Jetzt gucken wir uns das Rechnen mit komplexen Zahlen und die geometrische Bedeutung nochmal für den Quotienten, für das Teilen, für die Division an. 6 plus 7i durch 2 minus 3i. Das können Sie jetzt einfach mit plus minus mal geteilt ausrechnen, algebraisch. Tun Sie das mal zuerst.

Und dann können Sie gucken, was mit den Längen und den Winkeln passiert. Was sind die Längen von den drei Zahlen, die dann vorkommen? Was sind die Winkel von diesen drei Zahlen? Wie hängen die zusammen? Überzeugen Sie sich, dass das wirklich so funktioniert, wie ich es erzählt habe?

Das Rechnen algebraisch. Der Trick ist, mit dem Komplex Konjugierten des Nenners zu erweitern. Das hört sich fürchterlich an. Also ich schreibe den Bruch hin. 6 plus 7i, 2 minus 3i. Und erweitere mit 2 plus 3i.

Dann ist dem Bruch ja nichts passiert. Ich könnte ja wieder kürzen. Vielleicht nochmal Komplex Konjugiert. Wenn Sie eine komplexe Zahl haben, irgendwo, Realtal, Imaginärteil, heißt Komplex Konjugiert, ich nenne die mal Z, heißt Komplex Konjugiert, das Vorzeichen von dem Imaginärteil zu ändern.

An der reellen Aktie zu spiegeln. Aus minus 3, das ist der Imaginärteil, wird plus 3. Oder aus plus 3 wird minus 3. Wenn Sie zweimal Komplex Konjugieren hintereinander, landen Sie wieder beim Original.

So, warum funktioniert das? Das werden wir nochmal allgemein angucken. Stellen Sie sich vor, Sie haben irgendeine komplexe Zahl, geschrieben als Realtal, eine reelle Zahl a, plus Imaginärteil, eine reelle Zahl b, mal i. Das Komplex Konjugierte ist dann a minus b, mal i.

Und jetzt steht hier sowas, z mal z quer, eine komplexe Zahl, mal ihr Komplex Konjugiertes, z mal z quer, ist also a plus b, mal i, mal a minus b, mal i. Das können Sie jetzt ausbuchstabieren, hatten einige gemacht, aber Sie können auch direkt sehen, das ist dritte Binomie.

Bla plus blub, mal bla minus blub. Es gibt bla Quadrat minus blub Quadrat, aber da steht in dem Blub Quadrat ein i drinnen, das macht das Vorzeichen wieder heile, plus b Quadrat. Und a Quadrat plus b Quadrat sollte Ihnen bekannt vorkommen.

Ja, Pythagoras und was rauskommt? Die Länge der Hypotenuse ins Quadrat. Die Hypotenuse ist aber schlicht und ergreifend die Länge meiner komplexen Zahl, die Länge dieses Pfeils. Also was hier rauskommt, ist die Länge der komplexen Zahl ins Quadrat. Die Länge der Hypotenuse ins Quadrat.

Nicht z Quadrat, z Quadrat ist im Allgemeinen irgendwas Komplexes mit i oder wird auch mal negativ. Die Länge der komplexen Zahl, der Betrag der komplexen Zahl ins Quadrat. Das ist der Grund, weshalb man sich mit diesem komischen Komplex Konjugierten befasst. Sie können mit dem Komplex Konjugierten auf einfache Weise den Betrag ausrechnen.

Eine Zahl, mal die Komplexe konjugiert ist, gibt den Betrag ins Quadrat. Das passiert hier im Nenner. Deshalb macht man das. Hier im Nenner muss zwangsläufig der Betrag dieser komplexen Zahl ins Quadrat stehen. Zwei Quadrat plus drei Quadrat. Das können Sie in einzelnen Schritten ausrechnen.

Aber wenn man das einmal verstanden hat, ist klar, unten steht zwei Quadrat plus drei Quadrat. Ohne dass Sie das hier ausmultiplizieren, nonce ich gar nicht. Wenn unten noch irgendwas mit i übrig bleibt, ist was schief gegangen. Wenn unten etwas negatives steht, ist was schief gegangen. Unten muss eine Länge ins Quadrat stehen. Also eine reelle Zahl, nicht negativ.

