Ich stelle eine Aufgabe, die wahrscheinlich zu kompliziert ist. Wir probieren das in Partnerarbeit. Ich gehe herum und gucke wo man es scheitert. Dann erzähle ich noch ein bisschen mehr. Ich gehe weiter herum. Sie arbeiten weiter. Irgendwann werden wir zusammengerauft haben.

Ich hoffe, dass dann nach 20 Minuten oder so eine Lösung für die erste Aufgabe da ist. All das, was ich hier vorne erzähle, werde ich weiter mit schneiden. Dann können Sie es zu Hause nachgucken. Die Lösung wird dann zu Hause verfügbar sein. Und ich habe in den Folgesemestern eine Aufgabe mehr. Also, folgende Aufgabe.

Rektorrechnung möchte ich ja auf die Schnelle mit Ihnen wiederholen. Zwei Geraden in dreidimensionalen. Schreibe ich schon R3. Wenn ich ganz dreist wäre, würde ich sagen, R3. Ich schreibe mal hier zwei Geraden in 3D. 3D kennen Sie vom Fernsehen oder vom Kino.

Das ist dann leichter. Zwei Geraden in dreidimensionalen. Und zwar, ich male dich jetzt einfach mal dreist ein. Irgendwie sollen diese Geraden in dreidimensionalen laufen. So ein Prinzipbild, wie es aussehen soll. So wird es vielleicht nicht aussehen, wie es aussehen soll.

Die eine Gerade soll durch den Punkt 5, 3, 1 gehen. Und durch den Punkt 6, 5, 4 gehen. Zwei Punkte auf dieser Geraden. Und die andere Gerade soll durch den Punkt 4, 3, 2 gehen. Und durch den Punkt 2, minus 1, minus 4 gehen.

Ich würde wahrscheinlich erst mal sagen, was denn das jetzt nun bedeutet. Bevor Sie ganz verwirrt sind. Ein Punkt im Raum, wenn ich ein Koordinatensystem habe im Raum. X, Y, Z, so malen die Physiker das ja gerne, rechtshändig.

X, Y, Z. Und Z so, dass es von der Erde weg zeigt. Wenn ich mein Koordinatensystem so gebaut hätte, mit irgendwelchen Einheiten dann auch. 1, 1, 1. Würde ich diesen Punkt finden. 5 nach rechts. X gleich 5. 5 nach rechts.

3 nach hinten. Y. 3 nach hinten. Und 1 nach oben. So würde ich diesen Punkt finden. 5, 3, 1. X gleich 5. Y gleich 3. Z gleich 1. Diesen Punkt hier, 6, 5, 4, würde ich finden. Vom Ursprung aus. 6 nach rechts. 5 nach hinten. 4 nach oben.

Und so weiter und so fort. So würde das funktionen in 3-dimensional. Sie sehen, man hat praktisch kaum eine Chance mit Zeichnen. Deshalb mache ich das extra 3-dimensional. Wenn ich das jetzt 2-dimensional machen würde, würden Sie das einfach aufzeichnen und wüssten sofort, wie es aussieht. Das kann ja jeder. In 3-dimensionalen ist das ein bisschen ekliger.

5 nach rechts, 3 nach hinten, 1 nach oben. Ja, gute Frage. Mit viel Mühe kann man es zeichnen. Aber man kann nicht wirklich aus dieser Einzeichnung gut erkennen, wie denn die Lage im Raum ist. Ich möchte nämlich, dass wir jetzt rechnen. Sie versuchen mal, mit Hilfe von Lektoren zu rechnen. Nämlich die Frage, sind diese beiden Graden parallel?

So wie ich hier eingezeichnet habe, das war aber sowieso ein Freistil, um da die Punkte draufmalen zu können, wären sie ja nicht parallel. Es sei denn, es ist perspektivisch und hier hinten habe ich einen Fluchtpunkt. Hier ist eine Straße, die ins Unendliche läuft.

Ich weiß nicht, ob die parallel sind oder nicht. Diese Zeichnung hier ist nur reines Schema, hilft uns gar nichts. Sie können es sauber zeichnen, da haben Sie 5 Minuten zu tun. Sie können trotzdem nicht gut etwas ablesen. Versuchen Sie mal, mit Hilfe von Lektoren zu berechnen, ob diese Graden parallel sind oder nicht.

