zur Übung. Die letzte Ungleichung. x-2 durch x-3 soll kleinergleich 4 sein. Davon die Lösungsmenge zu finden interessiert mich natürlich nur für x ungleich 3. Ich schreibe mal dahin für x Element reelle Zahlen ohne die 3.

Die Lösungsmenge heißt, ich suche alle x ungleich 3, alle reale Zahlen x, für die diese Ungleichung erfüllt ist. Probieren sie das mal, ich gehe rum.

Wenn das eine Gleichung wäre, wenn das eine Gleichung wäre, würde ich folgendes probieren. x-2 x-3 gleich 4. Wenn das eine Gleichung wäre, würde ich versuchen mit x-3 zu multiplizieren auf beiden Seiten. Dann ist es da weg und hier kommt es hin. 4 mal x-3. So würde ich das versuchen, wenn es eine

Gleichung ist, sondern eine Ungleichung. Und der Ärger ist, wenn sie eine Ungleichung mit einer negativen Zahl links und rechts multiplizieren, müssen sie das Ungleichungszeichen umkehren. Machen wir mal ein Beispiel. Wenn sie zum Beispiel haben 1 kleinergleich 2 und sie multiplizieren auf beiden Seiten

mit von mir aus minus 4. Minus 4 minus 8. Dann sehen sie, minus 4 ist größergleich minus 8. Wenn sie mit einer negativen Zahl multiplizieren, links und rechts, kehrt sich das um. Kommt dem Skript vor als die streng monoton

fallenden Funktionen. Wenn ich eine streng monoton fallende Funktion links und rechts anwende, zum Beispiel mit einer negativen Zahl multipliziere, dann muss das kleinergleich zum größergleich werden und das kleiner zum größer und das größergleich zum kleinergleich und so weiter. Das Zeichen kehrt sich um. Und das ist hier der Ärger, weshalb eine Fallunterscheidung auftritt.

Ich möchte eigentlich mit x minus 3 multiplizieren, links und rechts, muss aber vorsichtig sein, ob das eine positive Zahl oder eine negative Zahl ist. Wenn x minus 3 negativ ist, brauche ich ein anderes Ungleichungszeichen. Da habe ich zwei Fälle. Das kann man jetzt hinschreiben mit erster Fall, zweiter Fall. Ich finde das lustiger, übersichtlicher,

gebündelter, wenn man es mit Äquivalenzumformungen hinschreibt. Also ich sage, okay, erster Fall x minus 3 ist größer als 0 oder zweiter Fall x minus 3 ist kleiner als 0. Das sind meine beiden Fälle. Im ersten Fall kann

ich, wenn der Nenner positiv ist, kann ich einfach mit dem Nenner multiplizieren und ich kriege x minus 2 kleinergleich 4 mal x minus 3. Im zweiten Fall, wenn der Nenner negativ ist, kann ich auch mit dem Nenner multiplizieren, aber ich muss das kleinergleich zu größer machen, x minus 2

größergleich 4 mal x minus 3. So sieht das dann nachher aus in meiner Schreibweise. Schulmäßig steht da erster Fall das und da geht es weiter und zweiter Fall das und da geht es weiter. Aber spätestens wenn Sie im ersten Fall noch zwei Unterfälle haben und davon nochmal Unterfälle

haben, wird es so unübersichtlich. Ich finde es dann tatsächlich einfacher für mich mit Equivalenzumformungen hinzuschreiben. Ich kann jetzt sicher sein, dass das was da oben steht garantiert dasselbe macht wie das was da unten steht, ohne dass ich jetzt irgendwelche Fälle zusammensuchen muss. Seien Sie vorsichtig bei der Fallunterscheidung.

Nicht, dass Sie jetzt einfach da hinschreiben, oh ja hier habe ich irgendwas, Fallunterscheidung ist immer größer, kleiner, 0. Ich schreibe irgendwas hin, größer, kleiner, 0. Das muss schon Hand und Fuß haben. Sie können jetzt nicht einfach irgendeine Fallunterscheidung da erfinden. Warum die Fallunterscheidung? Die Fallunterscheidung brauche ich nur,

weil ich mit diesem unseligen x minus 3 links und rechts multiplizieren will und weil multiplizieren mit einer negativen Zahl das Ungleichungszeichen umkehrt. Deshalb die Fallunterscheidung und deshalb x minus 3 bei der Fallunterscheidung. Wenn man so weit ist, ist der Rest geschenkt. Das hier

aufzulösen, das aufzulösen, das hier umzuformen und dann diese Mengen zusammenzufassen. Schnittmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, das sollte keine große Kunst sein. Gucken wir uns das nochmal mit Gleichungen an.

