einer Matrix gesehen, ein Maßzahl dafür, wie groß die Menge ist, die werden vernichtet von der Matrix. Determinante ist eine weitere Maßzahl für Matrizen, aber nur für quadratische Matrizen. Erstmal zur Schreibweise, die

wenn ich eine Matrix A habe, was habe ich hier, eins, zwei, drei, vier, schreibe ich

die runden Klammern weg oder im Amerikanischen die eckigen Klammern weg und schreibe stattdessen Striche um dieselben Einträge und meint damit jetzt nicht mehr eine Matrix, also kein Ding mehr, was ich mit Vektoren multiplizieren kann oder andere Matrizen multiplizieren kann oder auf

Matrizen addieren kann. Dieses Ding hier ist einfach eine pure Zahl und ich will jetzt zumindest noch in den letzten 15 Minuten grob anschaulich erklären, was denn diese Zahl bedeuten soll. Also eine Maßzahl für eine

Matrix, für die Matrix mit den Einträgen eins, zwei, drei, vier. Die Striche sagen berechne auf gewisse Weise eine Zahl aus dieser Matrix. Die können jetzt nicht mehr diese Zahl, die herauskommt, können sie nicht mehr mal eine Matrix nehmen und wieder mit der Matrizmultiplikation arbeiten oder so. Dieses Symbol hier steht wirklich für eine Zahl, quasi ein

Funktionsaufruf, wie hier steht, die Deminante von A. Und da heißt natürlich in den üblichen Programmen dann Matlab, Wolfram Alpha, einfach DET von der Matrix. Was soll dieses Ding bedeuten? Ich könnte Ihnen jetzt sofort die Formel

sagen, die wissen Sie sowieso, einmal vier minus dreimal zwei, hoffentlich irgendwo aus der Schule, wenn nicht auch egal, umso besser. Ich möchte nicht mit der Formel starten wie üblich, ich möchte erst mal wissen, was das denn tut. Was soll diese Zahl messen? Zwei Sachen missen diese Zahl, die Determinante. Der Betrag der Determinante sagt folgendes,

Terminante sagt, was ist für Nummer zwei, wie ändert diese Matrix die Fläche oder das

Volumen, um welchen Faktor, ich schreibe mal tatsächlich um welchen Faktor, um welchen

Faktor ändert die Matrix die Fläche, wenn es eine 2 mal 2 Matrix ist. Wie gesagt, sie muss quadratisch sein für die Determinante. Die Fläche oder das Volumen, wenn es eine

4-dimensionale Volumen, wenn es eine 4 mal 4 Matrix ist und so weiter. Das ist die Frage, die von dem Betrag der Determinante beantwortet wird. Also wenn Sie hier die Zahl 42 oder minus 42, egal an der Stelle, rauskriegen, wissen Sie, diese 2 mal 2

Matrix wird jede Fläche um Faktor 42 vergrößern. Wenn ich mit einer Fläche von 2 Quadratzentimetern reingehe, komme ich mit einer Fläche von 42 mal 2 Quadratzentimetern wieder raus. Das habe ich gestern vorgeführt, wie Matrizen auf geometrische Objekte wirken.

Ich hatte das F hier in Matlab. Sie können im Prinzip die Fläche messen von dem F, schieben das durch die Matrix durch und messen dann wieder die Fläche. Und der Faktor, um den sich die Fläche geändert hat, ist der Betrag der Determinante. Wenn die

Determinante gleich 2 ist, hat sich diese Fläche verdoppelt. Wenn die Determinante gleich minus 2 ist, hat sich die Fläche ebenfalls verdoppelt. Das sagt der Betrag der Determinante. Das Vorzeichen, das fehlt jetzt ja noch, zum Glück das Vorzeichen der Determinante sagt was über die Orientierung. Das Vorzeichen

der Determinante sagt Nummer 3 lässt die Matrix die Orientierung gleich dabei. Oder nicht.

