Es gibt zwei Sorten Mantelflächen, solche, die man lösen kann und solche, die man nicht lösen kann. Die bei Drehung um die x-Achse tendiert dazu nicht lösbar zu sein. Aber wenn ich um die y-Achse drehe, lustigerweise wird das Integral einfacher. Das überdenke ich gerade mal allgemein. Was passiert, wenn ich eine allgemeine Funktion habe und drehe,

na die könnte ein bisschen krummer sein, und drehe diese allgemeine Funktion um die y-Achse, wie groß wird die Mantelfläche werden, wenn ich das mit einem Integral ausrechne? Also hier drehen um die y-Achse,

wie groß wird die Mantelfläche werden? Genau, sie werden später weder Maler noch Lackierer. Wie gesagt, es geht darum, in der Lage zu sein, selbstständig irgendwelche Integrale hinzuschreiten, die das Richtige tun. Diese Mantelfläche auszurechnen, eine Funktionskurve,

also ein Graph einer Funktion zwischen a und b, dieser Teil hier, wird gedreht um die y-Achse. Was gibt das als Mantelfläche? Wieder ohne die Deckflächen natürlich, nur der Teil der Oberfläche, der hier von der Kurve gebildet wird. Es ist einfacher, als man glaubt, wenn man das erst mal hingekriegt hat.

Also ich integriere wieder von a bis b. Ich möchte über x integrieren. Ich könnte ja auch die Rollen von x und y vertauschen und über y integrieren, aber das kann ja jeder, es ist viel lustiger, weiterhin über x zu integrieren. Jetzt muss hier stehen, was ist die Mantelfläche für einen solchen Kegelstumpf?

Naja, Umfang mal wie lang die Strecke ist. Der Umfang, 2π mal der Radius, wenn Sie sich das angucken, ein solcher Kegelstumpf hier. Was ist der Radius? Das ist einfach der x-Wert. Hier steht 2πx für den Umfang.

Und dieser hier, die Länge längs der Kurve, das Stückchen längs der Kurve, hatten wir eben schon. Das ist die Wurzel, 1 plus Ableitung ins Quadrat, mal dx von Pythagoras.

Hier kommt also die Wurzel, 1 plus die Ableitung ins Quadrat, oh das wird eng, mal dx dahinter. Und das ist netterweise einfacher. Die Mantelfläche bei Rotation und y-Achse ist nicht so ungeschickt wie die Mantelfläche bei Rotation um x-Achse. Sie sehen, hier kommt meine Funktion zweimal vor,

bei der Rotation um die x-Achse. Hier einmal abgeleitet und hier einmal im Original. Aber hier, bei der Rotation um die y-Achse, steht da vorne x und nicht mehr die Funktion. Wir gucken uns mal ein Beispiel an, bei dem das wirklich geht. Zum Beispiel A gleich 0, B gleich 3

und als Funktion nehmen wir mal ganz dumm, ganz dumm, ganz dumm, x-Quadrat, Überraschung. Was kommt dabei raus? Das ist nochmal eine kleine Übung zur Integration.

Dass hier die Ableitung der Funktion vorkommt und sonst nichts. Hier steht ja nichts von F, hier steht nur F'. Warum ist das ein gutes Zeichen? Warum erwarten Sie, dass nur die Ableitung vorkommt und nicht die Funktion als solche? Ja, genau, es kommt ja gar nicht auf die Höhe an. Ob diese Kurve da unten ist oder da oben ist oder ganz weit unten,

es kommt nur auf die Form der Kurve an und nicht auf welche Höhe das Ganze stattfindet. Ich müsste die Höhe, die absolute Höhe sozusagen vergessen. Wunderbar, es kommt nur die Ableitung vor. Diese Formel vergisst die absolute Höhe, wie sich das gehört. Also nicht wundern, dass nur die Ableitung vorkommt. So muss das sein, sonst wäre es komisch.

Ich integriere jetzt also von 0 bis 3. 2 Pi, den ich oben da vorschreiben soll. 2 Pi x mal Wurzel 1 plus. So, hiervon die Ableitung quadrieren. Die Ableitung wäre 2x, Quadrat wäre 4x Quadrat, dx.

Jetzt möchte man auf den ersten Blick meinen, dass das hier eine partielle Integration verlangt. Das x ableiten und die Wurzel integrieren. Aber wie integrieren Sie die Wurzel mit dem x Quadrat? Das ist nicht gut. Es geht netterweise mit Substitution. Das hier unter der Wurzel erkläre ich zu meiner Variabeln u.

Dann habe ich die u nach dx gleich. Die 1 fällt weg beim Ableiten. 4 mal 2 mal x, also 8x. Ich mache das jetzt auch mal wieder so hemsärmlich. Nicht so richtig streng mathematisch.

Beziehungsweise streng mathematisch, wenn man weiß, was Differentialformen sind. Das dx bringe ich nach rechts, die 8x bringe ich nach links. Dann steht da du durch 8x ist gleich dx. Hier setze ich das ein. Das dx setze ich da ein. Und wenn der Send 2 Pi von 0 bis 3 x Wurzel u.

Und dx wird werden du durch 8x. Und es ist halt eine Schubuchaufgabe. Deshalb ist es tatsächlich lösbar. Die x fliegen glücklicherweise raus. Jetzt muss ich vorsichtig sein.

Ich arbeite ja mit u jetzt, du und nicht mehr dx. Also nicht mehr die Grenzen von 0 bis 3. Sondern 0 einsetzen gibt 1. 3 einsetzen gibt 37. Also ich muss stehen von 1 bis 37.

Und dann habe ich da 2 durch 8 sind ein Viertel. Also vorne steht Pi viertel. 2 durch 8 mal Pi. Das Integral von 1 bis 37. Wurzel u du. Na ja, das ist jetzt nur noch dumm. Pi viertel Stammfunktion u hoch 1 halb.

Also u hoch 3 halbe mal 2 drittel. Wenn Sie hier ableiten. 3 halbe nach vorne. Kürzlich mit den 2 dritteln. 3 halbe um 1 verringern. Hoch 1 halb. Von 1 bis 37. Und dann sind wir bei Pi viertel mal 2 drittel.

Da kann man noch kürzen, wenn es einem langweilig ist. Mal 37 hoch 3 halbe. Minus 1 hoch 3 halbe, was wieder 1 ist.