Eine Mantelfläche eines Rotationskörpers, auch als wieder die Drehung um die x-Achse. Ich nehme mal y ist gleich x hoch 3 halbe als Funktion, wie auch immer, zwischen x

gleich 0 und x gleich 1 wieder, weil ich faul bin. Und die Frage ist, was ist die Mantelfläche bei Drehung um die x-Achse?

Mantelfläche soll heißen, mich interessiert, wie viel Farbe ich sozusagen brauche, um das anzustreichen hier, ohne Deckflächen links und rechts. Die gehören dann nicht dazu, sondern nur der Teil der Oberfläche, der von der Funktionskurve, vom Grafen der Funktion

abgestrichen wird, durchgestrichen wird, durchlaufen wird. Nicht hier der Deckel. Jetzt gibt es hier nur rechts den Deckel, weil wir bei Null anfangen. Also ohne Deckel, das ist die Mantelfläche. Da würde ich auch sagen, denken Sie mal alleine ohne Formelsammlung erst mal über die allgemeine Formel nach. Wie kann ich die hinschreiben? Wieder ein

Integral von a bis b, von a bis b auf der x-Achse dx. Wie sieht das allgemein aus, mit irgendeiner Funktion f? Auch wieder zerdigt in Scheiben, natürlich. Ich muss

mal aufmalen, wie die Scheiben aussehen. Was mir jetzt nicht geht, da kann man sich leicht vertun. Was nicht geht, ist, dass ich wieder Bierdeckel nehme, dass sie die Oberfläche so bilden. Das haut leider nicht hin. Hier mit so Zylindern, die

beachten, dass die noch eine gewisse Steigung haben. Es geht nachher tatsächlich auch um die Ableitung der Funktion. Oh, das ist nicht gelungen. So sieht das aussehen.

So bilde ich diese Scheiben. Das werden Kegelstümpfe werden. Also Kegel, sie nehmen einen Kegel und schneiden davon was ab. Kegelstümpfe werden das werden, hintereinander aufgereiht. Es klappt nicht mit Zylindern. Das mit den Zylindern klappt bei einem Volumen. Wenn ich das Volumen berechne, ist der Teil, der

dann übrig bleibt bei den Zylindern, nachher vernachlässigbar. Das haut hin. Bei der Oberfläche ärgerlicherweise nicht. Wenn ich das angucke, diese Oberfläche hier, die ist ja 40-50 Prozent größer als diese Oberfläche, wenn sie gerade verbinden. Da muss man vorsichtig sein. Also müssen tatsächlich

solche Kegelstümpfe nehmen. Und hier summiere ich jetzt die Oberflächen oder ich sollte vielleicht auch da sagen Mantelflächen von solchen Kegelstümpfen auf. Wie groß ist die Oberfläche von so einem Kegelstumpf? Und der Trick ist, wenn ich hier so einen Kegelstumpf habe, dass ich den zerschnipsele und platt

machen kann. Also die Basteln sind da im Vorteil. Sie ahnen, was ich malen will. Wenn Sie so eine Figur platt aus Papier ausschneiden und kleben diese Seite an diese Seite, haben Sie einen Kegelstumpf. Das ist der Trick.

Diese Fläche hier kriege ich, indem ich diese zentrale Linie nehme. Davon bestimme ich die Länge, mal wie dick das Ganze ist. Das sieht erst so aus, als ob es nicht hundertprozentig stimmt. Lustigerweise stimmt es sogar hundertprozentig. Berechen Sie das mal für jedes Scheibchen, was wir da

haben. Diese Fläche muss da reinkommen. Okay, hier das Grüne. Das ist offensichtlich der einfache Teil. Wenn Sie sich die grüne Kurve hier angucken, wie die im zusammengeklebten Zustand aussieht, sehen Sie, na toll,

das ist der Umfang. Das ist der Umfang. Was ist der Umfang? Zwei Pi mal den Radius. Also der erste Faktor hier ist zwei Pi mal den Radius an dieser Stelle. Die schwierigere Geschichte ist, wie groß denn hier dieses

violette Stückchen ist. Wenn Sie sich das hier angucken, dann sehen Sie, das ist so ein Teil der Kurvenlänge. Hier geht so meine Kurve irgendwie durch. Das ist ein Teil der Kurvenlänge. Denken Sie an dx und dy. Wie lang ist dieses Stückchen meiner Kurve? Dann kriegen Sie es hin. Ja, dasselbe Ding wie eben.