Oben rechnen wir aus. 6 mal 2 sind 12. 6 mal die 3i sind 18i. 7i mal 2 sind 14i. Und 7i mal 3i sind 21i², sind minus 21.

Das kann man noch zusammenfassen. Unten haben wir 4 plus 9 macht 13. Oben haben wir 12. Minus 21 sind minus 9. 18 und 14 sind 32i. Das könnte man noch auseinanderziehen. Das sind minus 9 Dreizehntel.

Realteil ist minus 9 Dreizehntel plus 32 Dreizehntel i. Imaginärteil ist 32 Dreizehntel. 6 plus 7i durch 2 minus 3i ist, was hatten wir? Minus 9 Dreizehntel plus 32 Dreizehntel i.

32 Dreizehntel sind nicht ganz 3. Brauche ich auf der reellen Achse. Das ist nicht viel. Was groß wird, wird diese Zahl hier. 7 rauf auf der imaginären Achse. 6 nach rechts auf der reellen Achse.

Da muss ich ein bisschen Platz haben. Bis 7 rauf, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Bis 6 zur Seite nach rechts, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Realteil, Imaginärteil. Eben habe ich das gesehen.

Man könnte auch rein theoretisch an diese Achse schreiben. Das sind die reellen Zahlen. Hier liegen die Zahlen mit Imaginärteil 0. Die nackte Zahl 1, die nackte Zahl 3. Das hat sich historisch nicht so ergeben. Man schreibt re dran. Realteil und im für Imaginärteil.

Die erste Zahl hier. Der Zähler. 6 plus 7i. 6 nach rechts, 7 nach oben. Da oben hin. Das ist der Zähler. Der Nenner, 2 minus 3i. 2 nach rechts, 3 nach unten.

Das ist der Nenner. Minus 3i. Wo finde ich den Imaginärteil? Minus 3. Ungefähr hier finde ich den Imaginärteil. Minus 3. Und das Ergebnis. Minus 9 dreizehntel. 9 zwölftel.

3 viertel wären 0,75. Im Betrag etwas weniger als 0,75. Irgendetwas bei 0,7. Minus 0,7. Also nach links gehen. Minus 0,7. Und hier irgendwas zwischen 2 und 3. 26 dreizehntel wären 2.

39 dreizehntel wären 3. Irgendwo zwischen 2 und 3. Hier wird der Ergebnisvektor liegen. Diese komplexe Zahl hier ist das Ergebnis. Und nun sollte lustigerweise gelten, rein geometrisch, dass die Länge von dem Zähler durch die Länge von dem Nenner

die Länge vom Ergebnis ist. Also dieses hier, wenn Sie das hier in Zentimetern nehmen, durch dieses hier in Zentimetern, sollte dieses hier in Zentimetern geben. Und die Winkel, natürlich jetzt umgedreht zur Multiplikation alles,

und die Winkel müssten jetzt mit der Differenz funktionieren. Wenn Sie den Differenzwinkel nehmen, zwischen Zähler und Nenner, dieser Winkel hier, dieser Differenzwinkel, das sollte der Winkel vom Ergebnis sein. Diese beiden orangen Winkel sollten gleich sein. Was nach der Zeichnung nicht total unplausibel ist.

Machen wir mal weiter mit den Längen. Das hatten die meisten ja schon. Einmal gerade das mit den Längen checken, ob wirklich Länge des Zählers durch Länge des Nenners gleich Länge des Ergebnisses ist. Also die Länge von, wo schraube ich das mal hin? Hier oben.

Die Länge von 6 plus 7i, ausdrücklich die Länge von, macht also 36 und 49. Und daraus die Wurzel, sind 85 und daraus die Wurzel. Etwas ungemütliche Zahl.

Die Länge des Nenners, 2 minus 3i. Wie kriegen Sie die Länge des Nenners? Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathete 2, einer Kathete 3. Das Minus auch vergessen. Eine Kathete ist 2, eine Kathete ist 3.

Und dann sagt in Pythagoras, okay, das ist 2 Quadrat plus 3 Quadrat, 4 plus 9 macht also Wurzel 13. Und die Länge vom Ergebnis wird h-sträubend. Was ist die Länge? Der Betrag der komplexen Zahl 9, 13 plus 32, 13i.

