Gucken Sie sich folgende Funktion an, x wird abgebildet auf e hoch 1 durch x für offensichtlich x ungleich 0, damit ich nicht durch 0 teile da oben, 1 durch 0. Wie steht es da mit Monotonie?

So, wenn man das jetzt naiv anfängt mit Ableitungen, den naiv ableiten, 1 durch x im Exponenten ableiten, wieder mit Kettenregel, außen die e-Funktion bleibt stehen,

mal in der Ableitung x hoch minus 1 ableiten, x hoch minus 1 ableiten gibt minus x hoch minus 2, minus x hoch minus 2. Das gucken Sie sich an, e hoch 1 durch x ist immer positiv, minus eine Zahl, die immer positiv ist, Quadrat einer Zahl, hier hinten steht immer etwas Negatives,

ist immer negativ. Dann möchte man jetzt meinen, das Ding ist streng monoton fallend, blöderweise nicht wirklich, nicht auf Dauer. Es ist da streng monoton fallend, wo der Definitionsbereich zusammenhängt,

aber der Ärger ist, ich habe ein Loch im Definitionsbereich. An den durchgehenden Stücken des Definitionsbereichs, keine Frage, die Steigung ist negativ, streng monoton fallend, aber der Definitionsbereich ist nicht durchgängig, ich habe einen Teil links, einen Teil rechts, die negativen x, die positiven x, und die sind voneinander getrennt,

und da geht etwas schief, also dieses Beispiel ist ein Warnhinweis, da muss ich mal überlegen, wie diese Funktion insgesamt aussieht. Mal ich das mal hin, ich mal es hier mal, kostet nicht so viel Platz diese Funktion. So, links von x gleich 0, rechts von x gleich 0, streng monoton fallend, keine Frage,

der Wert ist immer positiv, e hoch irgendwas, es kommen nur positive Zahlen raus. Wenn ich x dicht über 0 einsetze, 1 durch 0,0001, steht da e hoch, eine sehr große positive Zahl,

gibt ein sehr hohes Ergebnis. Was passiert, wenn x gegen unendlich geht, was passiert dann mit diesem Ausdruck, was macht e hoch 1 durch x? Okay, für x sehr groß wird 1 durch x 0 werden,

die Exponentialfunktion ist eine stetige Funktion, um Sie daran zu erinnern, das ist die offizielle Begründung für das, was folgt, die Exponentialfunktion ist eine stetige Funktion, also kann ich nehmen, e hoch 0 wird rauskommen. Die Exponentialfunktion ist mit dem Grenzwert verträglich, es geht zum Schluss hier gegen e hoch 0, hier gehen also auf der Höhe 1 sich einpendeln, so was, keine Ahnung,

hier haben wir irgendwo auf der Höhe 1 eine Asymptote, das passiert rechts, was passiert links für negative x? Genau, wenn Sie x gleich minus 0,0001 haben, Kehrwert davon eine sehr negative Zahl, minus 100 Milliarden,

eine sehr negative Zahl, e hoch minus 100 Milliarden, der Kehrwert von e hoch 100 Milliarden, eine Zahl dicht bei 0. Hier, von links, komme ich bei 0 an. Was passiert, wenn x eine sehr negative Zahl ist, x gleich minus eine Million, was passiert dann?

Genau, wird schon wieder gegen 1 gehen, weil 1 durch eine sehr negative Zahl dicht bei 0 ist, e ist eine stetige Funktion, kommt da schon wieder 1 raus. So sieht das Ding insgesamt aus. So sieht der Verlauf insgesamt aus, also ich habe auch nach links einen negativen x hin,

eine Asymptote bei y gleich 1. So, was halten Sie von monoton fallend? Ja, also alleine für die negativen x, ok, streng monoton fallend, alleine die positiven x, ok, streng monoton fallend, aber ich springe ja wieder rauf, das ist das Gemeine,

diese Funktion springt in der Definitionslücke wieder rauf. Also wenn Sie gucken, was dieser Funktionswert ist und was der Funktionswert ist, ups, der Funktionswert rechts ist größer und das ist verboten für eine streng monoton fallende Funktion und auch für eine monoton fallende Funktion.

Der Funktionswert rechts darf nicht größer sein als der Funktionswert links. Das steht im Widerspruch zu monoton fallend. Also das ist ein witziger Effekt. Da vor der Definitionsbereich zusammenhängt ist, ist sie wirklich streng monoton fallend, aber insgesamt, die Gesamtfunktion ist nicht streng monoton fallend

und sie ist nicht mal monoton fallend, weil sie wieder nach oben springt in der Definitionslücke.