Wenn ich die Summe zweier Logarithmen bilde, Logarithmus x plus Logarithmus y, ich schreibe jetzt natürlich, um etwas konkretes zu haben, wie kann ich das zusammenfassen? Ich bin froh, dass Sie alle sagen x mal y.

Das gilt für alle Zahlen x, y, alle positiven Zahlen x, y. Das ist auch der Grund, weshalb die Logarithmen erfunden worden sind. Das habe ich ja eben hingeschrieben. Ich möchte Zahlen addieren, ich möchte Zahlen nicht multiplizieren. Multiplizieren ist aufwendig. Nun gibt es leider immer wieder das Phänomen, dass Leute das hier falsch verstehen

und sich ein Rezept merken und dann mit sowas am Ende dastehen. Der Logarithmus einer Summe ist die Summe der Logarithmen, haben einige Leute dann gerne da irgendwo stehen auf dem Papier. Was natürlich, Vorsicht, keine gute Idee ist.

Der Logarithmus des Produkts ist die Summe der Logarithmen. Das ist der Grund der Existenz für den Logarithmus. Das hier unten ist im Allgemeinen falsch. Aber um es fies zu machen, ist es nur im Allgemeinen falsch. Es ist nicht immer falsch.

Das will ich noch einmal mit Ihnen durchexizieren. Für welche XY ist das wahr? Absurderweise. Für welche XY stimmt das da unten? Wenn Sie Leute total verwirren wollen, können Sie ihnen schöne Beispiele zeigen, Zahlen XY, für die das wirklich funktioniert, dass der Logarithmus der Summe die Summe der Logarithmen ist.

Für mich ist das jetzt noch einmal eine Möglichkeit, das mit Ihnen durchzuexizieren, wie Logarithmus funktioniert. Also nehmen Sie das mal als Gleichung für X und Y. Das gilt nicht allgemein. Aber es wird für bestimmte XY funktionieren. Finden Sie heraus, für welche XY.

Mein Ziel wäre, nach Y aufzulösen. Y ist gleich bla bla bla von X. Das so aufzulösen. Y ist gleich irgendwas von X. Wie muss ich Y wählen, wenn X gegeben ist, um diese Gleichung tatsächlich zu erfüllen?

Okay, das mit den Umkehrfunktionen ist noch so eine Geschichte. E hoch X, die Exponentialfunktion E hoch X. Ich schreibe mal E hoch X. Bildet ab, zum Beispiel die Null auf die Eins und die Eins auf die Zahl E.

Und so weiter und so weiter. Der natürliche Logarithmus arbeitet rückwärts. Die Eins wird zur Null. E wird zur Eins. Und so weiter und so weiter. So rum arbeitet der natürliche Logarithmus.

Ich verwende jetzt die E-Funktion E hoch X, um hier den Logarithmus loszuwerden. Ich weiß, mein X plus Y wird vom natürlichen Logarithmus zu einer bestimmten Zahl abgebildet. Ich möchte aber wissen, von wo ich gestartet habe, X plus Y. Dafür die E-Funktion.

Ich werde das nochmal hinmalen. Wenn Sie das hier lesen, sehen Sie, dass E hoch, der natürliche Logarithmus von irgendeiner Zahl, diese Zahl selber wieder ist. Und, was habe ich andersherum auch noch? Ja, links starten, E hoch berechnen und dann den Logarithmus bilden.

E hoch berechnen, ich schreibe mal B, andere Variable. E hoch berechnen, links starten, E hoch berechnen und dann den Logarithmus bilden. Auch dann muss ich wieder da landen, wo ich gestartet bin. Ich muss beides hinhauen. Die Exponentialfunktion und natürlich der Logarithmus

kehren sich um. In beide Richtungen klappt das immer mit Funktion und Umkehrfunktion. Wo das noch ein bisschen unklar war. Welche Werte von A darf ich hier oben einsetzen? Welche Werte von B darf ich da unten einsetzen? Fine. Also das hier unten gilt für alle Bs aus den reellen Zahlen.

Positiv wie negativ. E hoch B, können Sie auch für negative Zahlen ausrechnen. Sie kriegen immer eine Zahl, die positiv ist. Kein Ärger mit dem Logarithmus. Hier oben darf ich nur Zahlen haben, die positiv sind. Ich schreibe mal R plus. Für alle A aus R plus.

Der Logarithmus will nur positive Zahlen haben, und liefert dann alle möglichen reellen Zahlen E hoch. Egal, wird funktionieren. So, das hier sind meine wesentlichen Regeln. Die fände ich jetzt an, um den Logarithmus loszuwerden. E hoch, die linke Seite muss sein. E hoch, die rechte Seite.

Dann verwende ich die erste Regel, um die Logarithmen zu beseitigen. Mal gucken, das ist hier irgendwie platzmäßig. Ich schreibe noch mal meine ominöse Gleichung hin. Also angenommen, ich habe zwei Zahlen. So dass der Logarithmus der Summe, ich schreibe mal weiter hier mit

Comic-Fragezeichen, Ausrufezeichen, ist ja gefährlich, dass der Logarithmus der Summe die Summe der Logarithmen ist. Jetzt nehme ich auf beiden Seiten E hoch, schreibe ich mal so. E hoch, blub. Beide Seiten E hoch. Links E hoch, vielleicht schreibe ich es wirklich mal ausführlich hin.

