Skizzieren Sie den Graphen von x, wird abgebildet auf Sinus von Betrag von x plus Pi halbe. Was wird daraus? Ich würde in folgenden Schritten vorgehen. Wie sieht der reine Sinus aus?

Dann, und das ist vielleicht überraschend, wie sieht der Sinus von Betrag x aus? Und dann als letztes, wie sieht der Sinus von Betrag x plus Pi halbe aus? Die drei würde ich mir angucken. Was passiert mit dem Sinus, wenn ich Betrag x einsetze?

Und jetzt setze ich in diese violette Funktion statt x, x plus Pi halbe ein. Denn das weiß ich, was dann passiert. Wenn ich in eine Funktion statt x, x plus Pi halbe einsetze, das hatten wir schon. Das neue ist, was passiert, wenn ich eine Funktion statt x, Betrag x einsetze? Eigentlich hatten wir das auch schon letztes Mal, zumindest mit der halben Gruppe.

Das sind die spannenden drei Schritte. Man könnte sich oben dreien noch angucken, aber das ist eigentlich nicht spannend. Den Sinus von x plus Pi halbe, das brauchen wir lustigerweise nicht. Ich schreibe es mal dazu, uninteressant.

Können wir noch plotten, aber ist eigentlich nicht hilfreich. Der interessiert mich nicht. Das ist so ein Mischding, das eigentlich gar nicht vorkommt. Der Betrag im Sinus, das kommt vor. Und jetzt setze ich in den Betrag nicht x ein, sondern x plus Pi halbe. Diese beiden Schritte, von schwarz nach violett und von violett nach grün, die sollten Sie hinkriegen.

Das orange hier können wir auch hinmalen, aber das ist gar nicht spannend. Der übliche Sinus, mal das vielleicht auf der y-Achse etwas höher als maßstabsgerecht ist.

2 Pi bis da, Pi bis da, minus Pi, minus 2 Pi. Der übliche Sinus. Sie sehen, ich bin da ein bisschen steiler, weil die Einhaltung auf der y-Achse ein bisschen zu groß ist.

Der übliche Sinus. Wenn Sie in eine Funktion jetzt, nämlich den Sinus, statt x Betrag x einsetzen, heißt das, die Funktion, die rauskommt, hat links dieselben Werte wie rechts. Wenn Sie hier für x minus 42 einsetzen, kriegen Sie den Sinus von plus 42 raus. Die Werte links kriegen Sie, indem Sie die Werte rechts einfach rüberkopieren, spiegelbildlich rüberkopieren.

Ich mache, wenn Sie so wollen, hier mit der violetten Variante den Sinus zu einer geraden Funktion. Für positive x und für 0 kommt dasselbe raus wie vorher, weil aus dem Betrag dasselbe rauskommt wie vorher. Aber für negative x kippe ich einfach die Werte rüber, von der rechten Seite.

Ich ignoriere das Vorzeichen von x. Das heißt also, rechts bleibt er, wie er war, und links wird es das Spiegelbild werden. Ich habe eine gerade Funktion, wenn ich das mache. Wenn ich den Sinusbetrag x von minus dreieinhalb Pi haben will, gucke ich nach bei plus dreieinhalb Pi beim normalen Sinus.

Dadurch wird es spiegelbildlich zur y-Achse, achsensymmetrisch zur y-Achse, eine gerade Funktion. Nächste Schritt. In diese violette Funktion setze ich nicht x ein, sondern setze x plus Pi halbe ein.

Das wissen Sie auch, was passiert, wenn Sie in eine Funktion, die Sie kennen, x plus Pi halbe einsetzen. Sie verschieben das Ding um Pi halbe nach links. Das hatten wir schon als allgemeine Regel gesehen. Wie kann ich hier anwenden? Wie komme ich von der violetten Kurve auf die grüne und Pi halbe nach links verschieben?

Hier ist irgendwo Pi halbe. Bis hier habe ich einen Bogen vom Sinus. Hier habe ich den Bogen vom Sinus wieder rauf. So, und jetzt gibt es hier diese Knickstelle. So, und da geht es weiter. So sähe die grüne Funktion aus, mit so einem Knick innen drin.

Sie sehen, wenn man einmal diese Idee verstanden hat, was da passiert, wenn ich x ersetze durch x plus irgendwas, heißt das, die Kurve geht um das irgendwas nach links. Das können Sie hier anwenden. Ich ersetze das x durch das. Wir können gerade noch einen Sanity-Check machen. Wenn Sie minus Pi halbe einsetzen, hier, wenn Sie minus Pi halbe einsetzen, plus Pi halbe

macht 0, rechnen Sie den Sinus von 0 aus, kriegen 0 raus, wie sich das gehört. Wenn Sie, wenn Sie das Ding falsch herum verschoben hätten, würde es auch immer noch hinhauen mit der 0. Schlechter Sanity-Check.

