Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer eines radioaktiven Teilchens, das muss exponentiell abfangen. Irgend so etwas, eine konstante E hoch, eine konstante mal T im Exponenten. Die Konstante muss von der Einheit her, hier oben, eins durch Zeit sein, damit der Exponent einheitslos bleibt.

Was haben wir? Irgend sowas wie die Halbwertszeit, das haben wir mit der Einheit Zeit. Meine aktuelle Zeit durch die Halbwertszeit, das ist einheitslos. Da kann jetzt irgendwie nur noch eine konstante, ohne Einheit stehen. Und das hatte ich schon vorgeführt, das ist der Logarithmus von zwei. Natürlich der Logarithmus von zwei, der steht da noch.

Und damit das Ding hier nachher die Fläche eins darunter hat, brauche ich hier vorne lustigerweise noch mal denselben Faktor. Logarithmus zwei durch Halbwertszeit. Gesucht war die Standardabweichung. Wie breit streut die Lebensdauer eines solchen Teilchens?

Das geht wie immer als Erwartungswert vom Quadrat. Ich schreibe jetzt mal groß T, Quadrat. T, groß T, sollte Zufallsgröße sein, die die Lebensdauer dieses Teilchens darstellt. Minus das Quadrat vom Erwartungswert. Schema F.

Den Erwartungswert von der Lebensdauer, den hatten wir eigentlich schon, aber kann nicht schaden. Den kann man nämlich gleich wieder verwenden. Erwartungswert von der Lebensdauer. Wie geht das mit Erwartungswerten? Ich bilde ein gewichtetes Mittel über die verschiedenen Werte. Wenn ich eine Zufallsgröße habe, die in 20% der Fälle gleich 5 ist und in 80% der Fälle gleich 7 ist, rechne ich das aus.

0,205 und 0,807. Ein gewichtetes Mittel. Wahrscheinlichkeit mal Wert, Wahrscheinlichkeit mal Wert. Genauso bei diesen stetigen Zufallsgrößen. Der Wert ist die Variabe T. Läuft hier von 0 bis unendlich.

Das soll ich dazuschreiben hier oben für T größer gleich 0. Sonst ist es 0. Das ist mein Wert. Hier die 5 und da die 7. Diese Variabe T kennzeichnet den Wert. Die Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dt. Das ist die Wahrscheinlichkeit.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in so einem Streifen unendlich mal ein Streifen zu landen? So kommen wir auf die Formel für den Erwartungswert. Das ist jetzt einfach nur einsetzen. Also das Integral von 0 bis unendlich T mal jetzt mal die Wahrscheinlichkeitsdichte einsetzen.

Logarithmus von 2 durch Halbwertzeit mal i hoch minus. Logarithmus von 2 durch Halbwertzeit mal i Zeit dt. Das schreit nach partieller Integration. Das haben wir schon mal gemacht, aber kann nicht schaden, das nochmal zu sehen. Das schreit nach partieller Integration. Wenn ich T ableite, wird es schöner.

Und der hintere Term in voller Gänze, ohne das dt, der hintere Term lässt sich leicht integrieren mit dem Faktor davor. Einfach minus e hoch minus Logarithmus 2 durch Halbwertzeit mal die Zeit.

Wenn Sie das hier ableiten, e hoch irgendwas ableiten, bleibt es e hoch irgendwas, das ist was ich da haben will, mal die innere Ableitung. Die innere Ableitung ist minus Logarithmus durch Halbwertzeit. Minus Logarithmus durch Halbwertzeit, genau was ich brauche. Also, partielle Integration in eckigen Klammern, die beiden nicht abgeleiteten.

T mal, diese Stammfunktion hier, T mal minus e hoch minus Ln2 durch Halbwertzeit. Zeit von 0 bis unendlich. Ich nehme das mit dem Gönnchen Salz, dass hier ein Grenzwert eigentlich zu bilden ist. Minus das Integral mit vertauschten Rollen.

Einmal minus e hoch minus Ln2 T einhalb T dt. Minus minus können wir loswerden, ich mache hier einfach einen Plus draus.

Hier vorne, das wird Null werden, das hatte ich auch schon vorgeführt. Wenn Sie unendlich einsetzen im Grenzwert, T mal e hoch minus T, weiter verziert, e hoch minus T wird gewinnen. Null, wenn Sie Null einsetzen, Null mal irgendwas Endliches. Hier vorne, der wird Null werden.

