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08.1 2 Dynamische Systeme, logistische Gleichung

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Dynamische Systeme das ist ein Oberbegriff was jetzt eigentlich vorkommt dieses 1. sind Differentialgleichung und ein großer war großes Teilgebiet der von Fall zu wir das größte
Ich wollte einmal den Oberbegriff wirklich einführen dynamische Systeme Das ist das womit sich die Wirtschaft und das Klima und die Physik und Chemie und Biologie wurde über schon ein dynamisches System 2 wesentliche Zutaten für mich am Anfang des Semester schon mal gesagt 2 wesentliche tut Zutaten zu einem solchen dynamische Systeme erstens Zustände des ist befindet sich zieht jedem Zeitpunkt ein der nach einem Zustand der Zustände zusammengenommen bilden ein Zustandsraums oder auch ist es also war Und dazu ein Entwicklungsgesetz dass mir sagt wie's weitergeht gegeben den aktuellen Zustand wie geht's von der Arbeit der Entwicklung des setzt Bei uns wird das jetzt die kommenden Wochen eine Differentialgleichung sein dieses Entwicklungsgesetz Gegeben zum Beispiel Geschwindigkeit v Geschwindigkeit und Position gegeben Geschwindigkeit Position sagte falls Differentialgleichungen wie sich die Geschwindigkeit Position weiter entwickeln was ist ist deren zeitlich Ableitung in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Position ab diesem begrüßt wird soll insofern vollständig sein einen Anfangszustand aber sollte sich der Vorsitzende glauben dass Weiter gab es endlich was passiert da seinen Geist abstrakte Idee für praktisch alle Modelle die man laut geht das Gesetz die jetzt vorkommen sind deterministische Entwicklungsgesetz ist kein Zufall dass allgemeines es raffinierter auch noch zu Seite zu haben steht auch noch ein zu werfen dann hat man einen drastischen Prozess wieder zwischen heißt es in den das sich Prozesse nicht mehr es ist Hier so zuerst aber dem Differentialgleichungen deterministische Systeme gebe es ist kein Zufall eingebaut wenn ich den Anfangszustand war muss das über Millionen Milliarden Jahre klar sein wie es weitergeht aus dem Anfangszustand ohne irgendwas und was ist das ist die einfach Variante aber nicht gerade um die realistische bei deterministischen Systemen ok so zu stellen auch wenn dieses Beispiel ist nicht eine Kegelbahn
Zeichnerisch Herausforderung war ich Gefühl für a aber der sich die Türe vor aber dabei mit stellen sich die Telefonnummer so ist zwar etwas völlig das und sollte nicht so neuen sollen zwar deutlich selbst war und so oder so und so viel Geld wie sie von neuem auf Weile neuen Tiegel und eine Kugel dreidimensionalen was beschreibt den Zustand die beschleunigt nicht Zustand dieses Systems Kegelbahn muss sagen die Massen von denen sie natürlich fest der Untergrund ist selbst die Beschaffenheit des Untergrunds fest alle sind aus Holz aus Plastik usw. all das ist fest wie was brauche ich jetzt vom um einfach das simpelste an der Physik zu Gegensätze ist sich wissen Position Geschwindigkeit Position ließen 3 der die Geschwindigkeit ist Dreier Vektor die Orientierung im Raum in welche Richtung zeigt dass die Zahl der 13. jeweils Neuorientierung jeweils 3 für uns die Winkelgeschwindigkeit 2 Wege für die Achse und eine Zahl für den nackten Zahlen als sonst Radiant pro Sekunde die Winkelgeschwindigkeit sie nach Dreizahl das heißt es alles ist