Gucken wir mal einen anderen Sanity-Check, der vielleicht etwas aussagekräftiger ist. Wenn ich 0 einsetze, habe ich hier Betrag 0 plus Pi halbe, den Sinus von Pi halbe. Sinus von Pi halbe ist eins. Ist eins. Ist eins. Für kleine Werte von eins, stimmt das ungefähr? Da muss eins rauskommen.

An der Stelle stimmt es offensichtlich auch. Wenn Sie falsch herum verschoben hätten, hätten Sie auch immer noch den Ärger. Auch damit würde ich es immer noch nicht feststellen können. Was ich schöner finde als Begründung, warum es nach links und nicht nach rechts verschoben ist, ich erhöhe den Wert von x.

Die Funktion liefert vorher schon die Werte für die höheren x. Sie ist zu früh dran. Dann ist sie offensichtlich nach links verschoben. So, und jetzt noch den letzten hier, den wir gar nicht brauchten. Zur Überraschung, x plus Pi halbe. Ich verschiebe die Sinus-Kurve um Pi halbe nach links.

Die schwarze Kurve um Pi halbe nach links. Rechts keine Überraschung, aber links. Natürlich jetzt die schwarze Kurve nehmen. Das ist schlicht und ergreifend, was Sie kriegen, der Cosinus. Wenn Sie den Sinus um Pi halbe verschieben nach links, kriegen Sie den Cosinus.

Das kann es auch nicht gewesen sein, wir haben ja diese Knickstelle da drin. Was passiert, Frage, was passiert, wenn da steht y, jetzt in Hellgrün, y ist gleich Sinus von Betrag x minus Pi halbe. Das heißt ja, ich nehme die violette Kurve, die von dem Betrag.

In die violette Kurve setze ich nicht x ein, sondern x minus Pi halbe. Die violette Kurve wird also um Pi halbe nach rechts verschoben. Die Hellgrüne hier unten wird also sowas werden. Wenn irgendwer noch irgendwas erkennen kann.

Aber ja, Sie ahnen, worauf ich hinausfühle. Sie nehmen die violette Kurve um Pi halbe nach rechts. Das wäre hier die Hellgrüne mit dem Minus. Selbe Regel, ich nehme den Graph der violetten Funktion. Weil ich jetzt nicht x nehme, sondern x minus Pi halbe in der violetten Funktion,

ist das nach rechts verschieben. Die grüne Funktion ist später dran. Die hat nicht die hohen x-Werte, sondern die hat die x-Werte etwas reduziert. Die ist später dran, die ist nach rechts verschoben. Der Knick ist bei positiven Werten, weil da der Betrag greift. Wenn x gleich Pi halbe ist, sehen Sie, dann wird der Betrag spannend.

Pi halbe minus Pi halbe, wo x gleich Pi halbe ist, das ist gerade die Zone, in der der Betrag den Knick macht. Wenn ich den Betrag von Null bilde, dann wäre das gefährlich. Also wenn x gleich Pi halbe ist. Dies hier muss die Zone für den Knick sein. Nicht auf der anderen Seite.

Eigentlich, das wird mir gerade erst an dieser Stelle plastisch klar. Eigentlich hat man so einen Satz an Regeln. Wenn ich das bilde, x wird abgebildet auf die Funktion von dreimal x. Ich kenne den Graphen der Funktion, was passiert hier. Wenn ich das mache, die Funktion von dreimal x bilden,

was machen Sie mit dem Graphen von f? Genau, das heißt, um Faktor 3 zur y-Achse hin stauchen. Ich schreibe das mal hier so. Wenn Sie das machen mit einer Funktion plus 5 in die Funktion eintragen, was machen Sie dann mit dem Graphen?

Ja, 5 nach links. Und das Lustige ist, das muss ich jetzt ja nur hintereinander anwenden. Wenn ich jetzt habe, x wird abgebildet auf die Funktion von dreimal x plus 5, dann ist das ja. Ich nehme die Funktion an der ursprünglichen Stelle von irgendwas plus 5

und für das irgendwas setze ich danach 3x ein. Dann sehen Sie, in welcher Reihenfolge das passieren muss. Welchen Graphen ich wie verbiegen muss. Was muss ich jetzt wie rummachen? Genau, erst verschieben und dann stauchen um den Faktor 3 in dieser Reihenfolge.

