausmultiplizieren, aber das ist drei Schritte länger. Denken Sie direkt darüber nach, wann ein Produkt zweier Zahlen größer ist als 0. Einige haben schon so etwas wie Linearfaktoren gesehen. Wenn Sie das schon gesehen haben, wissen Sie, was hier auf der linken Seite steht.

Das ist eine nach oben geöffnete Parabel, die an der Stelle 2 und an der Stelle 3 durch die x-Achse geht. So sieht das aussehen, was hier auf der linken Seite steht. Und dann kann ich direkt sagen, wann ist das größer als 0? Wenn ich hier bin, bis zur 2, ohne die 2, dann ist das Ergebnis größer als 0.

Und wenn ich hier bin, ab der 3, ohne die 3, dann ist das Ergebnis größer als 0. Das haben wir aber offiziell noch nicht gehabt mit Linearfaktoren usw. Wir können uns das hier mit Logik noch mal zusammen basteln. Wann ist ein Produkt positiv?

Ein Produkt ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren positiv sind oder beide Faktoren negativ sind. Minus 3 mal minus 3 ist auch plus 9. Was kann ich ja hinschreiben? Beide Faktoren positiv, der erste positiv und der zweite positiv. So sieht das dann offiziell aus.

Der erste ist größer als 0 und der zweite größer als 0. Oder beide Faktoren negativ, x minus 2 kleiner als 0 und x minus 3 kleiner als 0. Das wäre die Übersetzung in Logik. Wie ist das mit Klammern? Das geht ja manchmal schief mit Klammern.

Sollte ich hier noch Klammern setzen? Wenn ja, wo? Das war eine gemeine Fangfrage. Nein, hier müssen wir nicht klammern, das ist automatisch schon richtig. Ohne dass es hingeschrieben ist, gelten diese Klammern hier. Das ist was automatisch passiert. Erst die Uns ausrechnen und dann das Oder ausrechnen. Das Und ist sowas wie das Mal und das Oder ist sowas wie das Plus.

Und das ist genau das, was ich haben will. Die automatischen Klammern sozusagen sind genau die richtigen. Beide positiv, erst das auswerten, oder beide negativ. Erst das auswerten hier unten und dann kommt das Oder. Das können wir jetzt vereinfachen. x minus 2 größer als 0. Auf beiden Seiten addieren Sie 2.

Dann steht da x ist größer als 2. Und auf beiden Seiten 3 addieren, x ist größer als 3. Oder auf beiden Seiten 2 addieren, x ist kleiner als 2. Und auf beiden Seiten 3 addieren, x ist kleiner als 3.

So reicht das. Und jetzt überlegt man sich, dass man ganz viel davon wegstreichen kann. Was kann ich wegstreichen? Das größer 3 ist wichtig, das größer 2 ist automatisch da. Wenn das größer 3 erfüllt ist, x ist eine Zahl ab 3 aufwärts ohne die 3.

Dann ist es automatisch eine Zahl größer als 2. Größer als 2 folgt aus dem größer als 3. Den ersten Teil kann ich wegstreichen. Der ist automatisch erfüllt, wenn der zweite erfüllt ist. Und hier unten müsste es ungefähr sein, wenn mich meine Ahnung nicht trügt. x soll kleiner sein als 2 und x soll kleiner sein als 3.

x kleiner als 3 ist automatisch erfüllt, wenn x kleiner ist als 2. Der zweite Teil ist über. Und es bleibt, x ist größer als 3 oder x ist kleiner als 2. Das hatte ich eben auch aufgemalt mit der Parabel.

Jetzt haben wir es hier nochmal streng logisch. Wenn man unbedingt will, könnte man jetzt auch schulmäßig so eine Lösungsmenge hinschreiben. Was ist die Menge aller x, die das hier erfüllt? Die Menge aller reellen Zahlen x, die das hier erfüllen.

