Wir fangen an mit einer Partialbruchzerlegung, folgende Funktion x plus 2 durch x hoch 4 plus x², die in Partialbrüche zerlegen. Die ersten Schritte hier unten sehen Sie ohne quadratische Gleichung oder Substitution oder so, hoffentlich dass Sie x² ausklammern können.

Da steht also x plus 2 durch x² mal x² plus 1. Und da sieht man Feierabend, zumindest in reellen Zahlen. Feierabend, x², das kriege ich kaum einfacher hin, beim besten Willen.

x² plus 1 kriege ich nicht mehr weiter zerlegt in reellen Zahlen, weil es nicht 0 wird. x² ist 0 oder positiv, und wenn Sie noch 1 addieren, wird das nicht mehr 0. Hier x² plus 1 hat keine Nullstelle mehr, das kriege ich in reellen Zahlen nicht weiter zerlegt. In komplexen Zahlen natürlich, wenn Sie hier i einsetzen, i² plus 1, minus 1

plus 1, dann geht das, aber in reellen Zahlen kriegt man es nicht weiter zerlegt. Wir müssen gerade gucken, ob wir irgendwas noch kürzen können. Sie sehen, oben habe ich eine Nullstelle bei minus 2, unten habe ich eine Nullstelle bei 0. Ich kann auch nichts kürzen, soweit erledigt.

Und was sollte ich mir noch angucken, bevor ich irgendwas mit Partialbrüchen veranstalte? Ich weiß nicht, ob sich jemand erinnert, bevor Sie jetzt hier was mit Partialbrüchen veranstalten, was checken Sie noch bei dieser rationalen Funktion? Richtig, also vorsichtig, wenn hier stünde x hoch 42 plus 2, x hoch 42 plus 2,

und ich habe hier nachher nur so ein paar Konstanten, damit würde ich niemals die x hoch 42 hinkriegen. Sie müssten gucken, ob der Grad des Zählers kleiner, strikt kleiner, dem Grad des Nenners ist. Oben dürfen nur kleinere Potenzen stehen als unten. Dieses Ding hier kriege ich nicht direkt in Partialbrüche zerlegt, ich müsste erst eine Polynomdivision machen.

Dieser Bruch hier gibt so und so viel Ergebnis der Polynomdivision plus Rest der Polynomdivision durch diesen Nenner. Also wenn der Zähler zu groß ist, in Anführungszeichen, wenn der Grad des Zählers größer gleich dem Grad des Nenners ist, haut das nicht hin, dann muss ich erst Polynomdivision machen.

Ist hier nicht der Fall, alles in trockenen Tüchern. Wir wissen also, es gibt eine Polstelle bei x gleich 0, im Reellen gibt es eine Polstelle bei x gleich 0, eine doppelte, oder in Deutschland sagt man eigentlich eher eine Polstelle zweiter Ordnung.

Und dann kann ich hinschreiben, was gehört zu der Polstelle zweiter Ordnung? Eine Konstante durch x² und vielleicht auch eine Konstante durch x. Das kommt von dem ersten Termin, von dem x². Die Produkte im Nenner werden sozusagen alle zu Partialbrüchen, manchmal sogar zu mehreren Partialbrüchen.

Hier das erste Ding, x², wird gleich zu zwei Partialbrüchen. Höchstwahrscheinlich, es kann einem auch passieren, dass b gleich 0 ist. Es wird aber nicht passieren, dass a gleich 0 ist, es kann einem passieren, wenn man Glück gehabt hat, dass b gleich 0 ist.

Wenn hier x hoch 4 stünde, hätte sie a durch x hoch 4, höchstwahrscheinlich auch b durch x hoch 3, höchstwahrscheinlich auch c durch x² und d durch x. Also es geht immer die ganze Reihe runter, es ist leider nicht so hübsch, dass es immer nur der erste ist. Das hatte ich ja vorgeführt, wo das herkommt, es kann irgendwie so ein Rest, und

typischerweise nicht nur kann, sondern wird typischerweise so ein Rest bleiben, wenn man den ersten herauszieht. Das ist das x², und da haben wir den zweiten Faktor, x² plus 1, der nicht mehr 0 werden will in reellen Zahlen. Und da war es so, dass ich auch den stehen lasse und ich kriege im Zähler so etwas wie eine Konstante mal x plus d.