Lektoren, Pfeile. Wo finde ich hier Pfeile? Fangen wir damit vielleicht mal an. Wenn Sie doch mit Lektoren gar nicht so fieren sind, wo könnten Sie hier Pfeile einzeichnen? Und was könnten Sie dann mit Hilfe von Pfeilen feststellen, um zu bestimmen, ob die Graden parallel sind? Was soll ich gerade nochmal sagen, was sind parallele Graden?

Im Zweidimensionalen wären das parallele Graden und das wären zwei parallele Graden im Zweidimensionalen. Die selbe Grade auf sich selbst wäre auch parallel zu sich. Das sind keine parallelen Graden im Zweidimensionalen. Und im Dreidimensionalen ist es ein bisschen schwieriger zu zeichnen,

dass eine Grade ist und die andere im Dreidimensionalen ohne Perspektive so laufen würde, auch offensichtlich parallel. Im Dreidimensionalen eine und noch eine Grade, die da so hinterher läuft, die wären definitiv nicht parallel. Also, wenn Sie wollen, Graden, die in dieselbe Richtung zeigen,

wobei man sich jetzt überlegen müsste, was heißt jetzt Richtung, mit Lektoren ist das leichter zu formulieren. Das möchte ich mal, dass Sie sich das überlegen. Auch wenn Sie bisher vielleicht von den Videos nur einen Schimmer haben oder bei den Videos noch gar nicht geguckt haben, was Lektoren sind, wo kann man hier Pfeile, Lektoren als Pfeile verstanden,

wo kann man hier Pfeile einzeichnen? Und was überlegt man sich dann mit den Pfeilen, um festzustellen, ob diese beiden Graden parallel sind? Probieren wir das mal. Okay, wie zu erwarten, einige hatten das schon in der Schule. Das ist natürlich sofort wie es geht.

Wenn Sie das schon in der Schule hatten, nächste Frage an Sie. Wie kann man dieses Problem mit Hilfe von Vektorprodukt angehen? Wie kann ich mit dem Vektorprodukt feststellen, ob diese beiden Graden parallel sind oder nicht, wenn Sie schon so weit hatten? An alle anderen, einige sagten, in 2D wäre ein Steigungsdreieck,

aber wir sind natürlich jetzt nicht in 2D. Steigungsdreieck in 3D geht nicht wirklich gut. Es kann also nicht mit einem Steigungsdreieck funktionieren. Sie überlegen sich als Allererstes, wie man hier sinnvollerweise mal Vektoren bauen könnte. Pfeile, sagen wir mal ganz dreist.

Wie können Sie hier Pfeile reinlegen? Welche Pfeile bilden Sie, um zu beantworten, ob diese beiden Graden parallel sind? Denken Sie das als Erstes aus. Welche Pfeile wären interessant? Und dann überlegen Sie sich, wie Sie feststellen können, wie Sie mit den Pfeilen feststellen können, ob die Graden parallel sind.

Also darüber mal nachdenken. Welche Pfeile wären interessant für die Frage, ob die beiden Graden parallel sind? So, es gab sehr viele Varianten. Diese Vektoren hier zwischendurch, die helfen offensichtlich nicht wirklich.

Die spannenden Vektoren sind längst der Graden, wo Sie natürlich viele Möglichkeiten haben. Sie können Vektoren so bilden, in meinem Bild drauf, oder Sie können Vektoren runter bilden, die auch noch mal. Diese hier sind die spannenden Vektoren. Von denen möchte ich wissen, ob die parallel zueinander sind.

Rechnen wir erst mal aus. Ich denke, ich rechne erst mal den roten aus. Wenn ich hier unten bei 4... Ich muss mal gerade gucken, was welcher sinnvoll ist, damit ich hier... Ich nehme hier mal die 6 und die 5, damit es leichter verständlich ist.

Hier oben endlich bei x gleich 6 und ich starte bei x gleich 5. Das heißt, dieser rote Vektor hier geht in x eins weiter. Von 5 nach 6, dieser rote hier, eins weiter. In y geht der 2 weiter und in z geht er 3 weiter.

