Wir fangen mal an mit so einer ganz normalen dummen Rechenaufgabe zu Partialbrüchen. Eine rationale Funktion x² plus 1 durch x plus 2 mal x minus 3². Den umwandeln in Partialbrüche.

Also der erste Schritt wird sein, dann die Daten für die Partialbrüche hinzuschreiben, wenn man das hier so nach Schema F macht. Minus 2 ist eine Polstelle erster Ordnung, eine einfache Polstelle. Sie sehen, der Zähler wird nirgends von 0. Kein Ärger damit.

Das hier ist also eine Polstelle erster Ordnung. So ein Termmuster auftreten, so ein Partialbruch. Hier habe ich eine Polstelle zweiter Ordnung bei 3. Deshalb wird da im Zweifelsfall so ein Termm erster Ordnung auftauchen und ein Termm zweiter Ordnung auftauchen. In welcher Reihenfolge auch immer diese 3 hier jetzt stehen.

Ich weiß, dass das auf jeden Fall gehen muss. Mit Zahlen abc, nackten Zahlen abc. Das hier sind die Partialbrüche. Wenn Sie so wollen, man kann sagen, bei Partialbrüchen splitten Sie die verschiedenen Polstellen ab. Nehmen die rationale Funktion und zerlegen die in Anteile verschiedener Polstellen.

Aber es geht ja noch weiter, hatte ich in den alten Liedes vorgeführt. Wenn ich hier weitere Faktoren habe, die keine Nullstellen haben, dann kann ich hier trotzdem noch weiter aufspalten. Aber erstmal ist der Gedanke, ich splitte die Polstellen ab. Das muss gehen.

Hier habe ich eine Polstelle zweiter Ordnung, dann kommen dann im Zweifelsfall tatsächlich zwei Terme. Auch hier ist ein Term zweiter Ordnung und vielleicht noch ein Term erster Ordnung. Ich sollte sagen, typischerweise noch ein Term erster Ordnung dazu. Die abc sind Zahlen. Um das sagen zu können, muss ich aber hier mir nochmal angucken. Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners.

Ich kann nicht hier noch ein Asymptotenpolynom abspalten mit Polynomdivision. Dann weiß ich, das haut hier hin mit Zahlen abc. Es gibt einen kurzen Weg und einen langen Weg. Einen unorthodoxen kurzen Weg. Ich zeige mal erstmal den unorthodoxen kurzen Weg,

weil ich den eigentlich viel sinnvoller finde. Diese Partialbrüche, wie gesagt, man spaltet die Polstellen ab. Nachher noch ein paar andere Sachen, aber man spaltet vor allem die Polstellen ab. Dieses x plus zwei, das macht mir eine Polstelle bei minus zwei. Sie sehen, der Ausdruck hier, kein Ärger, der Ausdruck kein Ärger.

An der Stelle x gleich minus zwei ist der erste Sommant hier, derjenige, der mir um die Ohren fliegt. Die anderen sind harmlos. Und jetzt gucke ich mir an, wie sehr fliegt der mir um die Ohren. Das x plus zwei, wie sehr fliegt ihn das um die Ohren? Das ist dieser Ausdruck.

Wenn x gleich minus zwei ist, dann steht hier vier plus eins, hier steht minus zwei, minus drei ins Quadrat. Wenn x gleich minus zwei ist, wird aus dem Rest fünf durch fünf ins Quadrat ein Fünftel. Der ganze Rest hier wird zu einem Fünftel.

Das ist wie stark diese Funktion an der Stelle x gleich minus zwei explodiert. Das heißt, dieses a hier muss ein Fünftel sein. Das war jetzt das Kaninchen aus dem Zylinder, also nochmal.

Der erste Term sagt mir, wie schlimm meine Funktion explodiert an der Polstelle bei minus zwei. Der ist harmlos, der ist harmlos. Ich gucke mir die Funktion als Ganz an. Hier der gesamte Bruch. Wie explodiert das an der Stelle minus zwei? Hier unten der eine Faktor.

Da ist derjenige, der den Ärger macht. Der sorgt für die Explosion. Der Rest hier ist harmlos. x Quadrat plus eins, x minus drei ins Quadrat. Das macht an der Stelle minus zwei keinen Ärger. Dann gucke ich mir an, was von denen jetzt denn so übrig bleibt an der Stelle minus zwei. Hier oben steht minus zwei ins Quadrat plus eins macht fünf.