Und hier hinten, ganz normal integrieren, eine Stammfunktion zu den hier, wieder von der Sorte e hoch minus Ln2 durch Halbwertzeit, mal die Zeit. Und der Art muss das sein. Wenn Sie hier ableiten, stellen Sie fest, ganz nicht ganz sein. Ich muss die innere Ableitung noch wieder rückgängig machen, also minus Halbwertzeit durch Ln2 brauche ich da vorne.

Und jetzt stimmt es. Wenn ich jetzt ableite, e hoch irgendwas ableiten, äußere Ableitung bleibt e hoch irgendwas. Die innere Ableitung, Minusvergründung durch Halbwertzeit, wird hier von rückgängig gemacht in den Grenzen von Null bis Unendlich. Wenn ich den Grenzwert bilde mit unendlich hier e hoch minus etwas,

was unendlich wird, fliegt es raus. Das Einzige, was übrig bleibt, ist Minus Halbwertzeit durch Logarithmus von 2, mal, wenn ich unendlich einsetze, kommt Null raus, minus Null einsetzen, e hoch minus Null ist minus 1,

ist also die Halbwertzeit durch den natürlichen Logarithmus von 2. Hatten wir schon mal. Das ist der Erwartungswert der Lebensdauer. Die mittlere Lebensdauer ist nicht die Halbwertzeit, hatte ich schon mal vorgeführt. Der zweite Teil, jetzt haben wir den da hinten.

Der zweite Teil. Was ist der Erwartungswert vom Quadrat der Lebensdauer? Erwartungswert vom Quadrat der Lebensdauer. Ich möchte jetzt diese Werte mitteln. T Quadrat. Das Quadrat der Zeit möchte ich mitteln.

Vielleicht nochmal zum Beispiel, was hatte ich eben? Wenn in 80 Prozent der Fälle der Wert 5 rauskommt und in 20 Prozent der Fälle der Wert 7 rauskommt, ich frage aber nicht nach dem mittleren Wert, sondern nach dem mittleren Wert des Quadrats. In 0,8 Prozent der Fälle kommt 25 raus als Quadrat,

und in 20 Prozent der Fälle kommt 49 raus als Quadrat. Dann bilde ich dieses gewichtete Mittel. T Quadrat. Den Wert quadrieren mal die Wahrscheinlichkeit aufsummiert. So muss das aussehen. So kriegen Sie den Erwartungswert vom Quadrat.

Nicht den Erwartungswert als solchen quadrieren. Das sehen Sie schon hier, dass das nicht funktionieren kann. Der Erwartungswert vom Quadrat wird im Allgemeinen nicht das Quadrat vom Erwartungswert sein, sonst steht da einfach 0. Das klappt nur, wenn die Zufallgröße, die ich da habe, überhaupt nicht streut. Wenn die überhaupt nicht streut, wenn diese beiden Werte hier gleich sind,

wenn Sigma gleich 0 ist, dann ist in der Tat der Erwartungswert vom Quadrat gleich dem Quadrat vom Erwartungswert. Aber das ist sehr atypisch. Das wird hier nicht der Fall sein. Die Lebensdauer streut ja massiv. Das ist ja nicht ein einziger scharfer Wert. Wir haben eine ganz heftige Standardabweichung.

Das will ich also ausrechnen. P von T, wie wir es hatten. 0 bis unendlich, T quadrat. Und P von T war der Logothmus von 2 durch die Halbwertzeit mal E hoch minus den Logothmus von 2 durch die Halbwertzeit mal TDT.

Hier vorne ableiten, damit es einfacher wird. Wird 2T. Den hier integrieren, das wissen wir jetzt schon, über den hier integrieren, das wurde ja super billig. E hoch minus Logothmus von 2 durch Halbwertzeit mal T.

Das macht in den eckigen Klammern die beiden nicht abgeleiteten. T quadrat mal E hoch minus. Ich habe ein Minus vergessen da. Da habe ich ein Minus vergessen. T quadrat mal minus E hoch minus Ln2 durch T. Das steht in den eckigen Klammern.

Minus. Und jetzt kommen die vertauschen Rollen. 0 bis unendlich. 2 mal T. Mal Minus. Minus, Minus. Ich mache ja sofort einen Plus hin. E hoch Ln2 durch T.

Minus. Hier vorne der geht wieder weg. Wenn ich 0 einsetze. 0 mal minus 1. Wenn ich unendlich einsetze, gewinnt die E-Funktion gegen das T quadrat. Das vorne wird 0 werden. Und den hier hinten,

den hatten wir eigentlich gerade schon. In gewisser Weise. Das ist der Trick. Den hier hinten hatten wir ja fast schon. Wenn Sie den Faktor 2 rausnehmen, steht da T mal E hoch minus bla. Wo sind wir? T mal E hoch minus bla.

