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22.3 Extrema von Funktionen zweier Veränderlicher, Hesse-Matrix

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W extrem von Funktionen zweier
Veränderlicher nicht mal das man wissen was auf was Kosten der besteht Eine Funktion nicht mehr angekurbelt Sondern so ein fliegender Teppich und die ganze man so ein fliegender Teppich so Kann ich mich ja weiter fragen muss ist der größte Funktionswert der vorkommt und das ist der kleinste Funktionswerte von offensichtlich ist dass hier von der kleinsten Funktionswerte war der nicht der größte Funktionswert größer dann Funktionswert werden werden die globale das globale Maximum das globale die können am Rand des bei den beiden nicht man man wolle mit und so aus Dieser die mit der sich vor in der Mitte hatte so wollen mit hätte ist vielleicht ja dieser Funktionswert gerade in dieser Funktion für das globale Maxima Maximum des vom nicht die Stelle nicht Punkt sondern der Funktionswert als solcher diese 7 Zentimeter das das globale Maximum wurde hier von außen vor 2 Zentimeter mehr des globalen wird angenommenen dieser Stelle wird auch noch an anderen Stelle angenommen werden dass die 7 Zentimeter vertritt dass wir auch genau auf 7 Zentimeter hoch dann wird das globale Wachstum an 2 Stellen die Bahnen Die auf dem Rand wenn in das Gebiet auf dem das kann definiert ist nicht ganz fürchterlich ist aber dass normalen aus also nach globalen suchen sie auf dem Rand ruht der inneren und wenn globale Maxima ein strahlendes automatisch lokale Maxima und minimaler zu sein ich Spucke bei den Begriff Lokal das die globale bei den Begriff lokales Maximum ruppig der Funktionswert in der Umgebung kleiner ist größer von war nicht allein von der aber was wirklich Herausforderung ist ist ist den der durch das was wenn sich eine der letzten habe jemand hat den Fußball herangetreten oder einfach direkt hereingetreten Offiziere verwendet würden dann ist hier der Funktionswert in der Mitte kleiner als alle Funktionswerte in einer Umgebung das wäre ein lokales vom Das wäre ein lokales und die hier oben aber auch Ist gleichzeitig ein globales Maximum aber auch ein lokales Maximum ist größer als alle seine in seiner Umgebung Diese lokalen Maxima habe die kann man darauf finden die man das mit Funktionen einer veränderlichen gemacht hat bis schwierige Wochen offensichtlichen gravierende die 2. Ableitung noch wichtiger aber das Vorgehen sind Prinzip dasselbe des Kölner vorsichtig zu den mit Texten Ich bin also auf der Suche nach lokale extremer biloba extremer sind entweder Punkte auf dem Land oder lokale extremalen das heißt auf der Suche nach dem größten Wert kann nicht alle lokalen Maxima durch und obendrein auf den Rand durch und ich Muster fündig geworden sein so viel zu wenig den Bogen zum Ableitungen wenn ich auf der Suche nach lokalen
Extremalen in ein lokales extrem sagen Maximum an einer bestimmten Stelle x y 0 da ein lokales selbst ist Denken Sie an den täglich Dollar 2 wirklich wollen wir hier ein lokales Maximum ist muss die tangential Kurz und als er kann sich nicht raus also dieser Stelle ein lokales ist x y ganz extrem ist von einer ganz Maximum offensichtlich auf das globale Maximum dann weiß ich dass es ja das ist die Nummer und war es nicht dass die CIA als horizontal sein muss sagt vollzogen bei Funktionen einer Variablen einer veränderlichen war dass die tangentialen gerade die muss horizontal sein muss jetzt offensichtlich dann ist werden uns als die nicht horizontal wäre die Tangentialebene König ein Stündchen bergauf geht größeren Wert haben oder das untergehen für kleine das wäre des Mannes begründen was heißt das Form tangential ist horizontal was heißt das Form das am Beispiel für eine tangential wenn mit x um 1 zur Seite gegen die ich mit selbst Erhöhung ein Zehntel nach oben wenig mit bislang 1 zu Seite GEZ vom 13. nach unten das Ding horizontal sein soll heißt das ich darf mit x y Maschinen wie ich will ist das nicht nicht ändern muss 0 stehen und da muss 0 stehen die partiellen Ableitungen müssen beide 0 sein das heißt das dann ist die Zahl und Santa und dann ist bei der gerade 0 Vektor das passt gut ist also die Ableitung x hier an dieser Stelle das 0 y 0 muss 0 sein und nach Y erzählt abgeleitet selbst diese Ableitung muss sein dass es überhaupt Äquivalent genau dann ist sie Tangentialebene alle diese beiden Ableitung all sind oder wenn sie es Compaq schreiben der gerade den nur der was gut ins Bild passt reagieren sagt in der Richtung in welche Richtung des für die vorsichtiger abermals aufgeht und der sagt mir seiner Länge wie Stalles drauf