Das ist am einfachsten, das habe ich bei den meisten gesehen, jetzt mit dem Intervall hinzuschreiben. Das Intervall, offen von 1 bis 3. Minus unendlich bis 2 ohne die 2. Minus unendlich bis 2 ohne die 2. Das ist der Teil. Vereinigt, richtig schönes rundes vereinigt. Vereinigt alle reellen Zahlen ab 3 aufwärts ohne die 3.

Ab 3 aufwärts ohne die 3 bis ins Unendliche. Die Schreibweise war total korrekt bei allen. Unendlich ist für die Mathematiker erstmal keine Zahl, zumindest ist es keine reelle Zahl. Insofern hier die runden Klammern beim Unendlich.

Auf der linken Seite steht natürlich Minus unendlich. Ich will hier nach links, nicht plus unendlich. Dazwischen steht die Vereinigungsmenge, das Zeichen für die Vereinigungsmenge. Nicht das logische Oder. Beim Oder muss links und rechts was mit wahr und falsch stehen. Hier steht nichts mit wahr und falsch. Beim Oder steht so etwas wie x wie größer 3, irgendwas was wahr oder falsch wird.

Bei den Mengen steht das Vereinigt. Und was da auch nicht steht ist ein UND. Die Verlockung ist groß. Die linke Menge und die rechte Menge. Das ist aber die Vereinigungsmenge. Es ist ja nicht beides gleichzeitig wahr.

Ich bin nicht links und rechts gleichzeitig. Links UND rechts gleichzeitig bin ich nicht. Es ist die Vereinigungsmenge. Links lassen Sie sich nicht von dem Wort UND irritieren. Ich kaufe 3 Birnen und 5 Äpfel. Das ist dann die Vereinigungsmenge, auch wenn man UND sagt.

Die Ungleichung zu lösen. Was heißt eigentlich die Ungleichung zu lösen? Bei Gleichungen ist das klar. Wenn Sie eine Gleichung lösen soll da zum Schluss stehen x ist gleich 93. Dann haben Sie die Gleichung gelöst. Bei Ungleichungen ist das so ein bisschen schwammig. Ungleichung lösen darunter würde ich verstehen, dass Sie zum Schluss einen Ausdruck haben,

der wirklich aufs Blödeste vereinfacht ist. Ich kann sofort sagen, wenn ich ein bestimmtes x habe, x gleich 13 sehe ich sofort, ah ja, x gleich 13 ist drin. Wenn ich x gleich 1 habe, kann ich sofort sehen, es ist nicht größer als 3. Oh, es ist sogar kleiner als 2. x gleich 1 ist auch drin.

x gleich 2,5 sehen Sie, das stimmt nicht. Das stimmt nicht, ist nicht drin. Vereinfachen einer Ungleichung wäre für mich so einen Ausdruck zu finden, der wirklich so blöd wie möglich ist. x minus 2 kleiner 0 wäre für mich noch nicht die Ungleichung aufgelöst.

Oh, Nachtrag. Für mich wäre das hier die Ungleichung aufgelöst, weil das ist ja weiterhin so eine Ja-Nein-Bedingung. Wenn Sie die Lösungsmenge hinschreiben, gerne. Schreiben Sie von mir aus eine Lösungsmenge hin. Die kann man ja auch auf 1000 Daten hinschreiben.

Aufgelöst würde dann heißen, dass Sie die Lösungsmenge mit Hilfe von Intervallen hinschreiben. Irgendein Intervall vereinigt, irgendein Intervall vereinigt, irgendein Intervall. Aber dann natürlich diese Intervalle so wählen, dass sie so simpel sind wie möglich. Sie könnten jetzt ja auch noch vereinigt das Intervall von 42 bis 100 dazuschreiben.

Das wäre dieselbe Menge, weil hier nichts Neues hinten dran kommt. Dann würde ich aber sagen, die Lösungsmenge so hinschreiben mit Intervallen, dass es die einfachstmögliche Form ist. Nicht irgendwas doppelt moppeln oder ungeschickt hinschreiben. Sie können ja auch hier schreiben von 3 bis 4, vereinigt das Intervall von 4 bis unendlich.