Da reicht nicht nur eine einfache Konstante, da brauche ich zwei Konstanten. Also zum Schluss sind wirklich vier Zahlen zu bestimmen. Ich habe eben bei Wunkehen gelernt, dass ich doch erklären sollte, oder andeuten sollte, warum ich hier zwei Konstanten brauche. Stellen Sie sich vor, Sie würden das in komplexen Zahlen machen.

Die Polstelle bei 0, da tut sich ja nichts in komplexen Zahlen. Was würde ich jetzt tun in komplexen Zahlen? Was müsste ich in komplexen Zahlen dazu nehmen, wenn ich ein paar Zahlbuchzerlegungen mache? Also in komplexen Zahlen ist diese Klammer hier gleich x minus i mal x plus i.

In komplexen Zahlen kriegen Sie das hier noch zerlegt. Dritte binomische Formel, x² minus i². x² minus i², minus i² ist aber plus 1. Also in komplexen Zahlen kriegen Sie das zerlegt.

Und Sie sehen, wir haben noch zwei weitere Polstellen. Das kürzt sich ja auch hier nichts mit dem Zähler. Wir haben noch zwei weitere Polstellen. Was müsste ich in komplexen Zahlen hinschreiben für die Partialbuchzerlegung? Polstellen, Polstellen, erste Ordnung, einfache Polstellen. Also hier käme sowas, ich schreibe jetzt ausdrücklich nicht z und d, weil das jetzt andere Zahlen sind typischerweise.

Ich schreibe mal e durch x minus i von dieser Polstelle und f durch x plus i von der Polstelle. Wir sehen, ich habe zwei weitere Zahlen hier, e und f, zwei weitere Konstanten. Die sind typischerweise nicht dieselben wie c und d. Aber ich habe zwei weitere Stellregler sozusagen, Einstellräder.

Die brauche ich auch im Real, sonst kann ich nicht funktionieren. Also Vorsicht, man braucht hier tatsächlich c mal x plus d in den Zähler von dem x-Vertrag plus 1. Sonst hat man zu wenig Chancen, das einzustellen.

Nächster Schritt wird sein a, b, c, d zu bestimmen. Typischerweise kann man ein paar davon, oder zumindest einen an dieser Stelle, können Sie recht schnell ablesen. Wenn Ihnen gar nichts einfällt, bringen Sie das hier auf einen Hauptnenner, was natürlich der sein wird, und dann können Sie die Zähler vergleichen.

Das ist das Schema f. Wenn Sie raffinierter vorgehen wollen, gucken Sie sich an, zum Beispiel an dieser Polstelle bei Null. Da gucken Sie sich an, wie schlimm die Explosion an dieser Polstelle bei Null ist, von dem hier und von dem hier.

Und die muss natürlich auf beiden Seiten sozusagen gleich schlimm sein. Und damit kriegen Sie einen der Konstanten hier raus zumindest. Also die artistische Methode, wie man sofort was ablesen kann. Auf der rechten Seite sehen Sie an der Polstelle bei der Polstelle x gleich Null.

Da bestimmt a den Grad der Explosion. Wie schlimm diese Polstelle wird an der Stelle x gleich Null. Und ich gucke mir jetzt hier an. Okay, wie schlimm ist denn da? Wenn x gleich Null ist, was passiert? Wenn x gleich Null ist, steht oben praktisch 2. Irgendwas bei Null plus 2.

Oben steht praktisch 2. Dieser Term hier, das ist der Spannende, x². Der sorgt für die Explosion. Und hier steht 0² plus 1. Also mehr oder minder 1. Auch wenn x nicht ganz Null ist, aber hier steht mehr oder minder 1. Also es bleibt 2 durch 1 durch das besagte x².

