19B.3 Grenzwertbetrachtung mit Bruch und Wurzel, anderes Beispiel
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
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| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10115 (DOI) | |
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Mathematik 1, Winter 2012/201398 / 187
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Fraction (mathematics)SequenceNumerical analysisTransformation (genetics)Function (mathematics)Category of beingInfinityExponentiationAbel's theoremLimit (category theory)Power (physics)MereologySineContinuous functionTerm (mathematics)Unstetige FunktionNumberSummationRootVector potentialSquare numberSummierbarkeitPoint (geometry)QuotientLimit of a sequenceHerleitungTermumformungCartesian coordinate systemSpring (hydrology)Binomische FormelBinomial theoremMultiplication signComputer animationDiagramProgram flowchart
Transcript: German(auto-generated)
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Jetzt etwas, was wie umgedreht aussieht. Man muss etwas klüger begründen. Ein Bruch und oben steht die Wurzel aus e hoch minus n plus 2 mal n hoch 4 plus n hoch 3. Und im Nenner steht n plus 5n² plus 7 mal den Sinus.
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Was macht das für n gegen unendlich? Was ist mir so aufgefallen? Das war es schon eben bei ihren Vorgängerinnen und Vorgängern.
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Die wollen alle gerne, wie teilweise auch, quadrieren. Dieses Ding quadrieren, damit die Wurzel weggeht. Aber das ist ja nicht mehr gleich. Ich möchte irgendeine Umformung haben. Dieses ist gleich irgendwas. Wenn sie das quadrieren, ist es ja nicht mehr gleich. Es ist gerade 1 oder 0.
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Anderes Problem beim Quadrieren. Wenn Sie den Nenner quadrieren, 1 plus 2 plus 3, wenn Sie so etwas quadrieren, dann kriegen Sie ja nicht nur 1² plus 2² plus 3², sondern Sie kriegen auch 2 mal 1 mal 2, 2 mal 1 mal 3 und 2 mal 2 mal 3.
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Sie kriegen diese sogenannten Kreuzterme, wie bei der binomischen Formel a² plus b² plus 2ab. Wenn Sie so eine Summe quadrieren, wird es ziemlich hässlich. Andere Geschichte, die dabei schiefgegangen ist. Und was auch schiefgegangen ist, die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln.
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Es ist nicht die Wurzel aus zum Beispiel 1 plus 2, gleich 1 plus 2, jeweils die Wurzeln. Das ist nicht dasselbe. Vorsicht, unter der Wurzel die Summe ist nicht die Summe der Wurzeln. So, mit der Vorbemerkung.
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Man sieht, so Ingenieur-mäßig, oben ist der wichtigste Term diese 2n hoch 4. e hoch minus n geht gegen 0. n hoch 3 wächst nicht so schnell wie n hoch 4. Unten ist der wichtigste Term diese 5n². Und dann geht das Ganze irgendwie wie die Wurzel aus 2n hoch 4 durch 5n².
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Das ist das Wesentliche von diesem Bruch. Oben ziehen Sie die Wurzel. Die Wurzel aus 2n hoch 4 sind die Wurzel aus 2n². n² gegen n² geht weg.
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Also hoffe ich, dass das was wird wie Wurzel 2 durch 5. Das wird der Grenzwert sein. Das war die inoffizielle Weise, den Grenzwert zu bestimmen. Die inoffizielle Weise, die man dann aber in der Praxis benutzt. Dieses Ding muss also gegen Wurzel 2 durch 5 gehen. Wenn ich etwas anderes rauskriegen sollte aus der Analyse, dann weiß ich,
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hallo, irgendjemand hat Blödsinn veranstaltet. Ich würde jetzt versuchen wieder die höchste Potenz rauszunehmen. n². Das haben Sie eben gesehen, oben steht im Endeffekt auch n² als höchste Potenz. Die Wurzel aus n hoch 4. Sie kürzen Zähler und Nenner durch n². Ich schreibe da erstmal hin die Wurzel, wie sie da steht, durch n².