Und hier unten steht minus zwei minus dreißig minus fünf ins Quadrat. 25, 25. Dieses hier wird ein Fünftel. Und das Ganze multipliziert mit eins durch x plus zwei dem Term, der die Explosion verursacht. Ein Fünftel mal eins durch x plus zwei.

Dieses a muss ein Fünftel sein, sonst habe ich nicht dieselbe, in Anführungszeichen, Explosion an dieser Polstelle. Wie gesagt, das ist der unorthodoxe Weg. Wenn man den einmal verstanden hat, ist der, glaube ich, ganz leicht. Aber es kostet ein bisschen Überwindung, da hinzukommen. Dasselbe kann man hier mit dem minus drei ins Quadrat machen.

Die Polstelle an der Stelle x gleich drei wird hiervon bestimmt. Das ist das Schlimmste, was passiert. Der hier macht auch noch ein bisschen Schaden. Aber das hier ist das Schlimmste sozusagen, was an der Stelle x gleich drei passiert. Ich muss denselben Effekt haben.

Wenn ich mir hier oben angucke, was bei x gleich drei passiert, das ist der Term, der zweite Ordnung der Explosion verursacht. Und ich gucke mir an, was mit dem Rest passiert bei x gleich drei. Hier steht neun plus eins. Das hier oben wird zehn.

Und hier steht fünf. Zehn Fünfte. Das heißt, dieses C muss zwei sein, damit ich dieselbe Explosion habe an der Stelle x gleich drei. So und so viel durch x minus drei ins Quadrat. Und hier im Endeffekt auch so und so viel, nämlich zwei durch x minus drei ins Quadrat.

B ist eine knifflige Angelegenheit. Sie sehen eigentlich schon komisch, dass ich den überhaupt kriege. Wenn ich mir diesen Ausdruck hier angucke, möchte ich ja meinen, Naja, ich habe hier die Polstelle zweite Ordnung, die Polstelle erste Ordnung. Warum kriege ich überhaupt den blöden Term hier?

Leider bleibt an einer Stelle vielleicht, oder nicht nur vielleicht, mit hoher Wahrscheinlichkeit bleibt an einer Stelle so ein dummer Rest. Das zeige ich vielleicht gleich nochmal im anderen Zusammenhang. Und dieser dummer Rest lässt sich auch schwer abschätzen. Man kann im Prinzip B auch auf diese Weise rauskriegen.

Man muss ein bisschen mehr rechnen, aber im Endeffekt ist es dann doch wahrscheinlich einfacher B auf die klassische Art auszurechnen und nicht hier so händewedelnd gerade mal abzulesen aus der Formel. Wenn ich eine einfache Polstelle habe, ist klar, wie schlimm diese Polstelle ist, muss sich in den anderen Termen hier oben widerspiegeln.

Hier diese doppelte Polstelle, da muss sich dieser schlimmste Term hier, muss sich in den anderen widerspiegeln. Und der hier, der irgendwie noch so runterfällt, uns nervt, bei dem geht es leider nicht ganz so leicht. Jetzt mal der offizielle Weg.

Wenn Sie jetzt gerade total irritiert waren, kommt jetzt hier mal der offizielle Weg. Ich fasse die drei wieder zusammen. Dann kriegen wir gleich auch B raus. Ich fasse die drei wieder zusammen. Hauptnenner wird natürlich sein x plus zwei mal x minus drei ins Quadrat. Das wird mein Hauptnenner sein. Den ersten muss ich multiplizieren mit x minus drei ins Quadrat, um den auf den Hauptnenner zu kriegen.

Den zweiten muss ich multiplizieren mit x plus zwei und x minus drei für den Hauptnenner. Ich muss von x minus drei auf x minus drei ins Quadrat, der hier, und x plus zwei, der hier.

Und der letzte, den muss ich mit x plus zwei erweitern, x plus zwei. Das muss gelten für alle x, sonst habe ich keine Chance, die drei Brüche wieder zusammenfassen. Muss das ergeben? Wir sehen, die beiden Nenner sind gleich, also weiß ich, die Zähler müssen für alle x gleich sein.

Das habe ich damit. Also weiß ich, x Quadrat plus eins ist der Zähler des einen, ist gleich. Oh, das wird eklig. Das heißt so a mal x minus drei Quadrat plus b mal x plus zwei mal x minus drei plus c mal x plus zwei.