Denn erstmal bilde ich aus meiner Originalfunktion die Funktion sowieso plus 5. Sowieso plus 5 heißt verschieben. Und dann bilde ich aus dieser verschobenen Funktion das mit dem 3x.

Da setze ich in die verschobene Funktion 3x ein und 3x in die verschobene Funktion heißt die verschobene Funktion zu stauchen. Das geht mit allen Funktionen durch. Mit x, wenn Sie es dem x-Wert antun, ist es eben schwer vorzustellen. Wenn Sie es dem y-Wert antun, ist es leichter vorzustellen.

Gucken wir das jetzt nochmal. x wird abgebildet auf dreimal die Funktion. x wird abgebildet auf die Funktion. Funktionswert plus 5 und x wird abgebildet auf dreimal den Funktionswert plus 5. Was passiert da? Was passiert hier oben?

Dreimal f von x, dreifache Höhe, dreifache Tiefe. Also gestreckt weg von der x-Achse um den Faktor 3. Hier, das muss ich nicht mehr sagen, ist klar, um 5 nach oben. Und wenn es um den y-Wert geht, lustigerweise ist die Welt in Ordnung.

Ich nehme meinen y-Wert Faktor 3 weg von der x-Achse und zum Schluss gehe ich 5 nach oben. Da funktioniert es richtig rum. Also das ist erst Faktor 3 von der x-Achse weg und dann um 5 nach oben. Da ist es in der Reihenfolge ganz offensichtlich. Nur innen drinnen ist es komischer.

Also ich setze erst mal plus 5 in meine Funktion. Hier unten, da sollte ich das zeigen. Ich setze erst mal plus 5 ein und dann setze ich noch statt des xes 3x ein. Das wirkt andersrum. Gucken wir uns das gerade mal abstrakt an. Wenn ich weiß, wie meine Funktion f aussieht und jetzt möchte ich dieses plotten.

Die Funktion von Betrag von x plus 3 plus 5. Was machen Sie in welcher Reihenfolge? Jetzt gar nicht zu plotten, weil ich nicht aufgemalt habe, wie die Funktion aussieht. Schreiben Sie mal auf, in welcher Reihenfolge Sie was machen.

Ich schreibe mal die einzelnen Schritte auf, wie ich es mir vorstelle. Absurderweise ist der erste Schritt dieser hier. x plus 5 in die Funktion einsetzen. Dann ist der nächste Schritt Betrag x in diese Funktion einsetzen. Dann ist der nächste Schritt x plus 3 in die Funktion mit dem Betrag einsetzen.

So rum. Wenn Sie wollen, alles die falsche Reihenfolge. Wie ich ausrechne, ist erst plus 3, dann der Betrag, dann plus 5. Erst plus 3, dann der Betrag, dann plus 5. In der Reihenfolge rechne ich das aus. Aber die Wirkung in der Funktion drin ist absurderweise andersrum.

Wir wissen jetzt, wie kommen wir von f von x zu f von x plus 5. Das wissen Sie schon. Was passiert mit der Kurve von f, wenn ich statt x x plus 5 einsetze? Ich verschiebe um 5 nach links. Das hatten wir ja gerade gesehen. Wo ist sie? Hier ist sie.

Wenn ich x plus 5 einsetze in meine Funktion, verschiebe ich um 5 nach links. So, jetzt habe ich eine neue Funktion. Dies hier ist eine neue Funktion. Und da setze ich nicht x ein, sondern in meine neue Funktion, die ich durch verschieben gewonnen habe, setze ich Betrag x ein.

Was passiert dem Grafen dieser neuen Funktion? Aus dieser verschobenen Kurve machen Sie eine gerade Funktion. Ich weiß jetzt nicht, wie ich das malen soll. Sie kopieren die Werte von rechts nach links sozusagen. Rechts dieselben Werte wie links.

Spiegelbildlich. Spiegeln an der y-Achse. Das passierte. Ich nehme die um 5 verschobene Kurve und dann spiegele ich an der y-Achse, sodass links dieselben Werte vorkommen wie rechts. Sie sehen ja hier, das ist eine gerade Funktion. Positives x, negatives x ist dem egal. An dieser Stelle habe ich eine gerade Funktion. Die ist symmetrisch an der y-Achse.

Also erst die Kurve um 5 nach links und dann eine gerade Funktion daraus machen, indem Sie die linke Seite vergessen und die rechte rüber spiegeln. Und der letzte Schritt. Ich ersetze x in meiner neuen Funktion, die jetzt spiegelsymmetrisch ist, durch x plus 3. Ich will sagen, diese spiegelsymmetrische Funktion verschiebe ich um 3 nach links.