Dann habe ich nur noch diesen Faktor hier. Wenn ich den noch dazudichte, den logarithmus von 2 durch die Halbwertzeit, habe ich eigentlich wieder den Erwartungswert. Das hier ist also mehr oder minder der Erwartungswert. Aber ich muss noch ein bisschen garnieren.

Halbwertzeit durch logarithmus 2. Denn der Erwartungswert war ja integral logarithmus Halbwertzeit E hoch minus. Das hebt sich weg. Dann habe ich den da oben. Da habe ich ein bisschen Arbeit gespart. Den hier hatte ich eigentlich schon. Mit so ein paar Konstanten. Aber im Prinzip hatte ich den hier hinten schon.

Und den Erwartungswert, den hatten wir ja auch schon gerade. Was war der Erwartungswert? Der Erwartungswert war Halbwertzeit durch logarithmus 2. Das war Halbwertzeit durch logarithmus 2. Wir kriegen also, das ist 2 mal die Halbwertzeit durch den logarithmus von 2 ins Quadrat.

Das wird rauskommen. Könnte man länger rechnen, aber das hier scheint mir der elegantere Weg. Als können wir einsetzen. Was ist also die Standardabweichung? Standardabweichung. Wurzel aus Erwartungswert vom Quadrat minus Quadrat vom Erwartungswert

wird Wurzel aus. Ohje. 2 mal Halbwertzeit durch logarithmus 2 ins Quadrat minus. Und der Erwartungswert war, was da steht.

Den muss ich quadrieren. Und da steht also Halbwertzeit durch logarithmus von 2 quadriert. Der Erwartungswert ist dieses hier. Halbwertzeit durch logarithmus 2. Das dahinschreiben. Sie sehen, 2 mal dieses Quadrat minus das Ding selbst ist einmal das Ding und die Wurzel draus

ist das, was wir vorher hatten. Das heißt, das ist eine lustige Wahrscheinlichkeitsverteilung über lustig kann man streiten. Aus Sicht der Mathematik ist das eine lustige Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil Sie sehen, dass der Erwartungswert

Halbwertzeit durch den logarithmus von 2 der Erwartungswert ist gleich der Standardabweichung. Halbwertzeit durch logarithmus 2. Bei dieser Lebensdauer habe ich den lustigen Effekt, dass die mittlere Lebensdauer genauso groß ist

wie die Standardabweichung. Und offensichtlich ist das ja auch eine extrem ausgeschmierte Zufallsgröße. Also richtig schwer ungenau. Wenn Sie das als Messung hätten. Sie nehmen 1000 radioaktive Atome und messen jeweils die Lebensdauer.

Dann kriegen Sie ja etwas raus, dass Sie sonst keinem als physikalische Messung verkaufen können, weil wir natürlich sonst bei einer physikalischen Messung sowas haben, etwas, das möglichst scharf gemessen ist. Die Lebensdauer ist extrem ausgeschmiert. Die Standardabweichung ist gleich dem Erwartungswert. Nebenbei passt das auch mit den Einheiten. Weil ich das eben gerade noch gesehen habe,

dass man mit den Einheiten vielleicht auch nochmal schief gehen kann. Das hier ist eine Zeit. Die Halbwertzeit ist eine Zeit. Der logarithmus ist eine nackte Zahl. Hier steht eine Zeit. Und der Erwartungswert, wo sind wir? Der Erwartungswert ist eine Zeit.

Ich habe als Erwartungswert, keine Ahnung, 1000 Jahre. Und als Standardabweichung auch 1000 Jahre. Es schwankt um plus minus 1000. Dann das haut hin von den Einheiten. Das wäre ein bisschen viel für eine Klausuraufgabe. Was ich mir vorstellen könnte,

was natürlich nicht mehr drankommt, weil es jetzt ja schon gerade drangekommen ist. Was ich mir vorstellen könnte, ist, für eine Zufallsgröße dieser Art den Erwartungswert auszurechnen. Mit partieller Integration. Also bis dahin zum Beispiel. Das wäre machbar in einer Klausur als Aufgabe.

Der zweite Teil wäre als Klausuraufgabe schon ein bisschen heftig. Weil man jetzt zwischendurch noch den Erwartungswert als solchen braucht. Würde ich eher nicht machen so große Aufgaben.