Überraschung, noch eine rationale Funktion, x wird abgebildet auf folgendes, jetzt mal wieder komplett als Bruch geschrieben, 2x² minus 14x plus 24 durch x² minus 8x plus 15.

Das übliche Nullstellen-Vollstellen-Skizzieren, wie sieht dieses Tier aus im Prinzip? Was kann ich schnell am Wesentlichen darüber feststellen?

So, hier kann man nicht direkt die PQ-Formel anwenden, das macht das Ganze ein bisschen eklig. Ich würde aus dem Zähler die 2 ausklammern. Dann steht da, das ist zweimal, Bruchstrich, unten haben wir denselben, und oben steht dann nur noch x² minus 7x plus 12, das ist handlicher für die PQ-Formel.

Nehmen wir das mal gerade in Nebenrechnung, die Nullstellen vom Zähler sind spannend.

Nullstellen vom Zähler, da habe ich, x ist gleich 7 halbe plus minus 49 viertel minus 12, 49 viertel minus 48 viertel, 1 viertel, Wurzeln 1 viertel ist 1 halb, also 7 halbe plus minus 1 halb, will sagen 6 halbe oder 8 halbe, 6 halbe sind 3, 8 halbe wären 4.

Und nun noch die Nullstellen vom Nenner, der geht direkt mit PQ-Formel 4 plus minus,

die 4 quadrieren 16 minus die 15, also 3 oder 5 wären die Nullstellen, oder 3 und 5 sind die Nullstellen. Oder hätte ich schon geschrieben, x ist gleich 3 oder x ist gleich 5, so wird der Nenner Null.

Das heißt, was ich da habe, kann ich schreiben als, den Ausdruck wie oben, ich lüge mich hier mal so durch, kann ich schreiben als, meine Originalfunktion, 2 mal x minus 3 mal x minus 4 durch x minus 3 mal x minus 5.

Das heißt, ich kann schon wieder kürzen, wie beim allerersten Experiment. Dann kriege ich meine Funktion, 2 mal x minus 4 durch x minus 5 mit einem winzigen Körnchen Salz.

In diese Funktion hier oben dürfen Sie nicht die 3 einsetzen, wenn Sie hier 3 einsetzen, teilen Sie durch Null. Wir haben ja gesehen, dass 3 eine Nullstelle des Nenners ist. In diese Funktion hier können Sie 3 einsetzen, ohne dass es Ärger gibt. Also, man muss theoretisch ein bisschen aufpassen, was den Definitionsbereich angeht.

Ich schreibe hier mal, wie ich jetzt habe, dazu, Definitionsmenge ist reelle Zahlen, aber nicht die 3 und nicht die 5. Das ist mein originaler Definitionsbereich. Oder maximaler Definitionsbereich, sollte ich sagen, wenn ich sage,

rechne das aus für alle reellen Zahlen, für die das funktioniert, dann nehme ich alle reellen Zahlen, aber nicht die 3 und nicht die 5. Und in meiner Form hier unten kann ich im Prinzip auch die 3 einsetzen, ohne dass was Stimmes passiert. Gucken wir uns gleich nochmal den Detail an, was das bedeutet.

Auf jeden Fall sehe ich erst mal, es gibt eine Nullstelle, das ist die 4, und nur eine Nullstelle. Und es gibt eine Polstelle, und nur eine Polstelle, das ist die 5.

An der Stelle 3 habe ich einfach eine Definitionslücke, aber keine Nullstelle und keine Polstelle. Nullstelle schon mal deshalb nicht, weil ich ja die Funktion an der Stelle 3, ich gehe nochmal zurück, 3 kann hierfür schon deshalb keine Nullstelle sein, weil ich ja gar nicht ausrechnen darf.

So und so viel durch 0. Die Funktion ist an der Stelle 3 nicht definiert. Da kommt nicht Null raus, sondern sie ist nicht definiert an der Stelle 3. Deshalb kann es keine Nullstelle sein. Es ist aber auch keine Polstelle, wenn man bei einer Polstelle will, dass die Funktion ins Unendliche läuft. Und Sie sehen, um die Zahl 3 herum, 3,0001, 2,9999, um die Zahl 3 herum passiert hier überhaupt nichts Böses.

Die Funktion läuft nicht ins Unendliche, also ist die 3 auch keine Polstelle. Was die Nullstellen und die Polstellen sind, sieht man erst nach diesem Kürzen. Was dann übrig bleibt im Zähler sind die Nullstellen und was übrig bleibt im Nenner sind die Polstellen.

So habe ich sonst noch irgendwelche allgemeinen Ansagen. Hier den Faktor 2 nicht vergessen. Wenn Sie sich einfach den Zähler angucken und bestimmen die Nullstellen vom Zähler, kann es Ihnen passieren, dass Sie den Faktor 2 hier verschlampen. Ohne den Faktor 2 stimmt diese Gleichung hier nicht. Wenn Sie hier den Faktor 2 nicht hätten und da nicht hätten,

wird ja oben nur x² durch irgendwas stehen und nicht 2x² durch, was da sowieso schon gestanden hat. Das wäre v. Also da muss die 2 davor stehen, sonst habe ich keine Gleichheit. So zum Plotten, zum Skizzieren sollte ich sagen, zum Skizzieren des Ganzen.

