Das Newton-Verfahren einmal in Aktion. Wenn ich so eine ganz fiese Gleichung habe, wie Kosinus von x soll sein, x². Ihr seht, da ist nicht ein Polynom gleich Null. Die quadratische Gleichung kann ich mit Lösungsformel machen. Die kubische Gleichung, die Gleichung vierten Grades, geht alles noch mit Biegen und Brechen, mit Lösungsformel.

An dieser Stelle gibt es keine Lösungsformel. Der Kosinus soll gleich x² sein, aber es gibt das Newton-Verfahren, was das sehr effizient lösen kann. Man muss ein bisschen vorsichtig sein, wenn man es programmiert, aber zu Fuß sollte man die Spezialfälle dann

schnell finden. Wie wenden Sie das Newton-Verfahren an, um diese Gleichung zu lösen? Das Newton-Verfahren sucht Nullstellen. Hier suche ich keine Nullstelle. Der erste Schritt wird sein, das hier in eine Nullstellen-Suche um zu formen. Zum Beispiel, dass ich sage,

Kosinus von x minus x² gleich Null. So kann das Newton-Verfahren was damit anfangen. So wird jetzt eine Nullstelle gesucht. Ich habe eine Funktion, Kosinus minus x², von der suche ich eine Nullstelle. Das ist nicht die einzige Möglichkeit. Sie können auch eine Nullstelle von der Funktion suchen oder eine Nullstelle von der Funktion oder was auch immer, aber das ist offensichtlich die billigste Möglichkeit,

eine Nullstelle zu suchen. Das kann das Newton-Verfahren. Und dabei geht es so vor, ich rate einen Wert in der Nähe einer Nullstelle, das überlegen wir uns gleich noch, dann lege ich eine Tangente an meine Funktion, das hier auf der linken Seite ist meine Funktion, und gucke, wo die Tangente

eine Nullstelle hat. Und da mache ich weiter. An der Stelle lege ich eine Tangente an meine Funktion und gucke, wo die eine Nullstelle hat, und so weiter, und so weiter. Das macht das Newton-Verfahren. Das gibt es ja auch in einer einfachen geschlossenen Formel dann, wie man das veranstalten kann. Also ich wähle einen Startwert,

x1 oder x0, wie auch immer, ich wähle einen sinnvollen Startwert in einer plausiblen Größenordnung, dicht bei der erwarteten Nullstelle, und dann kann ich von da aus weiter rechnen. Wie gibt es den nächsten? Und das war der vorherige Wert, minus

Verhältnis, Funktionswert durch Ableitung an der vorherigen Stelle. Das buchstabieren Sie mal aus. x3 wird dann mit derselben Formel funktionieren, und so weiter. Ich habe einen Startwert, und dann rechne ich

immer wieder dieselbe Rechenvorschrift mit den neuen Werten, die ich rauskriege, solange bis mir die Genauigkeit reicht. Wie kommt man auf den Startwert? Ja, Sie gucken sich an, in welcher Größenordnung denn Sie da ungefähr arbeiten müssen. Der Cosinus sieht so aus.

Hier ist x gleich was beim Cosinus. Wo bin ich da bei x? Richtig, da bin ich bei Pi halbe. Hier bin ich bei, oh, die Zeichnung ist ganz miserabel, hier bin ich bei 2 Pi. Hier bin ich bei 2 Pi, hier bin ich bei Pi halbe, will sagen 1,5, 1,6.

Ach, ich schreibe Pi halbe dran. Komme ich da nicht in die Bedrohliche. x² geht hier bei 1,1. So, hier ist die Höhe 1. Bei 1,1 geht x² so rauf. x² und hier den Cosinus. Denn da muss es einen Schnittpunkt geben

zwischen den beiden. Auf der anderen Seite wird es auch einen geben, aber wenn ich hier in der Größenordnung anfange, werde ich hoffentlich diesen Schnittpunkt dann finden. Und Größenordnungstechnisch, was würden Sie sagen?

Bei 1 wäre ich hier schon auf der Höhe 1. Es muss weniger sein als 1. Vielleicht nicht 4, weil die Parabel ja relativ steil wird hier vor der 1 und die Cosinus-Funktion, die ja sehr lange auf der 1 bleibt. Ich würde jetzt einfach mal aus dem Bauch sagen, nehmen wir mal 0,8 als Startwert.

Es muss ja nur Pi mal Daumen stimmen, das ist das Schöne, wir müssen nicht zu dicht dran liegen. So, aber das hier jetzt nochmal, da ergänzen Sie mal die richtigen Formeln hier für das Newton-Verfahren. Ich kann mich erinnern, beim Newton-Verfahren Es muss irgendwie Funktion durch Ableitung oder umgekehrt sein. Funktion durch Ableitung oder Ableitung durch Funktion.

Was von den beiden passt einheitstechnisch? Funktion durch Ableitung oder Ableitung durch Funktion. Wie kann ich das mit Einheiten überlegen, was es von den beiden sein muss? Wenn Sie sich vorstellen, Sie haben x in Sekunden und y in Metern. Die Funktion ist dann y-Wert, Meter.

Unten steht die Ableitung der Funktion, Meter pro Sekunde. Meter durch Meter pro Sekunde haut hin. Der ist okay. Wenn Sie es andersrum machen, Ableitung durch Funktion steht oben Meter pro Sekunde und unten steht Meter. Sie teilen Meter pro Sekunde durch Meter, kriegen eins durch Sekunde raus. Das wäre nicht okay.

Ich muss Sekunden rauskriegen. Meter durch Meter pro Sekunde. Das haut hin. Es ist die Funktion durch ihre Ableitung. Wie das zustande kommt, hatte ich in den alten Videos erklärt. Tangente an die Funktion und Schrittpunkt der Tangente mit der x-Achse. Aber es

ist die Funktion durch ihre Ableitung. Das weiß man dann auch irgendwann einfach auswendig. Cosinus von x minus x² durch die Ableitung. Die Ableitung von Cosinus ist minus. Hier natürlich x1, x1. Die Ableitung von Cosinus ist der Minus Sinus und die Ableitung von Minus x² ist Minus 2x.

Und hier unten geht es genauso weiter dann. Den Cosinus von x2 minus x2² durch Minus Sinus von x2 minus 2x2 und so weiter. Gucken wir uns gerade nochmal

in OpenOffice an. Wir starten mit 0,8 und für den nächsten nehme ich dann diese 0,8 minus diese 0,8 minus einen Bruch. Im Zähler steht Cosinus minus Quadrat.

Cosinus von dem alten Wert minus das Quadrat von dem alten Wert. Und unten steht im Nenner Minus Sinus minus das Doppelte.

Minus Sinus vom alten Wert. Minus Sinus vom alten Wert. Minus 2x den alten Wert.

Okay. Und so weiter. Das immer wiederholen. Immer dieselbe Rechnung. Wollen wir mal ein paar Nachkommastellen und ein bisschen mehr Platz. So sieht das aus. Also ich starte mit 0,8. Im nächsten Schritt geht er da hin, da hin, da hin. Und hier sieht man, da ändert sich nichts mehr.

Die Stellen scheinen zu stimmen. 0,8, 2, 4, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3. Da treffen sich Cosinus und das Quadrat. Auf der anderen Seite bei minus 0,8 und so weiter gibt es natürlich auch noch einen Schnittpunkt.