Ich habe ein Faktor 2 da drin. Das a muss 2 sein. Das ist natürlich sehr händewedelnd. Es funktioniert, aber es ist sehr händewedelnd. Wir kriegen a gleich sowieso anders raus. Aber es kann nicht schaden, auf jeden Fall sich das schon mal vorher überlegt zu haben, wenn Sie nämlich gleich etwas anderes rauskriegen für a, wissen Sie,

irgendwas ist schief gegangen. So, hier auf einen Hauptnenner bringen. Und der Hauptnenner steht da ja schon. x² mal x² plus 1. Es muss x² vorkommen im Nenner. Dann habe ich kein Problem mit x. Das kommt dann auch vor. Aber es muss auch x² plus 1 vorkommen im Nenner.

Das wird mein Hauptnenner werden. Jetzt soll ich es klar machen. Ich fordere, dass die beiden gleich sind. Für alle x. Ich suche Zahlen, wohlgemerkt Zahlen. A, B, C, D. Feste Zahlen A, B, C, D. Sodass die beiden gleich sind. Für alle Zahlen x.

Hauptnenner, habe ich schon gesagt. x² mal x² plus 1. So, den ersten mit x² plus 1 erweitern. Den zweiten, der ist schon mit x im Nenner. Ich brauche noch ein x. Und ich brauche das x² plus 1.

Also plus B mal x mal x² plus 1. Und beim letzten brauche ich noch das x². Der steht schon über x² plus 1. Ich erweitere den letzten hier mit x². Wie schreibe ich das? C mal x plus D. Wo das C sieht aus wie eine Klammer.

C mal x plus D mal x². Die beiden sollen gleich sein. Für alle x. Die Nenner sind gleich, dann müssen die Zähler gleich sein. Ich brauche also das x plus 2. Gleich ist A mal x² plus 1.

Plus B mal x mal x² plus 1. Plus C plus D. x². Jetzt führen wieder tausend Wege nach Rom. Ich könnte die Potenzen von x untersuchen. Wie viele x² gibt es links, rechts?

Ich könnte Zahlen einsetzen. Was passiert, wenn ich bestimmte Werte für x einsetze? Dann wird es ja auch gerne einfach. Ich mache mal den ganz strengen Weg mit Potenzen von x. Wie viel x hoch 0 habe ich links und rechts? Wie viel x hoch 1?

Wie viel x²? Wie viel x hoch 3 habe ich links und rechts? x hoch 0. Wie sehen Sie, links haben Sie 2x hoch 0. 1 mal x hoch 1, 2x hoch 0. Dann brauche ich auf der rechten Seite auch 2x hoch 0. A mal x² macht mir kein x hoch 0. Eine Konstante mal 1, die macht mir ein x hoch 0.

B mal x, das kann keine Konstante mehr werden. C mal x, D, x², hier hinten kommt auch keine Konstante raus. 2 gleich A, das wussten wir schon. Insofern ist hier alles klar gegangen. Links steht 1 mal x, 1 mal x hoch 1.

Rechts, hier kriegen Sie kein x. Da kriegen Sie ein x², da kriegen Sie eine Konstante. Hier kriege ich kein x raus. Dieses x mal die 1 mal B, das gibt mir ein x. Hier, das gibt mir ein x hoch 3, das hilft mir nichts. Aber dieses x mal 1 gibt mir x hoch 1.

B mal x hoch 1, das habe ich auf der rechten Seite. Und hier kommt auch kein x mehr, weil alles mit x² steht. Ich weiß also direkt, B ist gleich 1. X², links habe ich kein x². Rechts habe ich A mal x².

Mal gucken, ob wir noch welche haben. B mal x mal x² sind x hoch 3, hilft mir nicht. B mal x mal 1 ist x, hilft mir auch nicht. A mal x mal x², hilft mir auch nicht, aber D mal x². Da, A plus D. Damit weiß ich sofort, D ist gleich minus 2.