Belgrad Stilmöbeln Schulz sagte und geht gar nicht auf es gibt auch keine Richtung aus Ausdruck so alles zusammen was also auch von mir Der gerade ist nur Vektor zwangsläufig auf dem Berg drauf und teilte drin ist heißt nichts anderes als dass die partiellen Ableitungen gleich 0 allesamt ist also nicht nur eine Ableitung bei der Funktion einer Variablen das - beständigsten gleich 0 ist der sind zwar aber dabei 3 veränderlichen 3 Mal so weit das ist eine notwendige Bedingung ohne die geht es nicht um die kann ich kein lokales extrem haben
Besteht ein Folge vor wenig ich ein lokales selbst habe weiß ich dass es ja sondern sein muss es ist notwendig dass sich aus und alles dafür dass der als haben kann das Muster ist das geht ist
Das ist leider nicht hinreichend nicht nur weil sie tangentiale horizontales war ist das war noch nicht fertig nicht hinreichend und es es ist nicht hinreichend was man sich dabei Beispiel klarmachen dass übliche Beispiel ist ein Wort eine sagte das ist eine solche auf Forderungen sagte der als vom Wert sein muss der derzeit von 4 derzeit nicht nicht nur so aussieht als und ich sagte ich so als wenn sich hier mitten auf dem Sattel drauf sind ist die Vorderkante auch sehr die gefordert könnte der sich bei der wenn sich hier mitten auf dem Sattel drauf sind und die tangentiale Ebene Bild wenn nicht die hier oberhalb von sagte Stich stellen wir durch den Sattel durch war das nicht ganz so Entschuldigung
Man sofort durch nichts oberhalb von sagte sticht sie hier so durch den sagte durch die PUK zieht auch die daraus auf der Seite sie nicht zum Gucci so aussieht ist ebenso verschwindet halten sagte mir geht's ja auf der satt Licht über der Tangentialebene geht's runter der sagte nicht unter der Zeit den besticht also schon durch und offensichtlich ist dass sie in der Mitte wieder ein Maximum ein lokales Maximum noch ein lokales es gibt in der Umgebung Werte die sind größer und es gibt jede Umgebung zu sagen es geht hier um der werde diese Mal das kann kein lokales kein lokales sein aber trotzdem ist es ja eben horizontal sind dass es einen immer heftiger als 2 Funktion einer veränderlichen da ganz einig mit diesen Fragen der Gitternetz Zahl gerade das gelungen gibt es ja gerade ist unterhalten und die Funktionen kommt von der einen Seite die zur sollte daher konnte der ergab dass dies auch Sattelpunkt Jekel sogar 11. seit ein paar denselben Effekt aber einer komplizierter dieses Weg mit den üblichen Sattelpunkt mir sowas wie schon aber das kann man natürlich weiterhin haben sowieso läuft oder vielleicht sogar noch einmal zu tun es sowas mit drauf damit draus der sind die Tangentialebene horizontal aber trotzdem habe ich keine lokalen extremer sind die Werte auf der 4. Linie sind die Werte nicht kleiner als das sie können sogar noch übertragen für Sie die sowie 2 4 zu Bruch geht es sogar noch finsterer dann sind die Werte sogar größer als in der Mitte weiter sieht man sehr genau und habe sehr vieles sowie zu viele von uns die Werte auf den Felsen genannt wird größer als der Mitte in diese Richtung geht es unter Werte werden kleiner das kann jeder Maximum und hier die Lösungen komischen Parabel kaum Raum identifizieren haben natürlich dass die vorher werde Household die kleine werden diese größere wie schon bei Funktion einer veränderlich das kann auch nichts werden obwohl die Tangentialebene horizontal das ist also kein hinreichendes wird und die bei der Funktionen einer nicht - von x gleich 0 nicht hinreichend ist notwendig aber nicht aber auch mehr man kann die über den Funktionen einer veränderlichen zur 2. Ableitung des nicht die 1. Ableitung Bildern bei 2 veränderlichen auch hier schon 2. spezielle Ableitung die 2. Ableitung total finster die 1. Ableitung der x nochmal x aber ich kann die 1. beiden Seiten nicht kann die Ableitung der Y und rutschte wird sich die Kombination von Ableitung das wird etwas möglich sondern dass man das ist die 1. Matrix erschrak Servergeschäft 2 -