Wie können Sie das einfacher haben? Wie können Sie die Dreizehntel hier aus der Affäre ziehen? Ja, ein Dreizehntel auskammern. Wenn Sie die komplexe Zahl um Faktor 13 verkürzen,

verkürzen Sie ja die Länge um Faktor 13. Man kann aus der Länge hier den Faktor ein Dreizehntel rausnehmen. Ein Dreizehntel mal die Länge von der komplexen Zahl minus 9 plus 32i. Das könnte man jetzt mit Wurzeln nachrechnen, aber das ist hoffentlich geometrisch klar. Wenn Sie den Pfeil auf ein Dreizehntel verkürzen,

na toll, dann haben Sie die Länge auf ein Dreizehntel verkürzt. Und das ist jetzt etwas übersichtlicher, ist also ein Dreizehntel mal Wurzel etwas übersichtlicher. 9 Quadrat sind 81, 32 sind 2 hoch 5,

2 hoch 5 verdienen sind 2 hoch 10 sind 1024. Das können Sie nach dem dritten Semester Informatik, keine Angst. So, und dann steht hier jetzt 1105 unter der Wurzel. Ist also ein Dreizehntel mal die Wurzel aus 1105.

Und die Behauptung wäre jetzt das, die Länge des Zählers durch die Länge des Männers gleich diesem hier ist. Was war das, 85? Also, das wäre die Behauptung. Wurzel 85 durch Wurzel 13 ist gleich,

das wüsste ich gerne, ein Dreizehntel aus 1105. Sie haben das natürlich alle schon mit dem Taschenrechner ausprobiert und gesehen, dass das hinhaut. Kleine Übung. Wie kann ich das überprüfen ohne Taschenrechner und ohne mir die Fingerbund zu rechnen?

Okay, erster Vorschlag, die 13 in die Wurzel reinziehen. Also, Sie ziehen die 13 natürlich im Quadrat dann in die Wurzel rein. 1105 durch 13 ins Quadrat. Und netterweise, in der Tat, man kann dann nämlich kürzen.

1105 können Sie durch 13 teilen. 1105 durch 13 ist nämlich 85, kriegen wir aus. Das könnte man zu Fuß jetzt gerechnet haben. 1105 durch 13 macht 85. Ein Faktor 13 bleibt unten stehen. Und dann sehen Sie Wurzel 85 durch Wurzel 13. In der Tat, das ist richtig.

Das ist Wurzel 85 Dreizehntel. Ich wäre anders dran gegangen. Ich hätte beide Seiten quadriert. Um festzustellen, ob dieses gleich dem ist, ob diese positive reale Zahl gleich der positiven reale Zahl ist, hätte ich links und rechts quadriert. Und dann wären die Wurzeln ganz weg. Egal wie rum. Also, man kann sich zu Fuß überlegen,

dass das in der Tat hinhaut mit den Längen. Die Winkel, die gucken sich, glaube ich, alle nochmal an. Die werden hier ein bisschen ekliger. Wir haben Zahlen mit negativen Imaginierteilen. Wir haben Zahlen mit negativen Realteilen. Was sind die Winkel? Und ich sollte nochmal sagen, wie sich die Winkel bestimmen.

Das war, glaube ich, auch noch nicht so klar. Bei der blauen Zahl, beim Zähler, ist es einfach. Der Winkel zur positiven reellen Achse. Das ist der Winkel vom Zähler. Ein positiver Winkel. Irgendwas bei 45 Grad. Der Winkel vom Nenner ist ein negativer Winkel.

Ich gehe in die falsche Richtung mit dem Uhrzeigersinn. Dieser Winkel vom Nenner ist negativ. Auch irgendwas bei 45 Grad, aber minus 45 Grad. Der ist negativ. Und der Winkel vom Ergebnis zur positiven reellen Achse vorgemerkt.

Der Winkel vom Ergebnis ist etwas mehr als plus 90 Grad. Das müssten Sie rauskriegen. Rechnen Sie die mal exakt aus. Nicht ablesen, sondern mal exakt ausrechnen. Fangen wir mit dem einfachen Winkel an. Der von dem Zähler, der war ja einfach. Sechs nach rechts, sieben nach oben.

Wenn Sie sich dieses rechtbringendige Dreieck vorstellen. Die Gegenkathete zu dem gesuchten Winkel ist sieben lang. Die Ankathete ist sechs lang. Das geht mit dem ganz normalen Arkustangens. Also haben wir den Arkustangens Gegenkathete durch Ankathete sieben Sechste.