Ohje, viel Platz auf den Achsen, x, y. Bei 5 haben wir eine Polstelle. Ich mal einfach deshalb mal hier die Vertikale rein an der Stelle 5. An der Stelle 4 ist die Funktion gleich Null.

Dicken Klecks hier auf die Achse setzen. Wir können auch noch ihren Wert an der Stelle Null ganz billig haben. 2x-4 durch minus 5 sind minus 8. Durch minus 5 sind minus 16.

Durch minus 10, wenn die Minus mal streichen, 16, Zehntel, 1,6. 1,6 ist der Wert an der Stelle Null. Hier liegt er so ungefähr. Hier liegt dann vielleicht der 1. Dann sind wir hier an der Stelle Null. Jetzt wüsste ich gerne auch wieder den Verlauf im Unendlichen.

Was halten Sie davon? Was passiert mit dieser Funktion, wenn Sie x über alle Grenzen wachsen lassen? Genau, wenn Sie hier sehr große Zahlen x einsetzen, wird das Ganze ungefähr 2. Den korrekten Weg mit Polynomdivision gucken wir uns übermorgen nochmal an.

Aber man sieht hier schon über den breiten Daumen, das muss 2 werden. Wenn Sie hier 1 Million einsetzen, 99.996 durch 99.995 mal 2, das ist praktisch 2, was hier rauskommt. Dasselbe für negative x.

Also auf der Höhe 2 habe ich hier eine horizontale Asymptote. Und jetzt sehen Sie, die billigste Lösung wäre wieder, dass ich von hier komme, sonst abbiege und hier gegen Minus endlich gehe.

Und dann komme ich hier, Wohlstelle 1. Ordnung, zwangsläufig von oben und werde mich hier an die Y gleich 2 wieder anschmieden. So wird das im Prinzip aussehen. Auch das könnte jetzt noch anders aussehen. Natürlich könnte der im Prinzip so aussehen. Nicht so, nicht noch eine Nullstelle.

Aber er könnte im Prinzip so aussehen. Und hier könnte er im Prinzip so aussehen. Könnte im Prinzip, aber wenn ich diese einfache Funktion sehe, sorry, die wird nicht so laufen wie die grüne Kurve, die wird so laufen wie die rote Kurve. Das könnte man jetzt noch nachreichen mit Lokal, Minimal, Lokal und Maximal. In der Praxis glaube ich wird man es nicht tun,

weil es klar ist, dass eine solch einfache Funktion so verlaufen muss, dass die rote Kurve hier nicht so verlaufen kann wie die grüne Kurve. Rein theoretisch müsste man sich das noch überlegen, dass die grüne Kurve ausgeschlossen ist.

Eine Sache, ein Körnchen Salz sollte ich noch einmalen, der mathematischen Strenge halber. Wenn das meine Originalfunktion sein soll, wenn ich sage, Y ist gleich, was war es? 2x² minus 14x, bla bla bla.

Wenn das meine Originalfunktion sein soll, welches Körnchen Salz sollte ich da noch in das Wasser geben? Korrekt, ich sollte noch die Definitionslücke einzeichnen. An der Stelle 3 gibt es eine Definitionslücke für meine Originalfunktion. Nicht für meine vereinfachte Funktion,

aber die originale Funktion hat hier eine Lücke. Weil ich durch 0 teilen würde. Die Funktion ist total harmlos. Kein Sprung ins Unendliche, kein weiterer Ärger. Da ist einfach ein Loch in der Kurve, weil ich die 3 nicht einsetzen kann.

Und man kann sich jetzt einfach diesen Ausdruck, den vereinfachten Ausdruck angucken und feststellen, was für ein Wert rauskommen sollte, wenn sie 3 einsetzen. 2x minus 1 durch minus 2. 2x 3 minus 4 durch 3 minus 5.

2x minus 1 durch minus 2. 2x minus 1 durch minus 2, will sagen, 1 sollte rauskommen. 1 wäre der vernünftige Wert für diese Funktion. Wir sind hier auf der Höhe 1. Meine Originalfunktion hat da ein Loch. Diese vereinfachte Funktion füllt die auf Höhe 1.

Das heißt dann, die Definitionslücke stetig heben. Sie zu B heben. Sie kleistern dieses Loch zu. Streng genommen also, in dieser Originalfassung, ein Loch an der Stelle 3, sowieso an der Stelle 5 wegen der Polstelle.

Hier sehen Sie, es ist wirklich nur ein Loch und nichts Böses. Auf der Höhe 1 kann ich das Zug leistern. Die Definitionslücke stetig heben. Bei der Polstelle können Sie nichts tun. Wir springen hier quer durch den Garten oder zumindest ins Unendliche.

Das können Sie nicht retten. Bei der Nullstelle ist nichts zu retten. Es kommt einfach Null raus.