Und das macht die Nummer 2 als Phasen Raum oder Zustandsraum der Space Bischof der Verfassung der deutschen Straßen ordentlicher Zustandsraum Straßenraum der Phasen von der dann all das anzugeben nicht brauchen Sie mal 3 Werte für Position 3 wird Winkelgeschwindigkeit weil wir die Orientierung weil wir die Winkelgeschwindigkeit jeder Zustand braucht 3 plus 2 bis 3 Mal als sie es tun wird um es 20 Jahre sind hundertundzwanzig Werte muss 25 Werte angeben einen 1 Zustand zum sparen Phrasen von wird dann der 120 werden dort eine Untermenge von 120 typische Oberst wird sich das mal ganz als ob wir den ganzen 120 auf Milliarden Lichtjahre von Siebecks trotzdem 120 uns doch noch zu kompliziert das wir der Faust womit sich hier Punkt in diesem Raum haben haben sie einen Vektor mit 120 Einträge sie einfach die 1. 3 Einträge für die Position des 1. geht es die nächsten 3 für die Geschwindigkeit des 1. usw. usw. der bewundert 20. Eintrag wird werden die Komponente der Winkelgeschwindigkeit der wir an der 20 und das 420 Tausend ist schwer vorzustellen aber auch wirklich so viel zahlen um den Zustand zu beschreibt auch vor allem diese Angaben um dann mit der einfachen Menschen Physik sagen zu können wie es weiter geht es reicht nicht nur die Position weil ich da nicht weil so dass die Frage ob die nach rechts ist oder ob sich der System und Ernst Uhrlau mit von Geschwindigkeit auf Weg nach oben brauchen die Geschwindigkeit mit dem bis nicht mit die Orientierung zu wissen gebaut natürlich auch und muss genauso wissen was denn die Winkelgeschwindigkeit ist um zu wissen wie es weitergeht vom und das finde ich es ist Prof. das als Beispiel für ein dynamisches System das dynamische Systeme Kegelbahn die gilt sind alle des definiert wird meist in Form von Reibungskoeffizient Elastizität was ich angeben muss ist das 720 grüßend sich angeben die bestimmende Zustand um im Winter ausgesetzt wird mich nicht als seine der gleichen aufstellen für die Kraft und für die Kraft einer über den Kauf ich dann automatisch Gleichungen über die Ableitung der Geschwindigkeit die beschleunigt und die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit
Aachen gegen ein lässt sich dann kann das der dynamische ist Einheit gucken aber meine Zeit in Schritten abläuft ist es Zeit ist oder aber eine Zeit ohne Schritte die ich abläuft Zeit kontinuierlich
Die das Mechanik an der natürlich Zeit kontinuierlich waren die und ehrlich Und dann kann ich mir einen Druck auf der Zustandsraum aus einzelnen Punkten besteht oder ob auch der Grund ist sicher nicht einmal ist Zustandsraum diskrete nicht das Gegenteil von dem diskret sondern einzelne abzählbaren ist Zustandsraum nicht der Zustandsraum
Und eine kontinuierliche ehrlich zu stellen Form des kleine bestätigte aber lesen kann so die Nummer 3 Eine Zeit des Gerätes ist mit einem diskreten Zustandsraum nicht kann die Zustände eines nationalen und die Zeit verläuft Schritt welchen andern kommt das vor des schreit für mich nach Steuerungstechnik
Die Maschine ist frei von 10 20 Tausend auf jeden Fall endlich vielen zu stellen und und die Steuerungstechnik sorgt dafür dass jeweils passende Zustand 2. gewählt wird das sich von einem zum nächsten gilt wenn nicht aus der digitale soll ich dazu sagen digitales ist natürlich heute praktisch immer Zeit diskret man läuft in Zeitschriften das Risiko sind oder Mikrosekunde ausläuft auf jeden Fall in Schritten durch und das ist also so gut 2. geht wie auch Zustand ist die Mechanik schon gesehen Mechanik ist seit kontinuierlich die Zeit schließt und Stufen unter Zustandsraum hat auch keine Zahlen des Kästchen sondern ist und jährlich über 6 über das zwischen schauen wir mal wie das Beispiel ist des wieder und sie die viele von den Höhen und der wird die und die Geschwindigkeit sind stufenlos einstellen dann jährlich die Zeit schließt und wirklich Stufen diese Modell aus ist und was war dazu gehört ist aus oder seltener wird die analoge wir uns durch die auch in diesem Fall dran war Wenn sie eine Regelung aufbauen mit Transistoren und Operationsverstärkern verläuft die Zeit