So kann ich mir das vorstellen. x wird von 5 zu 6. Das heißt, dieser Pfeil macht eine Strecke von 1 plus 1 in der x-Richtung. y geht von 3 bis 5. Das heißt, dieser Pfeil macht 2 in der y-Richtung und so weiter. Das hat überhaupt nichts mit meinem Bild hier zu tun, völlig ignorieren.

Ich habe keine Lust, das in 3D zu zeichnen. Guck mir einfach hier die Zahlen an. Von der 1 zu 4, das heißt, der Vektor geht 3 Einheiten in z-Richtung weiter. Die Komponenten des Vektors, 1, 2, 3. Der Vektor geht, in diesem Bild hier, wenn das Koordinatsystem so liegt, der Vektor geht 1 nach rechts, 2 nach hinten, 3 nach oben, wenn Sie wollen.

So ein Vektor. Quer durch den Raum. Den hier kriegen wir genauso, den roten. Also er geht von 4 bis 2. Von 4 bis 2, was ist also die x-Komponente?

Richtig, minus 2. Von 4 auf 2, runter. x muss kleiner werden. Minus 2 ist die x-Komponente. Von 3 auf minus 1, runter. Also ist die x-Komponente, äh, die y-Komponente, minus 4. Und von 2 auf minus 4, runter. 2, 1, 0, minus 1, minus 2 und so weiter.

Minus 6. So sieht das aus. Sehen, das habe ich jetzt auch wieder nicht mit Rezept gemacht, sondern ich habe mir überlegt, was ich eigentlich da veranstalte. x wächst von 5 auf 6. Ich habe mir nicht auswendig gemerkt, das Rezept. Ich muss jetzt den einen vom anderen abziehen.

Aber welcher jetzt von welchem? Das war nämlich bei einem schon falsch rum. Sobald Sie jetzt mit Rezept anfangen, müssen Sie auch auswendig lernen, wenn jetzt der an der Spitze von dem unten abgezogen oder der unten von der Spitze abgezogen. Wenn Sie wissen, was Sie da machen, können Sie da nicht durcheinander kommen. Diese 5 wächst jetzt zur 6.

Also muss der Pfeil 1 in x Richtung plus 1 haben. Und jetzt können Sie nachträglich ablesen. Ah, was wäre das Rezept gewesen, wenn ich es mir richtig gemerkt hätte. Das Rezept wäre gewesen. Sie nehmen die Koordinaten des Punktes an der Spitze minus die Koordinaten des Punktes am Fuß.

Das wäre das Rezept gewesen. Aber ich würde mir lieber nicht das Rezept merken, sondern lieber verstehen, was da passiert. Grundsätzlich für alle Sachen in der Mathematik. So, der Blaue hier. Ob ich den Roten ausrechne oder den Blauen, ist ja relativ schnurz. Was ist der Blaue?

Ich vertausche Anfang und Ende. Das heißt, x wächst nicht mehr um 1, sondern x fällt um 1. y wächst nicht mehr um 2, sondern fällt um 2. Und genau dasselbe für z. Wenn Sie einen Vektor einfach nur umdrehen wollen, selbe Länge, genau die umgekehrte Richtung, alles mal minus 1.

Er geht nicht in x um 1 weiter, sondern er geht in x um 1 runter und so weiter. Oder mit dem Rezept, Sie würden den Punkt an der Spitze nehmen, 5, 3, 1, und den Punkt am Fuß abziehen. 5 minus 6 macht minus 1. 3 minus 5 macht minus 2. Und so weiter. So, und jetzt haben wir noch einen Blauen hier.

Natürlich 2, 4, 6. 2, 4, 6 mal minus 1. So kommen Sie von Punkten zu Vektoren. Und diese Vektoren haben jetzt die Rolle von dem, was einige ganz zu Beginn als Steigung haben wollten. Und Steigungsdreieck geht natürlich in 3D nicht. Das Steigungsdreieck, das habe ich jetzt extra in 3D gemacht,

dass mir jetzt keiner mit Steigungsdreiecken anfängt. Und so handelsüblichen Gratengleichungen. Y ist gleich 2 mal x plus 7 oder sowas. In 3D haben Sie dann ein kleines Problem mit. Aber Vektoren gehen wunderbar in 3D. Und die gehen auch in 4D. In Einstein dazu kommt dann Relativitätstheorie. Und die gehen auch in 10D oder in 20D.