Das muss gelten für alle x, schreibe ich jetzt mal ganz dreister hinter, für alle x. Das war das nicht vergessen. Also das ist nicht nur eine Gleichung, sondern das sind unendlich viele Gleichungen, wenn Sie wollen.

Es soll ja für alle x gelten. Ich habe nicht nur eine Gleichung a gleich 98, sondern das hier soll für alle x gelten. Deshalb ist das ein bisschen raffinierter. Und jetzt bestimme ich a, b, c. Zahlen a, b, c, sodass das hier hinhaut.

Das geht auf verschiedene Arten. Sie können das hier ausmultiplizieren auf der rechten Seite und die Krise kriegen. Und dann machen Sie einen Koeffizientenvergleich, nachdem Sie die Krise gekriegt haben. Vielleicht sollte ich mal beide Arten vorführen.

Die ineffiziente Art wäre Koeffizientenvergleich. Ich schreibe mal Weg eins, Koeffizientenvergleich. Ich multipliziere rechts aus und vergleiche die Koeffizienten links und rechts.

x², der Koeffizient links ist 1, der Koeffizient rechts, muss man sich überlegen. x hoch 1, x hoch 0, was ist der Koeffizient von x hoch 1 auf der linken Seite? 0, genau, hier steht, wenn Sie wollen, plus 0 mal x, x kommt nicht vor.

Der Koeffizient von x hoch 1 ist 0 auf der linken Seite. Und der Koeffizient von x hoch 0 ist 1. Jetzt können Sie auf der rechten Seite mal zusammensuchen. Wie viel x² kriegen Sie hier, wie viel x² kriegen Sie da, wie viel x² kriegen Sie da? Das gibt Ihnen hier einen Ausdruck.

Wie viel x, da, da, da, das gibt Ihnen da einen Ausdruck. Und x hoch 0, wie viele Zahlen ohne x da, da und da? Ich würde gar nicht ausmultiplizieren, ehrlich gesagt. Ich würde gar nicht ausmultiplizieren. Ich würde sofort nach x hoch 2 suchen, x suchen, nach x hoch 0 suchen.

Das machen Sie doch einfach mal gerade. Wie viel x² finden Sie auf der rechten Seite, und so weiter, und so weiter. Es gibt drei Gleichungen. Gucken Sie sich den ersten Ausdruck an. Wie viel x² kriegen Sie bei dem ersten Ausdruck? Gar nicht ausmultiplizieren, braucht man gar nicht. Hier steht etwas wie x mal x, x² mal a.

Ich kriege ax² aus dem ersten. Der liefert Ihnen ax². Plus, überlegen Sie sich, wie es weitergeht. Hier vorne kriege ich a mal x². Hier kriege ich b mal x mal x, b mal x².

Hier hinten kriege ich kein x². Wenn die linke gleich der rechte Seite sein soll, für alle x muss ich links so viel x² haben wie rechts. Ich gucke mir an. Links habe ich 1x², rechts habe ich a plus bx². Das muss dasselbe sein.

1 ist gleich a plus b. Die x hoch 1. Links habe ich kein x hoch 1. Rechts muss ich genauso viele haben. Da müssen Sie ein bisschen vorsichtig sein. Vielleicht ist das leichteste hier hinten. Da sehen Sie, ich habe c mal x bei dem letzten. Das ist am einfachsten, c mal x. Den anderen muss man ein bisschen aufpassen.

Beim ersten, wenn Sie das mit Binomie auseinandernehmen, kriegen Sie 2 mal x mal minus 3. Minus 6x kommen hier aus dem Quadrat. Mal a, minus 6ax. Also muss hier stehen, minus 6a.

So viele x kriege ich hier aus dem ersten. Hier kriegen Sie 2x mal b minus 3x mal b. Also 2b minus 3b mal x. Ist zusammen minus b mal x.

Hier kein x, weil ich ja nur die xe zähle. 0x auf der linken Seite, so viele xe auf der rechten Seite. x hoch 0. Wenn Sie den hier vorne mit Binomie schreiben, kriegen Sie 9 mal a ohne x.

Der Rest hier vorne hat x. Hier kriege ich 2 mal minus 3 mal b. Also minus 6b. Und hier hinten kriege ich 2c. Ist doch hübscher. Das kann man auch machen, indem man es ausmultipliziert.