nicht in Stufen die Signale verlaufen nicht Stufen das wird ja also könnte man obendrein noch hinschreiben Mechanik und die analoge Regelungstechnik ist dann wir oben kontinuierlicher Zustandsraum Und Zeit ist schreibt für mich nach der digitalen Regelungstechnik und ich habe Zeitscheiben Rechner typischerweise alles anders als schwer zu bauen ich habe Zeit scheint aber die Wert Medien nicht um die es wenn man nicht allzu genau hinguckt kontinuierlich haben Gleitkommazahlen typischerweise oder zumindest extrem hoch aufgelöste ganze Zahlen vielleicht von 60 Tausend Stufen weitere 256 Stufen aber typischerweise in 60 Tausend Stufen oder eben mit Gleitkommazahlen noch wesentlich mehr Stufen die fühlen sich an die die Wand den streng genommen ist es nicht ganz ähnlich denken haben gestern als doch nur nicht weiter denken und dann doch nur überlegen was also unser Milliarden Gleitkommazahlen aber es fühlt sich kontinuierlich an das da gerne ein paar was was es nicht gibt ist die Nummer 5 des gibt nicht sehen Zeit ganz ehrlich und diskrete Zustandsraum das heißt in den Zeitläuften an als Zustandsraum hat nur sonst Örtlichkeiten langweilig haben 3 Möglichkeiten Zustandsraum 3 verschiedene Zustände ist haben kann ich Staats und Zustand ist sich des ist dann irgendwann spontan entscheiden in einen Zustand zu sprengen das gibt in der Quantenmechanik Quantensprung dann aber das passt nicht zu den deterministischen das geht es nicht deterministisch Spanne soll das ist der springende ist ist Zufallsprozess seiner steuert dieses ist die Menge am mit anderen Worten das kann nicht funktionieren Zeit könnten sich diskrete Zustandsraum geht nicht deterministisch 40 H ab 10 Uhr geht es sich dann ist nicht zu vereinbaren
War ich eine geht am einfachsten möchte sie zerfallen des Korans von dazu und so Filatow das sowas von dass unsere Laptop existiert oder existiert nicht ist das Zustandsraum ist ganz einfach von die Zeit Zeitaufwand und Licht und irgendwann entscheidet sich dieses Atom zu zerfallen aber dass es Zufallsprozess mit Zufall funktioniert das aber deterministisch ohne dass jemand Würfel würfelt wurde wirft auch das nicht Ok das als Übersicht zudem dynamisches System groß Boston nach gilt nächste Woche gilt sind eigentlich nur diese Entwicklungsgesetz ob sie wird Bildungsgesetze aber dass ich dann Differentialgleichungen wird und auch andere Bildungsgesetze haben hier Bauch offensichtlich Entwicklungsgesetz obwohl auch hier und da würde schon seit langer doch sonst in den kommenden Wochen die nicht Führer aber noch von den Abschnitt vor allem dynamische Systeme vor von dieser Art
Um zu zeigen was für ein Blödsinn passieren kann warum das alles nicht so einfach ist das auf den 1. Blick glauben machen was sie zeigen möchte sich die logistische Gleichungen als Entwicklungsgesetz das ist mein Entwicklungsgesetz logistischen Gleichungen
Angenommen ich habe einen Zustand x mit hier beschrieben durch eine einzige Zahlen sagen den nächsten Zustand wieder beschrieben durch eine einzige Zahl ist und eine Konstante aber die Zahl der den alten Zustand beschrieben hat als 1-minus das nennt sich logistische Gleichungen dieses ist ein Zustand ist beschrieben durch eine einzige Zahlen richtig billig nicht 120 Zahlen eine einzige zahlt die Zeit läuft diskret Schritt für Schritt plus 1 und das ist das Entwicklungsgesetz dass mir sagen ich von einem Schritt zum nächsten komme ich nehme den Zustand aktuellen Schritt 1 mal 1-minus der man eine Konstante ist es den Konstante sagt die ist fest und sage das ist der nächste das ist ein billiges Modell für Bevölkerung das Explosion von schon sagen wir Bevölkerungswachstum wenn das X ist sehr klein ist die 0 sollte sagen wenn es x dicht bei 0 bis 1 minus x dicht bei 1 und sie haben ganz normal Verzinsung hier die nächste Generation ist kam die aktuelle Generation das wir das noch war so wenig dicht bei 0 wird was passiert wenn das x dicht bei 1 ist keineswegs die war 1 ist wird das Wachstum abgeschnürt schlimmer noch ist hier nicht das Wachstum abgeschnitten nächste Generation ist unsere so war die aktuelle Generation mal praktisch 0 6 2 1 ist