Wenn Sie irgendeine Gleichung haben, a² plus 7x ist gleich, oder nein, sollte teilen, durch x minus 9 ist gleich 42. Wenn Sie so eine Gleichung haben und der Job ist, die Gleichung nach x aufzulösen, schreit das dann nach, dass ich auf beiden Seiten mal x minus 9 nehme. Ich muss natürlich vorsichtig sein,

hier darf x nicht gleich 9 sein, damit ich nicht durch 0 teile, aber das muss sowieso vorher stehen, dass x nicht gleich 9 sein darf, sonst stünde ich hätte schon Blödsinn. So eine Gleichung würde ich auflösen, indem ich auf beiden Seiten mit x minus 9 multipliziere und dann steht da a² plus 7x

ist gleich 42 mal x minus 9. Bei Gleichungen ist das okay, da kann nichts schief gehen. Der Ärger ist bei Ungleichungen, ich mache jetzt tatsächlich mal eine Ungleichung hin, schreiben Sie sich jetzt aber nicht mit, das ist ein bisschen Confuse sonst. Wenn Sie eine Ungleichung haben, dann geht das nicht immer. Wenn diese Zahl hier

negativ ist, mit der ich links und rechts multipliziere, brauche ich vielleicht, nicht vielleicht, dann brauche ich ein größer Gleich immer, wenn diese Zahl negativ war. Und dafür brauche ich diese zwei Fälle, diese unsägliche Fallunterscheide. Wenn Sie den Schritt hinter sich haben, ist es einfach. Genauso Fallunterscheidung,

zum Beispiel beim Betrag, ist das was im Betrag steht positiv, ist das was im Betrag steht negativ. Vielleicht auch beim Quadrat, je nachdem wie es vorkommt, ist das was im Quadrat steht positiv oder negativ. Analog dann dazu. Wenn Sie hier angekommen sind, geht es ziemlich gradlinig weiter. x minus 3 größer 0,

heißt ja nichts anderes als das x größer ist als 3. Auf beiden Seiten 3 addieren. Wenn Sie auf beiden Seiten 3 addieren, x minus 3 plus 3 wird x, aus der 0 wird eine 3. Diese Geschichte ist ein bisschen rücklicher. Ich löse

die vielleicht mal in kleinen Schritten auf. Da steht x minus 2 kleiner gleich. Hier steht 4x minus 12, oder x minus 3 kleiner 0, also x kleiner 3. Und hier steht x minus 2 kleiner gleich, 4x minus 12. Was? Größer gleich. Ich habe das Zeichen

umgekehrt, das war gerade ein Witz. Größer gleich. 4x minus 12. Jetzt können wir noch zusammenfassen. Das wird x ist größer 3. Und was haben wir jetzt hier? Auf

beiden Seiten x ab 10 macht hier 3x, auf der rechten Seite. Auf beiden Seiten 12 addieren, die 12 da raus und hier wird 10 draus. So gefällt mir das. 10

kleiner gleich 3x. Also Sie arbeiten mit der Ungleichung wie mit einer normalen Gleichung. Wenn Sie links und rechts was addieren oder links und rechts was subtrahieren oder links und rechts mit einer positiven Zahl multiplizieren oder links und rechts durch eine positive Zahl teilen, dann geht die Ungleichung nicht kaputt. Das Problem ist immer nur, wenn Sie durch eine

negative Zahl teilen oder mit einer negativen Zahl malen nehmen, dann kippt die Ungleichung ins Gegenteil um. Das Gegenteil ist falsch und dann kippt kleiner gleich in größer gleich um und größer gleich in kleiner gleich und größer in kleiner kippt dann um. So das ist der erste Teil und

