13B.6 rationale Funktion; Asymptote gegeben, Nennerpolynom finden
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
| Title |
| |
| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10083 (DOI) | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language | ||
| Producer |
Content Metadata
| Subject Area | |
| Genre |
00:00
GradientExponentiationDirection (geometry)PolynomialNumberLogical constantAsymptoteZahlTotal S.A.SquareDivision (mathematics)Rational functionComputer animation
04:20
Logical constantEquationAsymptotePolynomialMultiplicationInfinityDivision (mathematics)SquareFluxComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
00:00
Jetzt probieren wir das mal umgekehrt. Folgende rationale Funktion, x² steht im Zähler und der Nenner soll sich selber aussuchen, soll folgendes Verhalten haben, soll für x gegen plus minus unendlich in beide Richtungen
00:22
y gleich x plus 2 schon wieder die als Asymptote haben. Also hier denken sie sich einen Nenner aus, sodass x² durch das Polynom, was hier unten steht, was auch immer das werden mag, dies als Asymptote für x gegen plus minus unendlich hat.
00:46
Wenn ich mir angucke, was hier bei der Polynomdivision passieren müsste, x² durch mein unbekanntes Polynom im Nenner müsste dann ja sein, x plus 2 plus, was kann denn hier noch stehen?
01:04
So, bevor ich hier irgendwas mit dem Rest hinschreibe, überlege ich mir, was hier unten im Nenner steht, muss bei uns vom Grad 1 sein. Das muss was sein wie so und so viel x plus so und so viel, weil ich x in die zweite Potenz nehme und dann teile ich und kriege erste Potenz raus.
01:27
Unten muss was mit x als höchster Potenz stehen, ein Polynom vom Grad 1, das wissen wir an der Stelle, sonst könnten wir hier nicht ein Polynom vom Grad 1 wieder rauskriegen. Irgendwas mit x² durch irgendwas mit x gibt irgendwas mit x,
01:42
da unten muss was nur mit x stehen, nicht schlimmer. So, und wenn hier ein Polynom vom Grad 1 steht, weiß ich, der Rest kann nur eine Konstante sein, denn der Rest mehr wäre als diese nackte Konstante, hätte ich nicht zu Ende geteilt. Wenn hier noch ein x dabei stünde, hätte ich noch teilen können. Der Rest ist eine reine Konstante.
02:02
Durch das Polynom, durch das ich eben schon geteilt habe, damit ich das komplett hinschreiben kann. So sieht die Polynomdivision aus, wenn ich die Lücken fülle. Ich weiß, im Nenner steht ein Polynom vom Grad 1, so und so viel mal x plus so und so viel, und hier steht eine Konstante, weil ich sonst nicht zu Ende geteilt habe.
02:24
Ich schreibe hier mal rein, was mein Ansatz wäre für ein Polynom vom Grad 1. Ich schreibe mal a mal x plus b für ein Polynom vom Grad 1. a mal x plus b muss von der Form sein, das a kann nicht 0 sein, sonst wäre es nicht vom Grad 1.
02:43
Was halten Sie von a? Was weiß ich über die Zahl a? Genau, also das a muss 1 sein. Wenn hier nicht durch ein nacktes x geteilt wird, kriegen Sie da nicht x raus bei der Polynomdivision. Wir teilen x² durch das hier. Das erste, was Sie bei der Polynomdivision rauskriegen, muss x sein.
03:03
Das geht nicht, wenn da vorne nicht eine 1 steht. Ich muss x² durch x plus noch etwas teilen, dann kriege ich das x raus. Also weiß ich, da vorne steht eine 1. Das macht die Sache schon sehr angenehm, und damit ist dieses b nur noch unbestimmt.
03:21
Also ich habe hier sowas wie x² durch... Ich schreibe es mal als Polynomdivision hin. x² durch x plus b ist gleich x plus 2 rest c. c eine unbekannte Konstante. So muss meine Polynomdivision aussehen.
03:44
Jetzt kann man eben mal vorsichtig gucken, was hier passiert. x² durch x gibt des x. Zurückmultiplizieren. x mal x plus b gibt x² plus bx. Das habe ich erledigt. x² plus bx habe ich erledigt, muss ich abziehen.
04:01
Und dann kriege ich hier als rest minus bx einen Zwischenschritt. Kriege ich als rest minus bx. Und jetzt kommt als nächstes, dass ich minus bx durch x teile. Wo kommt das vor? Minus bx durch x teilen. Wo sehe ich das Ergebnis?
04:21
Richtig. Dieses minus bx durch das x muss die 2 sein. Dieses minus bx durch das x muss die 2 sein. Dieses x² durch das x war das x. Ich habe zurückmultipliziert. Das bleibt über. Minus bx und jetzt der nächste Schritt. Minus bx durch x muss diese 2 sein. Also weiß ich, dass minus b gleich 2 ist.
04:43
Also weiß ich, dass b gleich minus 2 ist. Hier unten muss x minus 2 stehen. Was anderes kann da nicht stehen. Und dann ist automatisch auch sichergestellt, hier haben wir die 2 dann erzwungen, dass wirklich x plus 2 als Asymptote rauskommt. Nebenbei sieht man, es gibt keine andere Möglichkeit.
05:02
Es gibt nur dieses eine Polynom in diesem Fall. In diesem Fall gibt es nur das eine Polynom, was es wirklich tut. x minus 2 muss unten stehen. Alternative Methode, was ich bei einigen gesehen habe. Wenn Sie das lesen als x², x² ist gleich x plus 2 mal ax plus b plus diese Konstante.
05:30
Diese Gleichung mit dem Nenner multiplizieren. x² kann ich schreiben als das Divisionsergebnis mal den Nenner plus den Rest. Und dann kann ich jetzt lustigerweise
05:41
eine Polynomdivision durch x plus 2 machen. Auf beiden Seiten durch x plus 2 dividieren. c durch x plus 2 geht im Unendlichen gegen 0. Und ich gucke mir die Asymptote an von x² durch x plus 2. Also ich lerne x² durch x plus 2 ist gleich ax plus b.
06:05
x² durch x plus 2 ist ax plus b plus c durch x plus 2. So muss es auch funktionieren. Das heißt, wenn ich diese Polynomdivision ausführe, kriege ich lustigerweise genau das, was ich eben gesucht habe. Und das c wieder als Rest.
06:21
Es würde auch so rum funktionieren. Man muss nur fünf Minuten länger darüber nachdenken. Dann ist das eleganter, aber es ist komplizierter, sich zu überlegen, dass das stimmt.