Das dy an der Kurve lang ist das dy doch die Ableitung. Da ist eigentlich meine Funktion gerade. R heißt sie. Die Ableitung. R' von x mal dx. Das ist das dy. Die Ableitung mal dx. Na ja, und jetzt kommt wieder Pythagoras. Wie lang ist

das hier? Das selbe Ding, wie wir es eben hatten. Den jetzt Quadrat und den jetzt Quadrat und daraus die Wurzel. Wird also werden 1 plus Quadrat der Ableitung. Daraus die Wurzel mal dx. Das gehört hier rein. Wurzel 1 plus die Ableitung ins Quadrat. dx. Das habe ich jetzt wieder so halbseiden gemacht. Die

anschauliche Art. Dies hier hinten ist das kleine Stückchen entlang der Kurve hier. Dieses Stückchen. Da gehört jetzt, weil ich das so anschaulich hergeleitet habe, das dx mit dazu. So sieht das aus. Das ist die offizielle

Formel für die Mantelfläche. Eines Rotationskörpers, gedreht um die x-Achse. Da jetzt einzusetzen ist ja keine große Kunst. Gibt also 2Pi, das Integral

von 0 bis 1. Der Radius sollte sein, der epsilon Wert hier, der Radius sollte sein x hoch dreihalbe. Also hier x hoch. Die 1 steht ein bisschen alleine. So x hoch dreihalbe. Jetzt die Wurzel 1 plus x hoch dreihalbe ableiten. Macht

dreihalbe x hoch einhalb und das dann quadrieren sind neun viertel x dx. Dann haben sie teilweise schon versucht, dieses Integral zu lösen. Eben hat tatsächlich einer mal den Wolfram-Alpha eingegeben. Es füllt eine ganze Zeile in

Wolfram-Alpha, was hier rauskommt. Lohnt sich nicht. Man kriegt es nicht zu Fuß hin. Das ist absurd, das zu Fuß zu machen. An dieser stelle bemüht man den Computer. Sie sehen, dass sie mit partieller Integration nicht wirklich Chancen haben. Den ersten ableiten, dann steht da immer noch die Wurzel, nochmal ableiten, dann steht da hoch minus einhalb, macht es auch nicht

besser. Dahinten ableiten, die Wurzel ableiten, wird sofort eins durch die Wurzel. Sieht nicht so aus, als ob es helfen würde. Substitution, ja was soll ich jetzt hier wie substituieren? Das muss mit ganz finsteren Tricks gehen. Das ist nichts, was man mal so gerade eben lösen kann. Lohnt sich auch

nicht. Wozu gibt es den Computer? Das Spannende und was man selber machen muss, ist das Integral erst mal hinschreiben und dann können sie es dem Computer zum Phras vorwerfen, das Integral, wenn sie es mal hingeschrieben haben. Also mir geht es wirklich darum, dass sie in der Lage sind, so eine Situation hier zu nehmen und dann selbst zu sagen, okay das muss so und

so und so sein. Ob es eine Mantelfläche ist oder irgendwas schlimmeres. Die Idee zu haben, was das Integral macht und irgendwie, werde ich mit dem Computer schon überreden können, dieses Integral auszurechnen. Diese Mantelflächen sind sowieso ganz fürchterlich, wenn man so

Schulbuchaufgaben stellen will, die dann wirklich lösbar sind. Sie sehen, dass es hier so diverse Bedingungen gibt an die Funktion, die ich da einsetze, wenn das hier schubuchmäßig lösbar sein soll. In der Tat, das könnte der Grund sein, weshalb das nicht mehr in der Schule vorkommt. Man sucht sich die Fingerwunsch nach einer Funktion, mit der das hier irgendwie vernünftig geht.

Es ist haarsträubend, dafür Beispiele zu finden, mit denen man dieses Integral wirklich analytisch als Formel hinschreiben kann. Insofern bleibt es jetzt hier bei dem unausgerechneten Integral, wie es da steht. Wenn Sie mehr wissen wollen, gucken Sie sich an, was Wolfram Alfreit dazu sagt.