E hoch, die natürliche Logarithmus von x plus y soll sein. E hoch, die natürliche Logarithmus von x plus die natürliche Logarithmus von y. Und jetzt kommt der hier. E hoch, natürliche Logarithmus macht nichts.

Das hier kann ich weglassen. E hoch, natürliche Logarithmus. Auf der linken Seite steht einfach x plus y. Auf der rechten Seite steht eine Summe im Exponenten. Das zwar eben auch noch nicht hundertprozentig da bei allen. Eine Summe im Exponenten wird zum Produkt der Potenzen.

Nicht zur Summe, Vorsicht. Wird zum Produkt der Potenzen. Denken Sie an folgendes E hoch zwei plus drei.

Das sind E hoch fünf. Das sind E mal E mal E mal E mal E. Und das ist E quadrat mal E hoch drei. Mal E hoch drei. Da steht kein Pluszeichen dazwischen, sondern ein Malzeichen. Und das geht nicht nur mit glatten Zahlen, sondern Exponentialfunktionen usw. sind so gebaut,

dass das auch mit krummen Zahlen geht. Also hier wird aus dem Plus im Exponenten ein Mal der Potenzen. Und jetzt kommt noch mal diese Regel hier. E hoch natürlicher Logarithmus macht nichts. Das hier fliegt schon wieder raus.

Der fliegt schon wieder raus. Der fliegt schon wieder raus. Und ich habe x plus y ist gleich x mal y. Also das haut hin, wenn ich es schaffe, dass die Summe der Zahlen x und y gleich dem Produkt der Zahlen x und y ist.

Jetzt noch ein bisschen auflösen. Warte sehen. Ich glaube, das Raffinierteste war y auf die rechte Seite. Ich bringe y auf die rechte Seite. Also minus y habe ich x ist gleich x mal y minus y.

Ich klammere y aus, dann steht rechts, das ist y mal x minus 1. Hier y ausklammern. x mal y minus 1 mal y. Und jetzt teile ich da durch und habe y ist gleich x durch x minus 1.

Was total lustig ist. Also geht es zum Beispiel, wenn x gleich 2 ist, 2 durch 2 minus 1, kann ich y gleich 2 wählen. Ist das nicht absurd?

Der Logarithmus aus 2 plus 2 ist gleich dem Logarithmus aus 2 plus dem Logarithmus aus 2. Fieserweise, wenn Sie Leute irritieren wollen, können Sie die damit schocken. Das gucken wir uns gleich mal gerade an. Warum denn das hinhaut? Der Logarithmus aus 2 plus 2 ist gleich dem Logarithmus aus 2 plus dem Logarithmus aus 2.

Warum passiert hier, was nicht passieren darf? Genau, das Fiese ist, dass 2 plus 2 dasselbe ist wie 2². Das ist das Irritierende. Diese Exponent 2, den kann ich aus dem Logarithmus rausziehen. Und das ist jetzt nur Zufall, dass 2 hoch 2 gleich 2 plus 2 ist.

Deshalb sieht das so aus, als ob es stimmen würde. Für 2 stimmt es zufällig, aber nicht allgemein. Nebenbei hier dieses 2 hoch 2 und 2 plus 2, das hatten wir eigentlich hier eben auch schon bei dem hier. Bei den Dezibel. Leistungsverhältnis 4 zu 1.

Den 6 Dezibel, aber nicht, weil das verdoppelt ist, 4 zu 1, sondern das Quadrat ist von 2 zu 1. Das wird hier verdoppelt von 3 auf 6. Da hatten wir das Serial. Vielleicht noch ein anderes Beispiel zum Abschluss. Oder noch einmal zum Beispiel.

Noch ein Beispiel. Zum Beispiel könnten wir nehmen, x gleich 5. Dann haben wir 5 durch 5 minus 1, 5 Viertel. y ist gleich 5 Viertel. Auch das würde funktionieren. Der Irritmus aus 5 plus 5 Viertel ist absurderweise gleich dem Irritmus aus 5 plus dem Irritmus aus 5 Viertel.

Was passiert hier? Warum funktioniert das, was sonst nicht passiert? Absurderweise steht hier ja 20 Viertel plus 5 Viertel. 25 Viertel sind 5 mal 5 Viertel.

Rein zufällig. Hier 5 plus 5 Viertel ist zufällig dasselbe wie 5 mal 5 Viertel. Also es kann blödsinnigerweise passieren, dass der Logarithmus einer Summe gleich der Summe der Logarithmen ist. Aber bitte, bitte, bitte das nicht als Rechengesetz verwenden.

Das haut nicht hin. Dies ist das Rechengesetz. Das ist der Grund, weshalb wir mit Logarithmen arbeiten, der wesentliche Grund. Aus dem Produkt wird eine Summe. Machen Sie vielleicht ein Vermerk in Ihrer Formelsammlung. Die Summe der Wurzeln ist nicht die Wurzel der Summen.

Und im Allgemeinen ist der Logarithmus der Summe nicht die Summe der Logarithmen. Keine neuen Rechengesetze erfinden, die es noch nicht gibt. Und die auch nicht stimmen.