Das ist der letzte Schritt. Eine neue Funktion abhängig von x. Dieses x ersetze ich durch x plus 3. Ich verschiebe nochmal um 3 nach links. Skizzieren Sie das mal ganz, ganz vorsichtig für folgende Funktion.

F von x ist gleich x hoch 3. Wie wird das Ergebnis aussehen? Ganz vorsichtig skizziert. Das werden eher große Werte, aber egal. Im Prinzip, wo kriege ich Knicker? Wo habe ich Nullstellen? Ich starte also mit y ist gleich x hoch 3.

Sie haben alle gemerkt, man braucht sehr viel Platz auf der y-Achse. Ich mal die mal so, die y-Achse. Sie ist ein bisschen gestaucht heute. Irgendwo hier ist vielleicht die 1.

Und hier ist die 1 so, die kubische Parabel. Sowas, nicht gelungen, aber sei es so, damit starte ich. Jetzt kommt der nächste. Ich bilde x plus 5 hoch 3. Y ist gleich x plus 5 hoch 3.

Das heißt, ich nehme die Kurve meiner kubischen Parabel und schiebe sie um 5 nach links. 1, 2, 3, 4, 5. Was weiß ich? Hier ist vielleicht die 5.

Minus 5 schreibe ich natürlich drunter sinnvollerweise. Wenn Sie minus 5 einsetzen, ist ein Et-Check. Minus 5 plus 5 hoch 3 macht Null. Sehr plausibel, dass ich nach links verschoben habe. Jetzt kommt der spannende Moment. Y ist gleich Betrag x plus 5 hoch 3.

Mir ist das Vorzeichen von x egal. Ich nehme das, was ich für positive x habe, auf der violetten Kurve und kopiere das für negative x und habe dann die grüne Kurve auch. Für x, die positiv sind, Null und positiv, ist die violette Kurve gleich der grünen Kurve.

Die Werte übernehme ich. Das ist heikel. Also hier ab 125, ganz gemein, hier ab 125 geht es ja wie wild aufwärts. Diesen Teil ab 125 aufwärts, den ändere ich nicht für die grüne Kurve.

Die violette Kurve hier für positive x und x gleich Null ist gleich der grünen Kurve. Das x und x-Betrag ist dasselbe. Hier ist die grüne Kurve dasselbe wie die violette. Und für negative x, kriege ich die grüne durch spiegeln der violetten an der y-Achse.

Das heißt, die grüne geht hier so ab. Das heißt, die Funktion verschwindet doch sehr weit oben. Ich habe nicht mehr so viele Chancen auf Null stellen. Es wird nicht, nicht, nicht hier gespiegelt. Es wird an der y-Achse gespiegelt. Sanity check. Das hier ist eine gerade Funktion.

Das Vorzeichen von x ist egal. Wenn Sie hier spiegeln würden, hätten Sie keine gerade Funktion. Das käme auf das Vorzeichen von x an. Auf der rechten Seite kriegen Sie ganz was anderes als da. So um also. Der Teil der violetten Kurve rechts von der y-Achse bleibt erhalten für die grüne. Und wird gespiegelt an der y-Achse.

Und dann habe ich die grüne Kurve insgesamt. Eine gerade Funktion. Der letzte Schritt war plus drei. Y ist gleich Betrag x plus drei. Plus fünf hoch drei. In die grüne Kurve, in die Funktion mit der grünen Kurve, mit dem grünen Grafen setze ich nicht x ein, sondern x plus drei.

Und das heißt, die Kurve wird um drei nach links verschoben. Dieses Ding sitzt dann jetzt hier auf der Höhe 125. Aber der Knick sitzt bei minus drei. Und dann geht die Funktion hier ziemlich wild in die Höhe. Und sie ist symmetrisch um diese Stelle hier.

X gleich minus drei. Was Sie an dem Betrag sehen können. Wenn Sie minus 3,5 einsetzen. Hier drin steht dann minus 0,5. Kriegen Sie das selber als wenn Sie minus 2,5 einsetzen. Hier drin steht dann plus 0,5. Das Ergebnis hier muss um x gleich minus drei symmetrisch sein.

Die fünf ist nicht weg. Schauen Sie sich vor, da stünde nicht plus fünf, sondern plus zehn. Dann würde ich hier oben nicht auf der Höhe 125 sein, sondern auf der Höhe 1000 sein. Zehn hoch drei. Also die fünf ist nicht weg. Sie ist nur auf überraschende Weise in diesem Bild irgendwo verschwunden.