Das ist noch da, wo der Arkustangens funktioniert. Ich hatte es ja eben schon aufgemalt. Wenn ich komplexe Zahlen habe mit Realteil über Null. Nicht Null, nicht negativ. Dann habe ich mit dem Arkustangens keinen Ärger.

Arkustangens sieben Sechste. Das sagt der Taschenrechner. Sieben durch Sechs. Und davon den Arkustangens 49,3. Also 49 Grad. Ungefähr. Das sieht ja nicht total unmöglich aus.

Jetzt der Grüne. Das ist dennächst schwierigere. Sie können auf zwei Arten dran gehen. Sie können hier ein rechtbringliches Dreieck reinmalen und sagen. Diese Kathete ist zwei lang. Diese Kathete ist drei lang. Dann rechne ich den Winkel aus. Muss aber daran denken, dass der ein negatives Vorzeichen kriegen soll.

Oder Sie gehen direkt in den Arkustangens rein. Das geht ja noch. Also auf der ganzen rechten Seite funktioniert das ja. Sie können direkt in den Arkustangens reingehen. Und sagen, mit einem Körnchen Salz. Minus drei für die Gegenkathete. Und zwei für die Ankathete. Auch das funktioniert. Die Minus kommt einfach dann vor den Arkustangens davor.

Wo sind vier? Drei Minus durch zwei. Und davon den Arkustangens. Minus 56 Grad. Gerundet. Was nach meiner Zeichnung auch nicht ganz falsch aussieht.

Der Ergebnisvektor ist der spannende. Weil da bin ich jetzt in dem kritischen Bereich für den Arkustangens. Ich habe einen negativen Realteil im Ergebnis. Das haut nicht direkt hin mit dem Arkustangens. Man könnte sich jetzt mit anderen Winkelfunktionen behelfen. Typischerweise wird man den Arkustangens nehmen und korrigieren.

Also. Ich rechne mal gerade aus, was aus dem Arkustangens direkt rauskäme. Ich müsste bilden. 32 Dreizehntel durch minus 9 Dreizehntel. Die Dreizehntel können Sie rausstreichen.

Den Bruch kürzen. Dann steht da 32 durch minus 9. 32 durch minus 9. Wir können ja mal spicken, was das werden würde. Wenn Sie direkt den Arkustangens nehmen würden. 32 durch 9. Minus. Und davon direkt den Arkustangens. Minus 74 Grad.

Minus 74 Grad. Sie würden das kriegen. Diesen Winkel würden Sie kriegen. Das ist genau 180 Grad falsch. Das ist der Witz. Das ist, was man sich dann einfach merken kann. Da, wo der Arkustangens nicht funktioniert, müssen Sie ihn 180 Grad korrigieren.

Sie müssen 180 Grad drauf addieren. Oder 180 Grad subtrahieren. Egal wie. Aber es ist einfach ein Unterschied von 180 Grad zum korrekten Resultat. Das können wir auch noch begründen. Was ich stattdessen rauskriege, ist schlicht und ergreifend. Der Vektor, der 32 Dreizehntel nach unten geht.

Und 9 Dreizehntel zur Seite geht. Stellen Sie sich das vor. 32 Dreizehntel nach unten. Und 9 Dreizehntel zur Seite. Es ist für den Arkustangens nicht ersichtlich, wo das Minus-Zeichen steht.

Steht das im Zähler oder im Männer? Der Bruch wird in jedem Fall negativ. Diese beiden Vektoren wirft der Arkustangens durcheinander. Und das ist 180 Grad Differenz. Insofern geht es dann einfach mit dem Arkustangens. Man muss sich nur merken, 180 Grad Differenz. Also hier noch 180 Grad drauf. Und dann sind wir bei plus 180.

Sind wir bei 105,7, also ungefähr 106 Grad. Für den roten Winkel. So, einmal checken. 49 Grad minus minus 56 Grad.

Das wäre ja zu rechnen. Diese beiden Winkel abziehen voneinander. Von dem blauen Winkel den grünen Winkel abziehen. Vom Winkel des Zählers den Winkel des Zählers abziehen. 49 minus minus 56 Grad sind bis auf Rundungsfehler 106 Grad.