Das ist das hübsche an Vektoren, dass die viel besser funktionieren als das, oder viel allgemeiner funktionieren als das, was man in 2D kennt. Und diese roten und blauen Pfeile hier haben jetzt praktisch die Rolle von so einer Steigung. Das sagt nämlich, der rote Pfeil sagt,

diese Gerade hier, die untere, in meinem Bild die untere, läuft in die Richtung 1, 2, 3. Oder parallel zur Richtung 1, 2, 3. 1, 2, 3 ist ein Vektor parallel zu meiner Gerade. Den kann man da einzeichnen. Den könnte man auch woanders einzeichnen. In der Mathematik behandelt man ja gerne die Vektoren als parallel verschiebbar,

egal wo Sie ihn einzeichnen. In der Physik ist das nicht ganz so. Wenn Sie in der Physik irgendwo eine Kraft haben, die an irgendeiner Stelle angreift, dann ist das schon ein Unterschied, ob die an der Stelle angreift oder an der Stelle angreift. Hab ich irgendwann noch mal erzählt mit gebundenen Vektoren. In der Physik sind die meisten Vektoren gebunden. Also ein bisschen vorsichtig an der Stelle.

In der Mathematik darf man gerne zumindest am Anfang die Vektoren durch die Gegend schieben. Irgendwann, im vierten Semester Mathematik, hat man dann auch in der Mathematik die Vektoren, die man nicht mehr durch die Gegend schieben kann. Egal. Ein Vektor, der eins nach rechts, zwei nach hinten, drei nach oben zeigt,

der sagt mir so etwas wie die Richtung dieser Gerade. Und dieser Vektor hier steht auch für die Richtung der Gerade. Aber Sie sehen, blöderweise ist das nicht eindeutig. Ich könnte den roten hier nehmen, eins, zwei, drei, aber ich könnte auch diesen blauen hier nehmen, minus eins, minus zwei, minus drei. Ich könnte auch, wenn ich ganz wild drauf wäre,

sagen, ob wir nehmen den hier. Wenn Sie den grünen hier schätzen müssten, viel mal in Daumen, was würden Sie hinschreiben als Vektor? Korrekt. Doppelte Länge, selbe Richtung wie der rote. Wenn Sie einen Vektor verdoppeln, in diesem Sinne, verdoppeln Sie auch die Komponenten. Das ist also wirklich ganz dumm zu rechnen. Das wäre sinnvollerweise zwei, vier, sechs dieser Grünen,

egal wo Sie ihn jetzt hinmalen. Zwei nach rechts, vier nach hinten, sechs nach oben bei der südlichen Lage des Koordinatensystems. Also ein Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren, sollte man hinschreiben, zwei mal eins, zwei, drei. Ein Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren soll eben nichts anderes heißen als,

dass man die Länge verdoppelt und die Richtung beibehält. Und in Zahlen heißt das dann, wenn der Vektor original x um eins weitergegangen ist, dann würde jetzt x um zwei weitergehen und so weiter. Alle Einträge, die Komponenten hier, heißen die. Bei den Punkten sind es Koordinaten, wenn man ganz streng ist,

und bei den Vektoren heißen die Komponenten. Alle Einträge werden verdoppelt, wenn ich mal zwei nehme. Wenn ich mal minus zwei genommen hätte, hätte ich oben dann auch die Richtung geändert und würde dann in die andere Richtung zeigen. Ich finde hier minus zwei, minus vier, minus sechs. Aha, interessant. Denn das wissen wir jetzt.