Ich persönlich würde es nicht ausmultiplizieren. Das ist vielleicht eine schöne gedankliche Übung, sich einfach mal die Terme zusammenzusuchen. Alle x Quadrat rauszupicken, alle x rauszupicken, alle Zahlen ohne x rauszupicken, aus so einem Ausdruck, ohne es auszumultiplizieren.

Ich kriege also 3 Gleichungen mit 3 unbekannten. abc sind meine unbekannten 3 Gleichungen. Und netterweise besteht die Garantie, dass diese Gleichungen in diesem Fall immer genau eine Lösung haben. Es gibt einen Satz Zahlen abc, die das machen,

und nur diese Zahlen abc, die das machen. Keine anderen. Ich muss mal gerade gucken, wie man das hier geschickt vereinfachen kann. Ich sehe gerade keinen eleganten Weg. Dann machen wir das freistilmäßig. 1, 2, 3.

Ich würde versuchen, weil ich hier eine Gleichung habe, die nur mit a und b geht, würde ich versuchen, hier das c loszuwerden aus der zweiten und der dritten Gleichung. Dass ich noch eine Gleichung habe, die nur a und b enthält. c loswerden kann ich, indem ich zum Beispiel

von der dritten Gleichung zweimal die zweite abziehe. Dann fliegt das c raus. Von der dritten zweimal die zweite abziehen. 2c minus 2c. Von der eins zweimal die null abziehen. Dann bleibt es nach eins.

Von den 9a zweimal minus 6a abziehen. 9 minus minus 12 sind 9 plus 12 sind 21a. Von den minus 6b zweimal minus b abziehen.

Minus 6 minus minus 2 minus 6 plus 2 sind minus 4b. Jetzt versuche ich mal, irgendwas aus der ersten Gleichung und der Gleichung zu machen.

Ich würde für b einsetzen. Wenn Sie hier nach b auflösen, finden Sie, b ist 1 minus a. Das setze ich hier mal ein und finde, 1 ist gleich 21a minus 4 mal 1 minus a.

Hier steht 21a minus 4 mal minus a. Dann habe ich also 25a minus 4 mal minus a plus 4a. 25a minus 4. 1 ist gleich 25a minus 4.

Die 4 bringen Sie noch rüber. 5 ist gleich 25a. Und Überraschung, a ist gleich ein Fünftel. Das wussten wir schon. Das klingt irgendwie einfacher eben. Aber das hier wäre einer der offiziellen Wege. Die minus 4 rüberbringen, 5 ist gleich 25a. a ist ein Fünftel. Dann weiß ich a. Wenn ich a weiß, hier oben einsetzen.

1 ist gleich ein Fünftel plus b. b ist also 4 Fünftel. Das hatten wir eben nicht. b ist gleich 4 Fünftel, weiß ich nun. Damit zusammen wieder 1 rauskommt. Und das ist hier am einfachsten mit c.

c ist 6a plus b. Also 6 mal ein Fünftel. 6 Fünftel plus 4 Fünftel sind 10 Fünftel sind 2.

Was wir schon wussten. Also die Neuigkeit, hier ist 4 Fünftel für b. Das wussten wir eben noch nicht. Das wäre eine Art, das zu machen. Sie sehen, das ist zeitfüllend.

Das kann der Computer vor allen Dingen auch sowieso besser. Ich habe hier einmal vorgeführt. Koeffizientenvergleich. Sie gucken, wie viele x² stehen rechts. Wie viele x, wie viele x hoch 0 stehen rechts. Vergleichen das mit der linken Seite. Und kriegen ein lineares Gleichungssystem. Es können natürlich, wenn das hier schlimmere Ausdrücke werden,

auch x hoch 3 und x hoch 42 werden. Beide Seiten vergleichen, gibt einen lineares Gleichungssystem. Löst man. Eine Möglichkeit. Zweiter Weg. Der Weg 2. Ich kopiere nochmal meine Gleichung hier.

So, der Weg 2. Was könnte ich noch tun? Geht es etwas eleganter? In der Tat. Wir können einfach mal für x3 einsetzen. Diese Gleichung soll für alle x gelten. Na schön. Dann gucken wir uns nochmal an, was für x gleich 3 passiert.