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e hoch minus n plus 2n hoch 4 plus n hoch 3. Unten durch n², dann steht da 1 durch n plus 5 plus 7 durch n² mal den Sinus. n² bringen wir oben in die Wurzel rein.
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Ich schreibe unten den Nenner nochmal ab. plus 7 durch n² mal den Sinus. n² in die Wurzel rein, dann steht in der Wurzel, n hoch 4 natürlich, dann steht n², e hoch minus n durch n hoch 4 plus, und jetzt 2n hoch 4 durch n hoch 4, nur die 2,
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plus n hoch 3 durch n hoch 4, 1 durch n wird das werden. Und jetzt habe ich nichts mehr, was im Unendlichen wird, wie unendlich durch unendlich, sondern Zähler und Nenner haben jetzt vernünftige Grenzwerte. Das ist hier das Problem, ich kann nicht direkt mit dem Grenzwert setzen, weil da im Prinzip unendlich durch unendlich steht.
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Hier steht jetzt nicht mehr unendlich durch unendlich. Unten 1 durch n geht gegen 0, 7 durch n² geht gegen 0, mal den Sinus, beschränkte Funktion, geht gegen 0. Beschränkte Folge sollte ich sagen, nicht beschränkte Funktion, geht gegen 0. Unten steht also etwas, was gegen 5 geht, Überraschung.
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Oben in der Wurzel, e hoch minus n ist beschränkt, durch n hoch 4, bestimmt divergent, geht gegen 0. 1 durch n, klar, geht gegen 0. Die Summe daraus geht gegen 2, mit der 2 in der Mitte. Die Wurzel aus etwas, was gegen 2 geht, ist die Wurzel 2.
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Und jetzt kommt der Grenzwertsatz für Quotienten. Wenn ich einen Quotienten habe, Zähler und Nenner gehen nicht gegen 0, dann kann ich einfach die Grenzwerte durcheinander teilen. Das Ganze geht gegen Wurzel 2 durch 5.
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Das wäre die offizielle Herleitung. Eine Geschichte sollte man noch erwähnen. Die Wurzel, warum klappt das so mit der Wurzel? In der Wurzel habe ich etwas, was gegen 2 geht. Was ist die Eigenschaft der Wurzel, die dafür sorgt, dass dann die Wurzel gegen Wurzel 2 geht?
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Stetig, die Wurzelfunktion ist stetig. Wenn Sie eine Funktion haben mit so einem Verlauf, und Sie marschieren dann auf der x-Achse zu irgendeinem Wert hin, dann haben Sie auf der y-Achse eine Folge, die zu dem passenden Funktionswert hin marschiert,
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wie bei der Wurzel. Meine x-Werte gehen immer mehr zur 2 hin, dann wird die Wurzelfunktion immer dichter an Wurzel 2 liegen. Sie ist stetig. Bei einer unstetigen Funktion, das billigste Beispiel für eine unstetige Funktion,
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wäre eine Funktion mit einer Sprungstelle. Wenn Sie so eine Funktion haben, und die x-Werte marschieren zum Beispiel oder insbesondere gegen diese Sprungstelle, dann laufen die y-Werte nicht zeugensläufig gegen den Funktionswert an der Sprungstelle.
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Eine unstetige Funktion wäre ein Ärgernis an der Stelle. Stetige Funktionen vertragen sich mit Grenzwerten, kann man auch sagen. Innen drin steht eine Folge, die gegen 2 konvergiert. Ich ziehe die Wurzel und dann kriege ich etwas, was gegen Wurzel 2 konvergiert.
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Die Wurzel dieser konvergenten Folge konvergiert gegen die Wurzel vom Grenzwert der Folge. Stetige Funktionen vertragen sich mit Grenzwerten. Das geht in Fleisch und Blut über, da denkt man nicht drüber nach, aber das wäre hier die offizielle Begründung, warum das mit der Wurzel funktioniert.