Wachstum mit Abschnürung ein billiges Modell für Wachstum die eine Grenze haben ist die Grenze dann bei 1 kann man sich das mit OpenOffice vor 3 Gruppen die sich die System verhält es auf ziemlich komplexe Weise von diesem kamen Wird den die groß dieses ist dieses kamen knapp über 1 ist startet das ganz normale Wachstum und die waren ein Problem zu kriegen mit dem Wachstum dieses gar kleiner ist als alle ins deutsche kein Wachstum mehr sondern Zahlen sind sondern seine Zinsen das heißt es wird nur noch von was aus ob dieser Mann sollen
Vorschriften durch auf 8 bis 10 Schritte vor dass sie sollen x sein ein Startwert was ist wirklich ein Zuwachs unter 0 Komma 0 1 so dass Staat für der 1. wird soll zur der aktuelle Wert war diese Konstante kamen die sollte auch von Spalten Tschuldigung ist alles Konstante gar so sparen 0 , 9 soll das sein der und der Versuch also dass wir werden kamen
Dollarzeichen festnageln mal x als kleinsten jenes x und dass sie jetzt auf
Und ich glaube ich auch Sonderstellung nur so sieht es geschickt also jeden Schritt der auf den alten Wert mal 1 den alten wird mal diese Konstante gar wieder den alten Wert war als müssen wir mal so konstant der und sobald Schritt unter normalen aus können wir so ist es so dass das nicht mal 2 ist schon das Vorgehen als das was man Punkte auf und als Punkte ok so dass alle kamen gleich 0 , 9 das heißt ja dass ich in jeder Generation sozusagen 10 Prozent Zinsen zahlt der steht dann ja auch nicht verstehen dann ja nur , 9 an der aktuelle Wert mal etwas dicht bei als 0 , normal aktuelle wird das heißt in Prozent sind zwar hoch aber wenn sich jedes Jahr 10 Prozent Zinsen zahlen die Generation sind und zum Fenster Wunder was passiert dass sie bricht zusammen mit jetzt nämlich nicht nur , normal ist der gewesen 6 8 1 Komma 1 das heißt nicht gegen 10 Prozent für das heißt es wird am Anfang erst wachsen nicht nochmalig Ritual ist wird Anfang wachsen sie Prozent auf 10 Prozent drauf und so weiter wie sich die Größenordnung der 1 kommen dann habe ich ein Problem mit dem Wachstum
Was passiert ok ich schalte bald nur , 1 10 Prozent auf Generation wächst und wächst und wächst aber kurz vor der 1 geht es nicht nur in der Weise abschnüren gefragt oder drin sich dass 2 der 6 8 Es Weltreiterspielen was passiert wenn der 2 steht oder an ist aber superschnell der anerkannte bildeten wächst Nummer 9 3 Komma 2 das ist der nächste standen Wert bei 102 da besser ganz was Neues es was ich und ja ich glaube ich muss das Land verlassen wollen nach der Wahl wurde das Objekteigenschaften ja
Würde ich nicht ich bin gerade 8 8 Arbeiter
Wo es aber auch was das den springt und wenn eine Generation groß ist wie sie ist ein bisschen kleiner aber demnächst wieder größer 1. kleiner bis Songzyklus ist eine große Generation eine kleine eine große eine kleine Portion das passiert was Vertrag , 2 6 9 2 3 Komma 5 wird das alles müssen schneller ab weil 3 Komma 5 hat dass die 4 Zyklus auf ein so sieht kennen was was ist so bei 3 Komma 5 eine große Generation eine ganz klar eine nicht ganz so groß eine nicht ganz so kleine dann wieder eine große sollen Züge läuft das egal wo man Stade sichtbar 0 bei 3 Komma 5 5 ist nicht alles sparsam war 3 Komma 5 5 haben Sie was passiert schon auskommen müssen ist aber dass war es zwar 1 2 3 4 5 6 7 8 und zum formlos das 8. Zyklus dann nicht mehr nur so dann muss ist so etwas kleiner machen wieder nach