Die spannende Feststellung ist, dass dieser hier, minus zwei, minus vier, minus sechs, ist gleich minus zwei mal eins, zwei, drei. Was sagt uns das? Es ist so einfach, dass es echt schon schwierig ist,

das auszudrücken. Wenn ich das Vielfacher bilde, heißt das ja, ich ändere die Länge, lasse aber die Richtung. Im Endeffekt. Beziehungsweise hier bei dem Minus kippe ich sogar die Richtung um. Doppelte Länge, genau die umgekehrte Richtung. Und das heißt, wenn die eine Gerade so läuft, und das ist dieser Vektor auf der einen Grade,

und die andere gerade läuft so, und das Minus, das Doppelte von dem Vektor so, läuft auf der Graden, dann müssen die beiden parallel sein. Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn sie vielfacher voneinander sind. Das ist das Kriterium für Vektoren. Auch wieder nicht als Rezept auswendig lernen, sondern verstehen. Wenn Sie einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren,

kriegen Sie einen Vektor, der parallel ist, oder mit dem Minus antiparallel. Das müssen wir vorsichtig sein, vielleicht beim Sprechen. Und Sie kriegen alle Vektoren, die parallel zu irgendeinem sind, auf diese Weise. Sie nehmen Ihren Original Vektor, multiplizieren mit allen möglichen Zahlen, dann kriegen Sie alle Vektoren, die zu dem Original Vektor parallel waren.

Wenn die andere Grade, den hier, als Richtungsvektor, so heißt das ja, gehabt hätte, würden Sie sehen, das haut nicht hin. Minus zwei, minus vier, minus sieben ist kein Vierfaches von eins, zwei, drei. Eine Grade mit diesem hier als Richtungsvektor wäre nicht parallel zu den ersten Graden.

Man könnte es noch anders versuchen, insbesondere mit einem Vektorprodukt. Da kommen wir vielleicht im Seminar noch dazu. Ich wollte erst einmal vorsichtig anfangen. Dass Sie noch einmal den Bezug kriegen zwischen Punkten und Vektoren. Also Punkte als solche sind eigentlich erst einmal keine Vektoren.

Wenn ich Punkte voneinander abziehe, dann habe ich Vektoren. Die Differenz zweier Punkte ist ein Vektor. Ich kann an der Stelle noch etwas zu diesem Thema sagen.

Vektoren und Punkte. Das kam schon vor, aber das muss man noch einmal ausführlich sagen. Vektoren und Punkte. Auf jeden Fall ist die Differenz zweier Punkte ein Vektor. Man macht in der Physik auch gerne Punkte selbst zu Vektoren. Das ist für die Mathematiker etwas irritierend,

muss ich sagen. Aber es ist gar nicht gut gäbe. Wenn ich diesen Punkt hier nehme, das kann ich noch einmal wiederholen. In zweidimensionalen, wie Sie sehen. Das wäre in Koordinaten. Welche Koordinaten hat dieser Punkt?

1 nach rechts, 2 nach oben. 1 auf der x-Achse, 2 auf der y-Achse. Ich kann einen Vektor draus machen, den sogenannten Ortsvektor. Mit dem rechnen die Physiker dann gerne. Das wäre der Ortsvektor dazu.

Und der hat welche Komponenten? Das ist wahrscheinlich zu billig, aber kann nicht schaden, das noch einmal zu wiederholen. 1, 2 ist der Ortsvektor dazu. Das nennt sich dann Ortsvektor. Also ich bilde die Differenz von diesem Punkt und dem Ursprung. Und das ist der Ortsvektor.

Diese Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren wird spannend, wenn man mit Perspektive in der Handwerk zu arbeiten. Haben Sie nicht das Problem, es ist eher ein Problem für die Leute, die Computerspiele programmieren, dass man dann ein bisschen aufpassen muss. Insofern, für Sie, weil Sie hauptsächlich dann in der Physik mit so etwas zu tun haben,

sind Punkte und Vektoren doch irgendwie so ungefähr dasselbe. Man nimmt statt der Punkte einfach Ortsvektoren. Die Differenz des Punktes zum Ursprung. Oder Sie sagen einfach, der Punkt liegt aus dem Ursprung, 1 nach rechts, 2 nach oben, und dann haben Sie einen sogenannten Ortsvektor. Auch ein Pfeil.

Und ich glaube, spätestens dann ist klar, diesen Ortsvektor parallel zu verschieben ist irgendwie ein bisschen komisch. Der Ortsvektor gehört an den Ursprung und nirgendwo anders hin.