Orientierung gleich. Dann ist das Vorzeichen positiv, wenn nicht ist das Vorzeichen negativ.

Mal mit Beispielen, eben 2 mal 2. Wenn ich mit dem Buchstaben F dann mal wieder reingehe und gucke mir an, wie wird dieser Buchstabe F transformiert. Ich

mal mal was auf. Kann ja auf üble Weise verzerrt werden. Vielleicht so was. Oder könnte so aussehen. Was würden Sie im oberen Fall über die Orientierung sagen?

Okay, schon rein anschaulich. Im oberen Fall steckt eine Spiegelung offensichtlich drinnen, auch wenn die Gesamtfigur verzerrt ist. Es steckt eine Spiegelung drin. Die

Determinante muss ein negatives Vorzeichen haben. Und im unteren Fall steckt anscheinend keine Spiegelung drin. Schon anschaulich. Die Determinante hat ein positives Vorzeichen. Das ist an der Stelle mit Orientierung gemeint. Im dreidimensionalen wird es ein bisschen heikler zu malen, weil da obendrein noch diese ganzen Verzerrungen passieren können. Wenn

Sie mit einem richtigen Korkenzieher in die Matrix reingehen, ein Objekt im Dreidimensionalen und gucken, was diese Matrix draus macht. Wenn Sie mit einem richtigen

Korkenzieher reingehen und Sie kommen mit einem verzerrten Korkenzieher wieder raus. So ist er vielleicht ein bisschen verzerrt. Er kann ja nicht verbogen sein. Das schafft eine Matrix nicht. Das wird er nicht schaffen. Aber er kann gedreht sein und schnell

gezogen sein. So was könnte passieren. Was habe ich mir noch aufgemalt? Er könnte in diese Richtung verzogen sein. So was. Das kostet echt Überlegung. Das ist ein

richtiger Korkenzieher. Das sieht auch noch aus wie ein richtiger Korkenzieher, oder? Hier hätte die Determinante ein positives Vorzeichen. Was habe ich da jetzt gebaut? Das ist ein falscher Korkenzieher. Sie sehen, der geht hier vorne rum und

dann nach hinten. Der geht vorne rum und dann nach links nach hinten. Der geht vorne rum und dann nach rechts nach hinten. Das ist ein falscher Korkenzieher. Wenn aus der linken Hand eine rechte Hand führt, ebenfalls dasselbe. Oder eine fürchterlich

verformte rechte Hand. Hauptsache, aus der linken Hand wird eine rechte Hand und aus der rechten Hand wird eine linke Hand. Dann ist die Determinante negativ. Sonst ist sie positiv. Das ist die Idee hinter Betrag der Determinante und Vorzeichen der Determinante. Historisch war es anders, aber ich

finde es geschickt, das so zu präsentieren. Es stellt sich dann heraus, wir können den Betrag benutzen, um Flächen zu messen und Volumina zu messen. Einfach weil es hier schon etwas mit Vielfachen zu tun hat. Wir können das Vorzeichen benutzen, um festzustellen, ob plötzlich auf der falschen Seite liegt, von anderen Vektoren. Das nette ist, dass man jetzt

ohne eine Formel angegeben zu haben, schon Determinanten ausrechnen kann. Noch einmal, als letztes für heute. Wir rechnen die ersten Determinanten aus. Nummer 4. Die Nullmatrix. Diese Matrix macht jede Fläche,

jede Fläche, welche auch immer, wird von dieser Matrix zu einem Punkt gemacht, zum Ursprung. Das heißt, die Fläche, die Fläche,

so und so viel Quadratzentimeter, wird mit Null multipliziert. Sie ändert sich um minus 100 Prozent und die Determinante sagt, das Wievielfache ich nehmen muss, auf das Wievielfache, es ist schwierig, auf das Wievielfache ändert sich die Fläche auf das Nullfache. Minus 100 Prozent, aber

auf das Nullfache. Also Null. Das Vorzeichen ist netterweise egal, plus minus Null, weil es bleibt ja sowieso nichts über. Orientierung ist mir dann auch egal. Das passt auch gut zu den plus minus Null. Das ist dasselbe. Die Einheitsmatrix. 1 0 0 1. Was muss deren Determinante sein? Jede Fläche bleibt

gleich, die Einheitsmatrix lässt jedes Ding so wie es war. Wenn ich damit multipliziere, die Fläche bleibt gleich, die Orientierung bleibt gleich, plus 1. Die Matrix, in der lauter Zweien stehen, das ist vielleicht zum ersten