Wäre schon wieder dieselbe Menge, aber nicht ganz so prickelnd hinten geschrieben. Dann würde ich sagen, möglichst stark vereinfachen die Lösungsmenge dann, wenn Sie die mit Intervallen schreiben. So einfach wie möglich mit Intervallen schreiben. Oder das eben.

Eine Änderung an dieser Ungleichung. Größer 1. Das geht da nicht mehr ganz so leicht. x minus 2 mal x minus 3 soll größer als 1 sein. Alle realen Zahlen, für die dieses Produkt größer ist als 1.

Das muss man jetzt im Zweifelsfall tatsächlich zu Fuß machen. Es sei denn, man weiß schon die Geschichte mit den Ja-Faktoren. Dann kann man das ein bisschen raffinierter machen. Gibt es später. Jetzt lösen Sie das tatsächlich mal durchaus multiplizieren. Mit dem ersten Teil habe ich Sie auf die total falsche Fährte gebracht.

Super, so gehört sich das. Wenn da größer 0 steht, dann kann man so argumentieren. Beide positiv oder beide negativ. Wenn da größer 1 steht, haut das nicht mehr hin. Dass Sie sagen, beide größer 1 oder beide kleiner 1. Sie können ja zum Beispiel haben ein halb mal 1000.

1500 ist größer als 1. Aber der erste ist kleiner als 1 und der zweite ist größer als 1. Es funktioniert nicht mehr der selbe Trick. An der Stelle ist es tatsächlich das Naheliegende hier vorne auszumultiplizieren. Vergleiche mit größer 0 sind einfach.

Vergleiche mit 1 sind nicht so leicht. Tatsächlich mal ausmultiplizieren. Zusammenfassen und dann kriegen Sie eine Parabelform. Also die wirklich mal nach Rezept ausmultiplizieren. Das gibt x². Minus 2x minus 3x macht minus 5x.

Minus 2 mal minus 3 plus 6 größer als 1. Jetzt haben einige die PQ-Formel hier auf die linke Seite angewendet. Das hilft nicht so viel, weil ob die linke Seite 0 ist, hilft mir jetzt nicht so viel, wenn ich wissen will, ob die linke Seite größer ist als 1. Wenn Sie 1 noch rüberbringen, auf beiden Seiten 1 subtrahieren.

Das sehe ich jetzt aber nochmal. Wenn Sie eine Ungleichung haben, irgendetwas ist größer als etwas anderes. Und Sie subtrahieren auf beiden Seiten dasselbe. Und bleibt die Ungleichung erhalten. Genauso wenn Sie addieren auf beiden Seiten. Da kann nie was schief gehen. Auf beiden Seiten 1 abziehen.

x² minus 5x plus 5 ist größer als 0. Auf beiden Seiten 1 abgezogen. Jetzt sehe ich, das ist eine nach oben geöffnete Parabel. Und ich überlege mir neben Rechnung. Geht die Parabel denn durch die x-Achse?

Hat die Schnittpunkte mit der x-Achse? Wo ist das gleich 0? PQ-Formel. Minus die Hälfte von dem minus 5. Also 5 halbe plus minus. Das hier vorne quadrieren sind 25 Viertel. Und die 5 abziehen.

Das macht 5 halbe plus minus. Die 5 sind 25 Viertel. 25 Viertel minus 20 Viertel bleiben 5 Viertel. Und daraus die Wurzel. Also Wurzel 5 halbe. Ich ziehe schon die Wurzel aus den Vierteln.

Es gibt also zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Diese Situation. Eine nach oben geöffnete Parabel, die an zwei Stellen durch die x-Achse durchgeht. Mich interessiert, wo der Wert größer ist als 0. Ähnliche Situationen wie eben.

