Eine Sache zum Integral, keine Schwerpunktsbestimmung, und ich sollte vorwegschicken, es geht mir jetzt nicht so sehr darum, dass Sie irgendwelche Schwerpunkte ausrechnen können, sondern darum, dass Sie verstehen, was denn das Integral macht. Wir werden jetzt irgendwelche Formeln hier kriegen, lernen Sie nicht diese Formeln auswendig oder so, das ergibt keinen Sinn.

Verstehen Sie, wie das funktioniert, wie man das Integral einsetzen kann. Lernen Sie nicht die Formeln auswendig, darum geht es mir jetzt gar nicht. Und zwar Schwerpunktsberechnung der Hälfte der Kreisscheibe, der Einheitskreisscheibe, also hier oben die Hälfte vom Einheitskreis,

der Kreis mit Radius 1 und den Ursprung, davon die obere Hälfte, und ich würde gerne wissen, wo der Schwerpunkt liegt, von diesem Stück. Wenn Sie das aus Karton ausschneiden, wie können Sie das balancieren? Was wissen Sie auf Anhieb über den Schwerpunkt von diesem Flächenstück?

Genau, der muss auf der Y-Achse liegen, wegen der Symmetrie. Er kann nicht hier liegen, dann müsste er ja auch da liegen, wegen der Symmetrie, das wäre komisch. Es gibt nur einen Schwerpunkt, der muss also auf der Y-Achse liegen, und er kann nicht übereinhalb liegen,

sondern er wird offensichtlich untereinhalb liegen, weil ich ja untereinhalb mehr Masse habe. Hier irgendwo würde ich ihn malen, Pi mal Daumen einmalen wollen, unter Y gleich einhalb. Hier oben fehlt mir ja Masse, und unten habe ich etwas mehr Masse, also etwas unter Y gleich einhalb. Da würde ich ihn vermuten. Bestimmen Sie Ys, die Y-Koordinate vom Schwerpunkt.

Und zwar nach diesem Schema. Was passiert, wenn ich diese Fläche bilde als Zaun? Es stellen sich hier ganz viele Bretter nebeneinander vor, 1000 Bretter nebeneinander.

Für jedes Brett ist das einfach, den Schwerpunkt zu bestimmen. Wie kann ich die verschiedenen Schwerpunkte der Bretter miteinander verrechnen? Das überlegen Sie sich. Sie gucken sich ein bestimmtes Brett an, an einer Stelle X. Wie lang ist dieses Brett? Wo liegt dessen Schwerpunkt?

Und dann überlegen Sie sich im zweiten Schritt, wie Sie die Höhen der verschiedenen Schwerpunkte miteinander verrechnen können, um die Höhe des Gesamtschwerpunkts herauszufinden. Klar ist, die Höhe des Einzelnen ist auf der Hälfte, aber was ist die Gesamthöhe des Einzelnen? Und wie verrechne ich dann diese Einzelhöhen miteinander?

Schritt 1. Wie hoch ist das einzelne Brett an der Stelle X? Zur Hilfe male ich mal dieses hier ein. Da haben wir X, hier haben wir Y.

Also, der Pythagoras. Bitte an dieser Stelle nicht irgendeine Kreisformel aus der Formelsammlung. Sie können den Pythagoras. Dies ist der Einheitskreis. Die Botinuse hat hier länger 1. Also weiß ich, X² plus Y² ist gleich 1.

Also weiß ich, Y ist gleich plus die Wurzel, ich will ja die obere Hälfte vom Einheitskreis, plus die Wurzel 1 minus X². So, damit kriege ich so ein einzelnes Brett. Der Schwerpunkt des einzelnen Bretts liegt auf der halben Höhe, offensichtlich. Da muss ich nicht drüber nachdenken.

Jetzt muss ich nur sehen, wie ich diese halben Höhen miteinander verrechne. Es muss insgesamt sowas werden, wie Ys ist gleich. Ich bilde einen Mittelwert über diese halben Höhen.