Mal überraschend. In jede Richtung mal 2, das heißt die Fläche Überraschung mal 4. Das ist nicht 2, was daraus kommt, sondern zwangsläufig 4. In jede

Richtung mal 2. Die Fläche vervierfacht und die Orientierung bleibt natürlich gleich dabei. Auseinanderziehen, also plus 4. Jetzt habe ich den hier, das ist die Nummer 7, 2 0 0 1. Wenn die eine Richtung mal 2, senkrecht

dazu mal 1, das macht die Fläche mal 2. Vielleicht soll ich mal wieder mein Häuschen hier aufmalen. Wenn Sie damit starten, kriegen Sie als Ergebnis etwas, das ist doppelt so breit, hat dieselbe Höhe und offensichtlich, vielleicht mache ich noch einen Schornstein dran,

offensichtlich ist die Händigkeit gleich geblieben. Jetzt kommt eine, die sieht ganz finster aus. Ich hoffe, dass Sie sich ein bisschen an Sinus und Cosinus erinnern. 1 durch Wurzel 2, minus 1 durch Wurzel 2, 1 durch Wurzel 2, 1 durch Wurzel 2. In der Tat

hier steht Cosinus 45 Grad, minus Sinus 45 Grad, Sinus 45 Grad, Cosinus 45 Grad, das ist die Drehung um 45 Grad und den Ursprung. Eine Drehung um 45 Grad und den Ursprung oder sonst einen Punkt lässt natürlich die Fläche gleich und lässt auch die Orientierung

gleich. Das heißt, dieses Ding hat zwangsläufig die Determinante 1. Auch wenn man noch gar nicht wissen, wie man das ausrechnet, es muss die Determinante 1 haben, sonst ist was fürchterlich schief gegangen. Vorletzter ist dieser hier, die sieht so harmlos aus, 1, 0, 1, 1, 0. Die vertauscht x und y, das ist die Spiegelung an der 45 Grad Diagonal,

an dieser Achse. Dann werden x zu y und y zu x. Eine Spiegelung, die lässt natürlich die Fläche gleich, aber ändert die Orientierung. Minus 1, muss das zwangsläufig werden.

Und der allerletzte, Nummer 10, 1, 1, 0, 1. Da male ich mal auf, was diese Matrix tut. Wenn ich mit dem Häuschen hier anfange, das bleibt ausnahmsweise mit Schornstein,

damit man die Orientierung sehen kann. Die erste Spalte sagt mir, was aus 1, 0 wird. Okay, der bleibt also liegen, fein. Die zweite Spalte sagt mir, was aus dem wird.

Das wird 1, 1. Diese Wand des Häuschens wird also da landen. Das macht man ein bisschen weiter und stellt dann fest, okay, so wird das werden. So wird das werden, das Ergebnis. Was halten Sie von der Fläche und was halten Sie von der Orientierung? In der Tat,

die Fläche bleibt leicht, die wird geschert, das ist eine Scherung. Hier unten das Parallelogramm, das Rechteck und das Parallelogramm kann man sich angucken. Da sieht man es. Nehmen Sie diese Fläche, hängen Sie die da hin und sehen Sie, dass das Parallelogramm seine Fläche behält. Oben, das könnte man jetzt entsprechend zerlegen. Klar, dass das gehen muss. Also das hat auch die Determinante 1. Die Fläche bleibt gleich und die Orientierung bleibt gleich.