A ist gleich 2, D ist also gleich minus 2. X hoch 3, links haben wir keinen. Hier kriegen wir kein x hoch 3. Hier kriegen wir B mal x hoch 3. Und hier kriegen wir C mal x hoch 3.

Und damit haben wir, weil B gleich 1 ist, C ist gleich minus 1. Klar schreiben Sie ruhig 2 plus D sofort. Hauptsache, man kommt zum Ziel. Man könnte ja für x jetzt, wie gesagt, auch für x irgendwelche Werte einsetzen. Oder ich weiß ja sowieso schon vorher, A ist 2.

Was sollte ich irgendwas mit A ausrechnen? Also ehrlich gesagt, je weniger Sie dieses hier nach Schema F machen, je intelligenter Sie das machen, umso lieber ist mir das. Dieses Rezept ist ja sowieso eine Geschichte, die kann Wolfram Alpha viel besser als Sie und als ich.

Das macht man ja nur nicht ernsthaft im wahren Leben. Das ist nur, damit Sie die Idee hinter der Partialbrauchzerlegung verstehen. Ich sage gleich noch etwas, weil die Frage kam, wozu ist denn der Unsinn eigentlich gut. Aber gerade hier nochmal zusammengefasst. Jetzt habe ich also Folgendes. Meine ursprüngliche Funktion x plus 2 durch x hoch 4 plus x²

kann ich also schreiben. x plus 2 durch x hoch 4 plus x² kann ich also schreiben als A durch x², B durch x, A durch x², 2 durch x² und jetzt kommt plus B durch x, 1 durch x plus

und dann kam hinten noch Cx plus D durch x² plus 1. Unten steht x² plus 1, oben steht C mal x plus D. C ist minus 1, also minus x plus D minus 2.

Das ist die Partialbrauchzerlegung. Ein Partialbruch, noch ein Partialbruch, noch ein Partialbruch. Wozu braucht man das? Ich hatte in den alten Videos vorgeführt, dass diese Funktionen hier, die rationalen Funktionen, ein Polynom durch ein anderes Polynom, dass die auftreten, wenn sie irgendwelche Systeme mit Rückkopplung untersuchen.

Zumindest schöne Systeme mit Rückkopplung. Ich habe irgendwie ein Kraftwerk oder auch nur einfach eine Heizung oder irgendwas, einen Motor, den ich auf irgendeine Weise steuern und regeln will,

vor allen Dingen regeln will. Ich gucke mir die aktuelle Drehzahl, die aktuelle Temperatur oder was auch immer an und je nachdem, was da aktuell passiert, regele ich nach. Dann habe ich so einen Regelkreis. Und alle schönen und einfachen Regelkreise führen zwangsläufig dann auf solche Funktionen,

wenn man die mathematisch abstrakt beschreibt, diese Regelkreise. Das hatte ich vorgeführt mit der Z-Transformation, wenn Sie in den alten Videos gucken. Das war die billigste Art, wie man das hinkriegen kann. Solche Funktionen zu erzeugen. Also, mit anderen Worten, sobald es um Regelungstechnik geht, sehen Sie rationale Funktionen.

Die tauchen hier und da auch in der Physik auf, aber das Spannende ist, denke ich, die Regelungstechnik. Und wenn man dann diese rationalen Funktionen, die da auftauchen, so zerlegt, kann man daraus was über seine Systeme ablesen. Aus diesen Partialbrüchen können Sie dann lernen, wie sich das System verhält.

Ist es stabil, oscilliert es, wie schnell oscilliert es usw. Kommt alles in höheren Semestern. Jetzt ein bisschen viel, wenn ich damit anfange. Das ist insofern ein bisschen ungeschickt. Wir machen das im ersten Semester, weil es gerade zu den Funktionen passt, aber Sie brauchen das erst später bei der Regelungstechnik.