Jetzt kommt mal etwas, das tatsächlich dann später bei der Exponentialfunktion auftaucht. 1 plus x durch 10 hoch 10, schreiben Sie das mal exakt hin, die ersten Terme zumindest.

Die ersten, ich muss gerade überlegen, hoch 0, hoch 1, hoch 2, hoch 3, ja. Die ersten Terme davon, die ersten vier Terme, wie sehen die aus? Wenn Sie das mit Binomialkoeffizienten auseinandernehmen, diesen Ausdruck a plus b hoch 10, wie sehen die ersten vier Terme aus?

Und falls Sie die exakt haben dann irgendwann, versuchen Sie die mal schöner zu schreiben, etwas zu runden und schöner zu schreiben. Was wird das dann? Also das mit der Kombinatorik auseinandernehmen.

Ich schreibe diesen Ausdruck, 1 plus x zehntel, zehnmal hintereinander. Und das Zehn, wir hören mal, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ja. Das schreibe ich zehnmal hintereinander, multipliziere es aus. Natürlich nicht echt, sondern ich tue nur so als ob und rate dann richtig, was das Ergebnis ist.

Ich kann erst mal aus allen diesen Klammern, da steht hier mal 1 plus x zehntel, überall die 1 nehmen, das gibt da vorne eine 1, schön, plus. Dann kann ich aus einer von den Klammern x zehntel jeweils nehmen. Zum Beispiel aus der ersten Klammer x zehntel nehmen und lauter 1.

Oder aus der zweiten Klammer x zehntel, da vorne die 1, 1, 1, 1 und so weiter. Dafür habe ich zehn Möglichkeiten. Das kürzt sich super schon mal weg, 1 plus x. So, jetzt kommt der spannende Teil. x zehntel kann ich ja auch in zweien der Klammern wählen.

In zweien der Klammern, der ersten und der oder der und der und so weiter. Und die übrigen, aus den übrigen wähle ich die 1. Dann habe ich immer x zehntel ins Quadrat und jetzt muss ich zählen, wie viele Möglichkeiten habe ich aus zwei von zehn Klammern das x zehntel zu wählen.

Das hatten wir ja schon, zehn über zwei. Aus zehn verschiedenen wähle ich zwei verschiedene ohne Rücksichtigung der Reihenfolge. Eine Loptung mit zehn Kugeln in der Trommel und daraus ziehe ich zwei ohne Rücksichtigung der Reihenfolge. Die zehn Kugeln in der Trommel sagen, nehme ich aus der ersten Stelle, zweiten Stelle und so weiter.

Und die zwei Kugeln, die ich ziehe, sind dann die konkrete Anweisung. Nehme ich dieses oder jenes? Welche Stelle? Zehn über zwei. Oder Sie machen das nochmal zu Fuß, so hatte ich es ja vorgeführt. Zehn Möglichkeiten die erste Stelle zu bestimmen. Dann bleiben neun Möglichkeiten für die zweite Stelle. Die Reihenfolge ist mir aber egal, deshalb durch zwei.

Das hier ist ja zehn mal neun durch zwei. So, bis dahin. Na gut, wenn man das hat, ist ja klar, wie es weitergeht. Wenn ich hoch drei haben will, wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Stellen zu bestimmen?

Wähle drei Klammern aus den Zehnen und daraus nehme ich die X Zehntel. Und aus den übrigen Klammern nehme ich die Einsen. So viele Möglichkeiten.

Das wären also zehn Möglichkeiten für die erste Klammer, neun für die zweite, acht für die dritte Klammer. Aber die Reihenfolge ist mir egal durch drei Fakultät. Hier hätte ich auch zwei Fakultät schreiben können. Das ist dasselbe, zwei Sachen anordnen. Zwei Fakultät ist zwei. Hier ist drei Fakultät nicht mehr drei, das ist sechs.

Und so geht das weiter. Ich wollte den letzten noch hinschreiben, plus und so weiter. Und der letzte wäre eben, was steht dann im Binomial-Koeffizienten? Zehn über zehn, genau, und das ist eins. Und X durch zehn hoch zehn.

Ich wähle X durch zehn aus allen zehn Faktoren. Und nirgendwo die Eins. X durch zehn hoch zehn. Und zehn über zehn ist natürlich schlicht und ergreifend eins. Den Koeffizienten brauchen Sie gar nicht hinzuschreiben. Sie wählen X Zehntel aus jeder Klammer, ist eine einzige Möglichkeit.