Y halbe, wenn das jemand Y ist. Ich schreibe mal Y von X halbe, um das klarer zu machen. Mittelwert bilden, alle aufsummieren. Irgendwas muss hier gleich stehen, wie ein Integral von minus 1 bis 1. Und irgendwo kommt auch noch dx vor. Das haben schon einige so hingeschrieben.

Die Höhen der Schwerpunkte nehmen, Y steht da, die Höhen der Schwerpunkte nehmen und irgendwie mitteln. Wenn Sie das hier sehen, was fällt Ihnen auf, was daran schon sowieso mal nicht hinhauen kann, an diesem Versuch einer Gleichung? Also wir gucken uns die Einheiten an zuerst.

Eine Länge, Meter wenn Sie wollen, hier stehen Meter, Quadratmeter stehen auf der rechten Seite. Das kann nicht die Höhe des Schwerpunkts sein. Es müssen Meter rauskommen. Ein sehr schlechtes Zeichen. Das Ding hier kann nicht stimmen. Man kann nicht einfach hier irgendwie addieren. Es muss raffinierter sein.

Ich mal mal so einen allgemeinen Lattenzaun auf. Die Frage ist, wie kriege ich das jetzt miteinander verrechnet? So eine Geschichte. Ich habe jeweils für jedes Brett die mittlere Koordinate hier. Das ist der Schwerpunkt von jedem Brett.

Jetzt können Sie aber nicht einfach alle diese Höhen hier aufsummieren und durch sechs teilen. Was hier auch gar nicht passieren würde, ist noch eine andere Geschichte, aber gut. Sie können hier gar nicht die Höhen aufsummieren und durch sechs teilen einfach die Mittelwerte der Höhen bilden.

Beispiel, stellen Sie sich vor, Sie legen hier noch 100 Zahnstoffe daneben, deren Schwerpunkte alle da unten liegen. Wenn Sie jetzt den Mittelwert bilden, wird der Mittelwert ganz tief unten liegen, weil Sie 0, 0, 0 und so weiter dazu nehmen. Der Mittelwert wird hier durch ganz tief nach unten gezogen. Aber physikalisch, wenn Sie da jetzt noch 100 Zahnstoffe daneben legen, macht das doch dem Schwerpunkt nichts.

Das kann nicht stimmen. Es kann nicht der normale reine Mittelwert sein. Es kann nicht hinhauen. Ich muss berücksichtigen, dass es noch von der jeweiligen Masse abhängt. Dieser Block hier, der hat einen viel stärkeren Einfluss auf den Schwerpunkt als dieser Block und erst recht als dieser Zahnstoffe.

Es kommt noch auf die jeweilige Masse an. Ich kann nicht einfach nur so mitteln, indem ich addiere und durch die Anzahl teile. Ich muss berücksichtigen, wie viel Masse, welcher Anteil der Masse jeweils dranhängt. So muss ich mitteln.

Also wenn ich, keine Ahnung, wenn das hier insgesamt, schätzen wir mal, wenn das hier insgesamt 15% der Masse sind, nehme ich 15% von dieser Höhe und wenn dieses hier 10% der Masse sind, nehme ich 10% dieser Höhe und so weiter und addiere zusammen. Anteilich, überlegen Sie sich nochmal, was das jetzt sein kann.

Was schreiben Sie hier hin, um das richtige Verhältnis zu kriegen von denen? Was ist der Anteil dieser Höhe? Hier hinten, dieses Gewicht, der prozentuale Anteil, das soll sein, die Fläche eines Bretts, des Bretts

an der Stelle x, mit der Breite dx, wird teilt durch die Fläche von dem ganzen Ding. Das soll sein, das müssen Sie sich überlegen. Die Fläche eines Bretts durch die Gesamtfläche. So viel ist das dann natürlich auch im Verhältnis der Massen. Wenn ich davon ausgehe, dass es aus Karton ausgeschnitten ist, konstante Flächendichte,

das Verhältnis der Massen ist dasselbe wie das Verhältnis der Flächen dann. Die Fläche des Bretts an der Stelle x, mit der Breite dx, geteilt durch die Gesamtfläche. Das will ich da hinten haben, als Gewicht, in Anführungszeichen.

