Ich möchte einen idealen Würfel etwas verzieren, und zwar so, dass er vom Tisch fallen kann. Und zwar ein Würfel soll so gebaut sein, oder so geworfen werden, dass 1 bis 6 gleich wahrscheinlich sind, aber dass er auch jedes hundertste Mal vom Tisch fallen kann.

Ich schreibe mal einfach Feld vom Tisch. Und dann nenne ich das einfach Null. Er soll jedes hundertste Mal vom Tisch fallen. Überlegen Sie sich, was dann ansonsten passiert. Die sollen gleich wahrscheinlich sein, alle hier.

Und dieses hier von 0 bis 6 soll eine Zufallsgröße sein. Ich schreibe erst mal zu Ende, gleiche Wahrscheinlichkeit. Und das hier soll mal eine Zufallsgröße sein. Die nenne ich mal Groß X.

Die Zufallsgröße Groß X ist 0, wenn der Würfel vom Tisch fällt, in einem hundertste der Fälle. Sie ist 1 bis 6, wenn der Würfel normal arbeitet. 1 bis 6 sollen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, jeweils. Und ich möchte wissen, was ist der Erwartungswert von dieser Zufallsgröße? Wenn Sie dieses Experiment eine Million mal machen, was kriegen Sie im Durchschnitt raus?

Das ist ja die Idee vom Erwartungswert. Ein Experiment, sehr häufig machen, Mittelwert bestimmen, einer bestimmten Zufallsgröße. Was wird dieser Mittelwert werden, je mehr Experimente ich mache?

Das klappt ja sogar. Erstmal muss man sich überlegen, wie große Wahrscheinlichkeit denn jetzt für 1 bis 6 ist. Nicht mehr ein Sechsel, ein Sechsel, ein Sechsel, weil ich hier noch ein hundertste unterbringen muss. Sondern in 99 von 100 Fällen fällt der Würfel nicht vom Tisch.

Und dann passiert das hier oben, 99 hundertstel mal ein Sechsel. Einige haben das sogar mit einem Baum aufgezeichnet, das ist eine nette Idee. Sie sagen, er fällt vom Tisch oder fällt nicht vom Tisch. Wenn er nicht vom Tisch fällt, habe ich die 6 Möglichkeiten. Könnte man auch machen. So, damit habe ich die Wahrscheinlichkeiten für 1 bis 6.

Dann könnte ich noch einmal klar machen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit wieder 1 ist. 99 hundertstel mal 1 durch 6, mal diese 6 Möglichkeiten, 6 mal ein Sechsel kürzt sich, 99 hundertstel für den hier oben, plus ein hundertstel Gesamtwahrscheinlichkeit 1.

Zwei Wege, wie man zum Erwartungswert kommt. Sie können den Erwartungswert als gewichtete Summe nehmen. 99 hundertstel mal ein Sechsel, mal den Wert 1. Die Wahrscheinlichkeit für den Wert 1, mal den Wert 1.

Plus die Wahrscheinlichkeit für den Wert 2, mal den Wert 2. Plus und so weiter und so weiter, die 6 Werte durch. Plus, wenn man jetzt ganz akribisch sein will, plus die Wahrscheinlichkeit für den Wert 0, mal den Wert 0, aber das ist natürlich 0, also hier hinten, das lohnt sich gar nicht hinzuschreiben.

Wäre was anderes, wenn ich sagen würde, wenn er vom Tisch fällt, gibt es 42 und nicht 0. Dann müsste ich hier natürlich mal 42 hinschreiben. Das wäre die professionelle Idee vom Erwartungswert. Ein gewichtetes Mittel von den Möglichkeiten. Dieses x kann den Wert 1, den Wert 2, 3, 4, 5, 6,

den Wert 0 haben. Und ich gewichte diese möglichen Werte mit den Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeit für den Wert, mal den Wert. Plus Wahrscheinlichkeit für den nächsten Wert, mal den Wert und so weiter und so weiter. Sie können es aber anschaulich auch anders nehmen. Sie können sagen,

mal gerade gucken, was sich hier ergibt. Sagen wir 600. Sie können auch Folgendes sagen, wir machen 600 Würfe und zählen einfach mal durch. Was kriegen wir dann im Mittel für unser x raus, wenn wir 600 Würfe haben? Sie kriegen 99 mal die 1 raus.