Wenn X eine Zahl unter zehn ist, oder sagen wir zwischen minus zehn und plus zehn, dann ist X Zehntel hoch zehn, ist wahrscheinlich nicht gerade sehr bedeutend. Der Anfang hier vorne, der ist spannender. Eins plus X plus und so weiter. Gucken Sie sich den Anfang nochmal an. Hier haben wir es schon auseinanderbuchstabiert.

Eins plus X plus. Was wird das eigentlich in guter Näherung? Der nächste und dieser hoch drei. Was wird das eigentlich in guter Näherung? Gucken Sie sich das nochmal an. Wenn ich das jetzt so wie mal Daumen hinschreiben wollen würde. Die ersten vier Terme. Eins, zwei, drei, vier. Die ersten vier Terme. Was werden die ungefähr werden?

Ich schreibe nochmal das exakte Ding hin. Das ist ja jetzt gerade etwas unübersichtlich geworden. Eins plus X plus zehn mal neun halbe. Mal X Quadrat durch zehn mal zehn.

Plus zehn mal neun mal acht durch drei Fakultät. Mal X hoch drei durch zehn hoch drei. Und so weiter. Wenn man jetzt ein bisschen großzügig ist, sieht man zehn. Erstmal muss man gar nicht großzügig sein.

Zehn gegen zehn kürzen, okay. Neun gegen zehn. So wie ich kürze, können wir auch neun gegen zehn kürzen stehen. Nicht so ganz, aber ungefähr. Das selbe hier. Zehn mal neun mal acht. Zehn mal zehn mal zehn. Also ungefähr steht da eins plus X plus X Quadrat halbe.

Plus X hoch drei durch drei Fakultät. Plus und so weiter. Nicht exakt, aber schon halbwegs brauchbar. Wenn ich hier nicht hoch zehn genommen hätte. Durch zehn. Sondern sagen wir durch zehn Millionen.

Wenn ich hier hoch zehn Millionen genommen hätte. Wäre der Fehler nicht so groß. Hier stünde zehn Millionen. Hier stünde zehn Millionen minus eins. Und so weiter. Und hier stünde zehn Millionen mal zehn Millionen. Der Fehler wäre nicht so gravierend. Je größer die Zahl da ist. Hoch die ich nehme und durch die ich teile. Je größer die Zahl da ist, umso besser wird das.

Und das machen wir später mal bei der Exponentialfunktion. Dieses hier. Mit eins plus X durch zehn Millionen. Und hoch zehn Millionen. Ist schon halbwegs genau E hoch X. Das hier wird nachher die Exponentialfunktion. E hoch X. Und dieses hier wird einfach eine andere Art. Dasselbe hinzuschreiben.

Die Exponentialfunktion hinzuschreiben. Eins plus X plus X Quadrat halbe. Plus X hoch drei durch drei Fakultät. Plus X hoch vier durch vier Fakultät. X hoch fünf durch fünf Fakultät und so weiter. Das sind nachher zwei Arten. Die Exponentialfunktion hinzuschreiben. E hoch X. Und hier sehen Sie schon. Andeutungsweise warum das dasselbe werden muss.

Ich werde das auch gar nicht weiter begründen. Dann später. Man guckt sich diese Rechnung an. Das reicht mir dann eigentlich auch um zu sagen. Wenn ich dieses hier jetzt bilde. Mit immer größeren Zahlen. Statt der zehn. Immer größere Zahlen einzusetzen. Eins plus X durch N hoch N. Sowas wird es dann nachher werden. E hoch X ist gleich der Limes. Wenn das schon einer gesehen hat. Der Limes.

Eins plus X durch N hoch N. Das wird es nachher werden. Wenn ich das mache. Statt der zehn immer größere Zahlen einzusetzen. Wird es zum Schluss dieses hier werden. E hoch X. Alternativ ist dann. Eins plus X plus X Quadrat halbe.

Plus X hoch drei. Durch drei Fakultät. Plus und so weiter. Irgendwo kommt dann auch X hoch 42. Durch 42 Fakultät. Plus und so weiter. Das ist dann eine alternative Schreibweise. Für die Exponentialfunktion. Und das ist die, die man auch dann vernünftig benutzen kann. Um die Exponentialfunktion auszurechnen. Diese andere Schreibweise hier.

Wird die Schreibweise sein. Mit der Mathematiker dann zeigen. Was die Exponentialfunktion für nette Eigenschaften hat. Wie die es zum ausrechnen. Eher eine Katastrophe. Das ist auch wieder eine Anwendung. Von den Binomialkoeffizienten. Dass es da den Zusammenhang gibt. Ich schreibe das nochmal mit den netten Summenformeln auf.