Das man kann das
Insgesamt aus jetzt nach der Zyklus unten sehen Sie ihre immer zusammen während die zusammen und sind noch des 8. zieht was das geht natürlich so weiter
Periodenverdopplung sich dieses Phänomen das geht es nicht nur bei diesem System das ist ganz ist um solchen zwischen der chaotischen Systemen und wirkliches Chaos für die Nummer 12 das heißt sind 40 Tausend Mathematik ist wenn das 4 Komma Kommando eintrage dass sie alles um die Ohren so so aus dass ein wunderschöner Zufallszahlengenerator waren Sie diese Zahl mir so sehr sich das aus ob die alle gewürfelt werden aber es wird tatsächlich jedes Mal gerechnet viermal die alte Zahlen mal 1-minus die alte zwar auch wenn das ganze hingewürfelt aus Chaos nennt sich das von
Weniger wegen des wird wird als wegen der Auswirkungen zu einer Störungen aber nach Ansicht der Mathematik fest wenn sie die 1. Zahl nicht ganz genau gewusst hätte sondern wenn Sie vielleicht da einen kleinen kleinen Messfehler gab hätten in der allerersten Zahl 8. Sie mal auf was auf die den Druck als ein winziger eine winzige Änderung in der Anfangszeit jetzt auf dem rechten Teil auf dass sich komplett geändert
Das nennt sich der Mathematik Chaos das die Anfangsbedingungen extrem wichtig sind noch mal so was sie winzige günstiger Fehler der Anfang anfangs werde und eine Änderung sobald man aber Generationen weiter das ist exponentielles Fehler Wachstum dieses Abweichungen von den ursprünglichen Daten wachsen exponentiell solange bis sie sichtbar werden dann beseitigt nicht mehr von wachsen ist kann nicht mehr rauskommen als eines nicht weniger auskommen als nur am Anfang packte sie exponentiell dass man sich tausende der Mathematik ist ein gewisses übliches Phänomen komplizierteren dynamisches ist Das als war ein Hinweis für die ganze Zeit jetzt die nächsten Wochen mit Differentialgleichungen umrechnen aber man sollte nicht vergessen dass die Sache ziemlich kompliziert werden können selbst so billig ist können sehr kompliziert
Gleichung
Geschwindigkeit
Dynamisches System
Prozess <Physik>
Position
Physik
Differentialgleichungssystem
Zustand
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Geschwindigkeit
Punkt
Position
Dynamik
Physik
Kraft
Gleichungssystem
Vektor
Reibungskoeffizient
Zahl
Computeranimation
Richtung
Teilmenge
Dynamisches System
Kugel
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Punkt
Zustand
Computeranimation
Geschwindigkeit
Integriergerät
Quantenmechanik
Zahl
Computeranimation
Stochastischer Prozess
Übergang
Rechenbuch
Menge
Ganze Zahl
Zustand
Höhe
Aggregatzustand
Dynamisches System
Würfel
Differentialgleichungssystem
Computeranimation
Stochastischer Prozess
Computeranimation
Konstante
Gleichungssystem
Mathematische Logik
Zahl
Computeranimation
Zahl
Computeranimation
Konstante
Computeranimation
Konstante
Größenordnung
Computeranimation
Summe
Negative Zahl
Computeranimation
Ecke
Diagramm
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Linie
Höhe
Diagramm
Punkt
Computeranimation
Zugbeanspruchung
Linie
Höhe
Diagramm
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Mathematik
Zahl
Computeranimation
Mathematik
Messfehler
Störungstheorie
Zahl
Computeranimation
Anfangsbedingung
Mathematik
Differentialgleichungssystem
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 08.1 2 Dynamische Systeme, logistische Gleichung
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2011
Anzahl der Teile 92
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/10237
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Folgende Ressource ist Begleitmaterial zum Video

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