Ja, unten die Gesamtfläche, der halbe Einheitskreis, pi halbe. Hier könnte man auch noch wieder die Formeln schreiben. Eigentlich integriere ich ja über die Kreisfunktion, aber wir wissen ja schon, was die Fläche ist. Pi halbe ist die Fläche des halben Einheitskreises. Die Fläche des Ganzen ist pi, die Fläche des halben ist pi halbe.

Und oben habe ich ein Rechteck, das dx breit ist und y hoch ist. So banal ist das. dx breit, y ist hoch. Hier kommt einfach y dx hin. So funktioniert das. y halbe, ich schreibe hier auch mal y von x. y halbe ist die Höhe des Schwerpunkts des einzelnen Bretts.

Und jetzt summiere ich nicht einfach auf den normalen Mittelwert, sondern ich gewichte. Ich gewichte mit dem Anteil an der Gesamtmasse. So funktioniert das mit dem Schwerpunkt. Das hier ist der Anteil dieses einen Bretts an der Gesamtmasse. Das der Zahnstocher praktisch nichts beiträgt und das lange Brett hier extrem viel beiträgt.

Und das können wir jetzt banal ausrechnen hier. Hier steht also das Integral von minus eins bis eins, y von x quadriert durch pi.

Durch pi, das kann ich auch nach vorne ziehen. y von x quadriert dx. Das war alles, was übrig geblieben ist. Die halbe, diese halbe heben sich weg. Pi bleibt unten, oben bleibt y ins Quadrat dx. Und y ins Quadrat, Sie sehen, wir hätten gar nicht die Wurzel ziehen müssen.

y ins Quadrat ist eins minus x Quadrat. Ist also eins durch pi mal das Integral minus eins bis eins. Minus eins minus x Quadrat dx. Und das geht jetzt schulmäßig. Eins durch pi. Stammfunktion, am simpelsten da ein x.

Und hier am simpelsten minus x hoch drei. Drittel in den Grenzen von minus eins bis eins. Macht eins durch pi. Hier vorne die eins einsetzen. Minus ein Drittel. Und jetzt abziehen. Minus eins einsetzen. Minus eins.

Also noch mal plus eins. Minus eins hoch drei. Macht minus eins durch drei. Wir haben eins minus ein Drittel sind zwei Drittel. Eins minus ein Drittel sind noch mal zwei Drittel sind vier Drittel. Sind also vier durch drei pi.

Ungefähr vier durch neun. Vier durch acht wäre ein halb. Aber wir haben vier durch neun. Wie erwartet liegen wir unter. Unter ein halb wie sich das gehört. Etwas unter ein halb.

Vier durch drei pi. Das Ergebnis ist mir an der Stelle ziemlich egal. Mir geht es wie gesagt darum, dass Sie in der Lage sind Integrale hinzuschreiben. Nicht nur für Schwerpunkte, sondern auch für andere schlimme Geschichten. Aber Schwerpunkt ist ein billiges Beispiel. An dem man das mal relativ einfach erklären kann, wie man den Integral im Allgemeinen hinschreibt.

Also lernen Sie hier nicht diese Formel auswählen. Ich blöde Sie nicht. Die brauchen Sie dreimal im Leben. Verstehen Sie, wie das Integral funktioniert. Das wollte ich damit erklärt haben. Hier ist das Integral für mich sowas wie ein gewichteter Mittelwert. Ich addiere auf die Höhen der Schwerpunkte.

Aber mit bestimmten Gewichten, dem Verhältnis an der Gesamtmasse.