1 plus 1 plus 1 und so weiter 99 mal. Kriegen Sie die 1 raus im Schnitt, wenn Sie 600 mal würfeln. Sie kriegen 99 mal die 2 raus im Schnitt, wenn Sie 600 mal würfeln und so weiter.

5, 6, alle aufsummiert. Und Sie kriegen 6 mal die 0 raus, wenn Sie 600 mal würfeln. So könnte man das auch nehmen. 600 mal würfeln, dann haben Sie im Schnitt 6 mal die 0 drin,

jedes hundertste Mal die 0 drin. Also wenn Sie das hier aufsummieren, 0 plus 0 plus 0 plus 0 plus 0. Das ist arithmetische Mittel. Und hier hinten stehen 6 Nullen hintereinander aufadiert. Alle Werte, die Sie haben, aufadieren. 6 mal steht dahinten die 0 im Mittel. Bei den 600 mal haben Sie im Mittel 99 mal die 1.

Also steht hier in der Summe oben 99 mal die 1. 1 plus 1 plus 1 99 mal hintereinander. 99 steht dann mal die 2. Dann kriegen Sie natürlich dieselbe Formel, das ist der Grund überhaupt, wo dieses gewichtete Mittel herkommt. Wenn Sie sich vorstellen, was passiert im Schnitt, wenn Sie so und so häufig würfeln.

Wenn Sie sich angucken, was da steht, da steht 99 6 hundertstel mal 1. Und dann steht da 99 6 hundertstel mal die 2. Genau das, was wir eben gerechnet haben. Plus und so weiter. Und hier steht 6 6 hundertstel mal die 0.

Das wäre ein etwas ausführlicherer Weg, um zum selben Resultat zu kommen. Irgendwann geht das in Fleisch und Blut über, dass man sich das nicht überlegen muss. Von den 600 mal, das ist 99 mal die 1 und 99 mal die 2, und dann bilde ich wirklich den Mittelwert.

Es ist dieses gewichtete Mittel. Und die Gewichte sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten. Sie nehmen so und so viel Prozent von der 1 und so und so viel Prozent von der 2 und von der 3 und 4 und 6. Und so und so viel Prozent, 1 Prozent von der 0. So mischen Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und die 0 zusammen. Ein gewichtetes Mittel. Das ist eigentlich der Erwartungswert von der Bedeutung her.

Also die Wahrscheinlichkeit für die 0, die geht in der Tat quasi nicht in die Rechnung ein. Aber Sie sehen ja hier die 99 hundertstel. Da geht es ja doch ein. Es geht die Gegenwahrscheinlichkeit ein. Wenn die 0 wahrscheinlicher würde, sagen wir, da fällt jedes zweite Mal auf die 0. Dass hier ein halb steht, hätte ich hier auch ein halb. Und das Ganze würde extrem runtergedrückt werden.

Weil die 0 so häufig vorkommt. Also es wird die Wahrscheinlichkeit der 0 nicht direkt verwendet, aber es wird ja die Gegenwahrscheinlichkeit, die 99 hundertstel, verwendet. Also von der Größenordnung sollten wir natürlich auch noch sagen, es ändert sich ja nicht viel gegenüber dem normalen Würfel. Beim normalen Würfel hätten Sie, stellen Sie das vor, die Zahlen von 1 bis 6 teilen Sie durch 6,

dann legen Sie hier. Beim normalen Würfel wäre es 3,5, der Erwartungswert. Also wenn Sie in der Physik Ihre Messergebnisse mit einem Würfel erzeugen, kriegen Sie als Erwartungswert 3,5. Das hier muss etwas weniger sein als 3,5, weil er ja hin und wieder auf die 0 fällt. Jetzt zieht das Ganze runter.