hier unten steht x kleiner 3 oder x kleiner 3 und, was haben wir jetzt hier? Sie sehen das ist dasselbe, was oben steht, einfach nur mit einem anderen Zeichen. Also hier steht dann 10 größer gleich 3x. Selbe Rechnung wie eben. Von beiden Seiten x abziehen, das macht 3x, auf

beide Seiten 12 addieren, macht hier 10. Jetzt muss man sich überlegen, wie man das zusammenkriegt. x größer 3 und 10 kleiner gleich 3x. Ich sollte das alles noch mal mit x ausdrücklich hinschreiben, x größer 3

und jetzt hier beides durch drei teilen, 10 dritte kleiner gleich x oder x kleiner 3 und, was habe ich hier? 10 drittel größer gleich x. So was halten sie von dem ersten? x soll sein größer als 3 und 10 drittel also 3 ein

drittel soll kleiner gleich x sein. Was halten sie von dem? x soll größer gleich 3 ein drittel sein und x soll größer gleich 3 sein. Wenn x größer gleich 3 ein drittel ist, dann ist es erst recht größer als 3. Das heißt was hier oben steht, kann ich zusammenfassen, x größer gleich 10

drittel. Denn wenn es größer gleich 10 drittel ist, dann ist es sowieso größer 3. Das könnte man auch aufmalen mit diesen üblichen Bildchen, dass sie kleine Skizze machen, 10 drittel und 3, mal 10 drittel und 3, x größer 3,

also alle über der 3, die sind so unendliche, ohne die 3, x größer gleich 10 drittel, alle über 10 drittel einschließlich dem. Und davon will ich die Schnittmenge und in beiden gleichzeitig Schnittmenge. Sie sehen, es bleiben alle über 10 drittel. So könnte man das auch aufmalen, was ich nicht recht

überlegen kann. Das ist der obere. Kann ich den mal unterbringen hier? Ist mitgekriegt. So, der untere. x soll sein kleiner als 3 und 3 ein drittel

soll größer sein als x. Das muss ich glaube ich jetzt echt mal aufmalen, damit ich selbst noch verstehe. 10 drittel, 3 ein drittel, 3. x soll kleiner sein als 3, aber nicht 3 sein. Und 10 drittel soll größer

gleich x sein. 10 drittel soll größer gleich x sein. Die beiden zusammen, ich

suche alle Zahlen, die in diesen beiden Mengen liegen und das wären, da von die Schnittmenge und von den beiden die Schnittmenge kleiner 3. Die hier bis zu 3, ausschließlich der 3. Also das hier ist nichts

anderes als x kleiner als 3. Und dann habe ich zum Schluss insgesamt, equivalent, equivalent, equivalent, x ist größer gleich 10 oder das ist das oder oder x ist kleiner als 3. Und damit kann ich meine

Lösungsmenge hinschreiben, wenn ich die ausführlich nochmal hübsch hinschreiben will. Die Lösungsmenge ist also alle Zahlen, alle reellen Zahlen bis zur 3 aufwärts, ohne die 3, mindestens und endlich bis 3, ohne die 3, vereinigt,

alle Zahlen ab der 10 drittel einschließlich, ab der 10 drittel einschließlich bis aufwärts nach unendlich, ohne das unendlich. Das wäre dann die Lösungsmenge. Keine Mengen kann man da drum, denn das hier

ist ja schon jeweils eine Menge. Dieses Intervall hier vorne ist ja die Menge zum Beispiel in der minus 42 oder minus Pi hoch 7 oder minus 42 und so weiter drin ist oder sogar minus 2,999 drin ist. Das

Intervall steht schon für eine Menge von Zahlen, das heißt sie müssen hier nicht nochmals Mengen kann man drum schreiben. Das wäre zu viel des Guten. Dann hätten sie einen Beutel in einem Beutel. Der Fall kann auch passieren, in der Mathematik eher als dann in den

Ingenieurwissenschaften, dass man eine Menge einer Menge von Zahlen hat. Das haben sie letztes Mal gesehen, wie man die Ordinalzahlen konstruiert. Da passiert das tatsächlich. In der Ingenieurmäßigen Anwendung passiert das praktisch nie. Ich kann mich nicht erinnern, dass ich das mal gesehen hätte. Das hier sind schon Mengen und ich vereinige diese Intervalle, die

schon Mengen sind.