Da steht links 10. Hier steht 0. Das ist schön. Hier steht 0. Das ist schön. Und hier steht 10 mal 5. Mit anderen Worten C ist gleich 2. Das ist doch fast so elegant wie ganz zu Beginn. Also wenn Sie hier einfach mal gucken, welche x-Werte es besonders einfach machen,

empfiehlt sich die 3. Denn das wird 0 und das wird 0. Die fliegen raus. Und ich sehe sofort 10 ist gleich 10 mal 5. 10 muss also 2 sein. Nichts anderes habe ich eigentlich eben gemacht. Wenn Sie sich erinnern, wie bin ich auf C gekommen?

Mit meinem unorthodoxen Verfahren. Wie bin ich auf C gekommen? Ich habe mir angeguckt, was an der Stelle x gleich 3 passiert. Wie schlimm ist diese Explosion an der Stelle x gleich 3? Genau das habe ich eben gemacht. Nur auf eine etwas händewedelnde Art. Hier ist es etwas offizieller. Ich setze x gleich 3 ein.

Und stelle fest, oh, 10 muss 2 sein. Die anderen Terme fallen weg. Und klar, muss ich nicht fragen. Die nächste kluge Idee ist, x gleich minus 2 zu wählen. Da fliegt nämlich der hintere Term weg. Und der fliegt weg. Genauso wie wir es eben hatten.

Nur jetzt der offizielle Weg. Wie schlimm ist die Explosion an der Polstelle? Minus 2. Das fliegt raus, das fliegt raus. Und dann sehen Sie hier, 5 ist gleich a mal minus 5 ins Quadrat. a mal 25. Also ist a gleich ein Fünftel.

Das wäre der offizielle Weg zu dem, was ich eben so einfach abgelesen habe. Aus der Formel. Und wieder haben wir den Ärger b jetzt leider nicht geschenkt. Aber sehen Sie einen schnelleren Weg b zu bestimmen, als gerade eben mit dem linearen Gleichungssystem.

Also ein Vorschlag war, doch jetzt ganz quer zu gehen und hier auf den Koeffizientenvergleich zurückzugehen. Den hier. Und dann habe ich b. Wäre eine Möglichkeit. Warum nicht? Wenn wir bei dem Einsetzen bleiben. Sie nehmen einfach noch irgendein x-Wert.

Setzen den ein. Und dann haben wir noch eine Bedingung. Wir kennen a, wir kennen c. Dann können wir b bestimmen. Ein Vorschlag war x gleich 0. Da muss ich hier so viel rechnen. Ich würde x gleich 4 nehmen. Hauptsache irgendein anderer x-Wert. Ich würde x gleich 4 nehmen.

Und damit es einfach wird. Dann finde ich hier 17 ist gleich. Hier steht a. Kennen wir es schon. a ist gleich ein Fünftel. Hier steht, warum habe ich 4 genommen? 4 minus 3 ist 1 ins Quadrat. Macht es einfach. Plus. B kennen wir nicht. 4 plus 2. Also mal 6.

Mal. 4 minus 3 wird einfach. Mal 1. Deshalb habe ich 4 genommen. Wie gesagt. Plus. Und hier steht c mal 6. C kennen wir es. 2 mal 6. Und dann habe ich, habe ich, habe ich. Hier habe ich 12.

Bringe ich rüber. 17 minus 12 sind 5. Ist also ein Fünftel. Plus. B mal 6. Damit habe ich 5 minus ein Fünftel. Sind 4. 4 Fünfte immer noch. Gibt 6b.

20 Fünfte plus 4 Fünfte. 24 Fünfte ist 6b. B ist 24 Fünfte durch 6. 24 durch 6. Gibt 4. 4 Fünfte. Was wir eben auch hatten.

Das wäre die zweite offizielle Vorgehensweise. Also erste offizielle Vorgehensweise. Koeffizientenvergleich. Sie gucken sich an, wie viel von den verschiedenen Potenzen sie auf der rechten Seite haben. Zweite offizielle Vorgehensweise. Sie setzen geschickte Zahlen ein.

Gibt ihnen auch im Zweifelsfall ein Linearsgleichungssystem. Hier ein so billiges Linearsgleichungssystem, dass man sofort Lösungen hinschreiben kann. Oder sie machen alles querbett. Sie setzen ein paar Zahlen ein. Sie machen Koeffizientenvergleich. Sie lesen direkt von dem Originalausdruck ab, was es sein muss.

Wie auch immer. Hauptsache man kriegt Zahlen raus. Für ABC. Die haben wir jetzt ja.