Hier auf der linken Seite. Und hier auf der rechten Seite. Da ist der Wert größer als 0. Also ist meine originale Ungleichung logisch äquivalent zu. x liegt auf der linken Seite. Kleiner als 5 halbe. Minus Wurzel 5 halbe. Oder x liegt auf der rechten Seite.

Größer als 5 halbe. Plus Wurzel 5 halbe. Oder wenn wir es als Lösungsmenge schreiben. Alternativ so wie eben. Ein Intervall von minus unendlich offen bis zu den hier. 5 halbe minus Wurzel 5 halbe. Auch nicht dabei.

Offen oder schulmäßig. Diese Ecke kann man falsch rum. Vereinigt. Ganz schön sauber. Kein oder. Mengen werden vereinigt. Und auf der anderen Seite starte ich bei 5 halbe. Plus Wurzel 5 halbe. Und damit das ein Intervall wird von bis.

Das fehlte gerade an einer Stelle. Von bis sind die Intervalle immer. Muss da auch unendlich noch beistehen. Sie können nicht das unendlich weglassen. Das wäre dieses. Bei Sachen die mir eben aufgefallen sind noch. Das ist am Anfang echt schwierig. Bei den Zahlen haben wir plus und mal.

Und das Vorzeichen minus und ein gleich. Bei den logischen Operationen haben wir kein plus. Sondern ein oder. Und kein mal und ein und. Und kein Vorzeichen minus. Sondern ein Komplement. Und kein gleich. Sondern ein logisch Äquivalent.

Und bei den Mengen. Hier haben wir die. Ich schreibe einfach nur Logik. Und bei den Mengen ist es noch mal anders. Sonst wäre es ja zu einfach. Bei den Mengen haben wir ein Vereinigt. Ein deutliches Vereinigt. Und ein geschnitten.

Und ein Kompliment. Ich sollte bei der Logik das nicht hinschreiben. Man schreibt das nein bei der Logik. Auch manchmal mit dem Strich. Oder auch häufig mit dem Strich. Oder und nicht. Bei den Mengen haben wir das Kompliment. Und das gleich. Mengen sind auch gleich.

Bei zwei Mengen, die selben Elemente haben, sind sie gleich. Das hat sich historisch so entwickelt. Man hätte auch überall plus, mal, minus und gleich schreiben können. Es ist leider anders gekommen. Wenn heute jemand das noch mal neu erfinden würde, würde er wahrscheinlich plus, mal, minus und gleich schreiben.

Egal wo. So ist es halt. Also das ein bisschen auseinanderhalten. Dass da andere Symbole stehen. Und diese Rechenoperation oder Mengenoperation und logische Operation im Kern ja auch was anderes tun. Falsch oder wahr. Ist schon ein bisschen was anderes als 0 plus 1 addieren.

Es fühlt sich über große Strecken gleich an. Aber es ist ja eigentlich nicht ganz dasselbe. Ebenso bei den Mengen. Die Vereinigung zweier Mengen ist ja nicht wirklich die Summe zweier Mengen. Die haben ja zum Beispiel nicht doppelt drinnen, was in beiden Mengen gemeinsam ist. Wenn Sie die beiden hier vereinigen.

Die Menge mit dem Element eins und zwei. Vereinigt die Menge mit den Elementen zwei und drei. Dann kriegen Sie ja nur raus die Menge eins, zwei, drei. Und die zwei ist nicht doppelt drinnen. Wenn die zwei doppelt drinnen wären, dann würde sich das für mich eher nach Addition anfühlen.

Also diese Analogien sind nicht so hundertprozentig. Zwischen Logik und Mengen, diese Analogien, die gehen sehr gut. Das nennt sich Booge Algebra. Da geht das sehr gut. Aber die Analogie zu den Zahlen ist ein bisschen gewagt an einigen Stellen. Lange Rede, kurzer Sinn. Passen Sie ein bisschen auf. Bei wahr und falsch stehen diese und bei den Mengen stehen diese.

So weit diese billigen Ungleichungen.