Einige kannten das schon. Ich vermeide diese Summenformel eigentlich. Weil ich glaube, dass die eher irritieren. Als dass die helfen. Ich summiere über K. Von 0 bis 10. 10 über K. X durch 10 hoch K. So sieht das dann mit so einer Summenformel aus.

Nehme alle Zahlen K. Von 0 bis 10 in einer Schritte. Schreibe diesen Ausdruck auf. Und setze jeweils das K ein. Also mit diesem Monster. Das sieht ja wirklich professionell aus. Wenn ich nicht so schmieren würde. Dieses Monster hier meint. Setze K gleich 0 ein.

Also 10 über 0. X zehntel hoch 0. Plus setze K gleich 1 ein. 10 über 1. X zehntel hoch 1. X plus und so weiter und so weiter. Der letzte heißt. Setze 10 ein. 10 über 10. Mal X durch 10 hoch 10.

Das Summenzeichen erlaubt einfach hier. Was hinzuschreiben. Ohne die drei Punkte. Ich persönlich finde die drei Punkte deutlich freundlicher. In der Formelsammlung steht es nicht mit den drei Punkten. In der Formelsammlung steht es mit dem Summenzeichen. Also dieses Summenzeichen heißt. Summiere.

Von K gleich 0 bis 10. K gleich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. In einer Schritte. Das was da hinten steht. Wir fangen an mit 0. 0 einsetzen für K. Dann kommt als nächstes 1. Beziehungsweise bei der Summe ist die Reihenfolge ja egal. Aber man wird als nächstes typischerweise das mit 1 aufschreiben. Mit 2 und so weiter. Und zum Schluss das mit 10 aufschreiben.

Das ist das ganze kompakt. Aber etwas unübersichtig. Wenn Sie mich fragen. Und die allgemeine binomische Formel geht natürlich so auch. A plus B. In Klammern ins Quadrat. Das ist dann die allgemeine binomische Formel. A plus B. In Klammern ins Quadrat hoch 3.

Oder hoch N dann gerne. A plus B in Klammern hoch N. Die allgemeine binomische Formel. Summiere. Von K gleich 0 bis N. N über K. A hoch K mal B hoch N minus K. Das wäre die binomische Formel aus der Formelsammlung. Wo Sie dann überhaupt nicht mehr verstehen können, wie das denn mal zustande gekommen ist.

So kam es zustande. Schreibe dieses Produkt N mal hintereinander. Und jetzt summiere alles Mögliche auf, das du kriegst. Wenn du aus K von den N-Klammern das A wählst. Das sind N-Klammern hintereinander.

Aus K von den N-Klammern wähle ich das A. Aus den übrigen Klammern. Das sind N-K, die übrig bleiben. Wähle ich das B. Und dann frage ich mich, wie oft kommt das vor? Dass ich aus den N-K wähle. N über K. Da kommt der Binomialkoeffizient her. Ich hatte den hier übrigens eben nicht hingeschrieben.

Aus 10 null zu wählen. Eine Möglichkeit. Aus 10 in 1 zu wählen. 10 Möglichkeiten. Das muss man ja im wahren Leben hier nicht mit Binomialkoeffizient hinschreiben. Man weiß, das vorne ist 1. Und das hier ist 10. Was soll ich das so monströs hinschreiben? Falls sich jemand wundert, dass in der Formelsammlung was anders steht. Alternativ.

Kann man dasselbe auch schreiben. Als Summe K gleich 0 bis N. N über K. A hoch N minus K. B hoch K. Warum ist das dasselbe? Stichwort Kommunitativgesetz. Gefällt mir am besten. Kommunitativgesetz für die Addition. Ob Sie hier A plus B rechnen oder B plus A.

Muss doch egal sein. Wenn ich A gegen B vertausche, muss dasselbe rauskommen. Links A gegen B vertauschen. Es muss dasselbe rauskommen. Rechts A gegen B vertauschen. Dann muss immer dasselbe rauskommen. Wenn Sie da A gegen B vertauschen. Haben Sie B hoch K. A hoch N minus K. B hoch K. A hoch N minus K. Das muss symmetrisch sein.

Was einen lehrt, dass die Binomialkoeffizienten auch symmetrisch sind. Das wissen Sie schon. Offensichtlich sind die symmetrisch. Ob Sie von links oder rechts anfangen, ist Ihnen egal.