Letzte Semester die Zeitableitung zu bilden ich muss jetzt alle möglichen Kombinationen durch leitet zweimal ab und zwar 2 nach x kann ich werde ich kann Bild leidet zweimal ab aber erst nach zögere und danach x und ich kann Seite zwar aber erst nach x und danach Y Und die letzte Kommission ich habe zweimal ableiten bei einer y ableiten Das alle 4 die kann man das Matrix schreiben das Ding sich dann Matrix sie mehr veränderlicher haben jetzt natürlich dann entsprechend unangenehmer 3 mal 3 4 mal 4 alle Kombinationen durch alle möglichen 2. Ableitung gebildet Dieses Monstrum hier rechnet man aus netterweise muss man nicht alle ausrechnen sie müssen nicht alle 4 aus der welche müssen sie nicht aus der Mitarbeiter müssen Sie nur 3 ausrichten die beiden sind ja gleich ob sie erst nach so Matrix oder Asterix und und ableiten sei nicht pathologischen Funktionen da das heißt sie müssen nur 3 ausrechnen das ganze wird sie metrisch es hat es ist also der symmetrischen Matrix
Dieser Tag Wie sich eine Funktion von der Ebene von Tangentialebene Weg große haben habe ich es mich als vorgesehen die Versuch einer zumal ich habe meinen fliegen Teppich sich mit der dieses Gebirge der Funktion auf das Gebirge der Funktion ist auch Zivilpersonen lediglich die es ja nicht weiß was tangential haben und diese Matrix beantwortet die Frage dieses wie sich meine Funktion davon Wegrott die bitte nicht die ganze Zeit in der Ferne liegen bleiben sollen wird diese Richtungen der von international wieder nach oben oder nach unten so zum Beispiel das ist der codiert ich schon mal vorgeführt zwischen Matrizen allgemeinen 2 verschiedene Eigenwerte haben zwar eigentlich zu rund 2 Einrichtungen haben die senkrecht aufeinander stehen dass findet man nicht sie in 2 Richtungen den sich zufällig was degeneriert können Sie 2 Richtungen die senkrecht aufeinander stehen die Richtung die die Funktion mit ein Eigenwert nach oben oder nach unten in der positiv ist nach oben weg von der Ebene wird eine negative ist nach und der von Leben und diese andere Richtung senkrecht dazu das andere Einrichtungen macht es mit dem andere der ist positiv der wird jetzt nach oben in der Richtung ist negativ und der und der Rest war schön mit
Das ganze stammt aus einer haarsträubend Formalismus diesmal geschrieben haben sie die mit der Szene Polynom 2. Grades Star für Funktionen zweier für sich die Forderung aus und das ist ein gesehen haben und zwar gerade ist nicht klar was im Vergleich mit einer verändern der sich der Erkenntnis dann wieder was dieser Termin macht dass es macht mit einer veränderlich zur aus und ist klar der Funktionswert an der Stelle an der das ganze aufziehe los die Ableitung an dieser Stelle mal wie weit sich aus dieser Stelle aus
Durch was für eine veränderliche auf den verbrauchen siebeneinhalb ist wichtige des klar es muss quadratische 1 x 6 0 Quadrat die 2. Ableitung das ist einer der sich das halbe dass es mehrere ableiten kommen die 2. Ableitung von diesen Link eine Stelle 0 soll der zweistellig von 0 sollen die zwar auf die Ableitung der 2 wieder gut zu machen dass wir die habe in einer verändert sich es kann man das der für der durchgehend übertragen den 1. sowieso schon so lange Kunst das ist einfach die Funktion an dieser Stelle
Zentrum der schön 2. hatten wir auch das hat sich jetzt selbst Jahren die Ableitung zum Grad die schwarze Seele im Speziellen Ableitung also die erst nach dem x an der Stelle des Y 0 die nach die Y steht es nun y nur dass der Markt und hier steht jetzt als Vektor geschrieben nix minus 6 0 Y es zu hatten wir das bis dahin ist es die tangentiale mit aus und Skalarprodukt linear Funktionswert Schuss während mal über die weglege mit Vektor geschrieben aus der steht Stelle ist dann sind es ja Leben nicht es jetzt ein 2. treiben umso quadratischen auszugehen zu kriegen Sie bisschen basteln Sport in nächster Zeit noch natürlich seine arbeitet entstehen bleiben das ganz komisch wenn dass nicht stehen bleibt es kommt die Hessen Matrix Schabbes innerhalb nicht von er kommt es zur Matrix die von alle partiellen Ableitungen zweifacher als jene Ableitung diese Matrix ist wenn alles Zahlenwerte sie setzen wir 1 5 3 5 3 5 3 der 4 welche Zahl wird aus Zahlenwerte
Diese es Matrix des von der Kühler dass man die von der einen Seite mit X X von sich selbst multipliziert und von der anderen Seite des Ergebnisse steht Skalarprodukt mit minus X und Y und die ziert das wäre das analoge zu schmieden aber aber das kann warum werden und das kann man auch was Fürchterliches werden dessen die Einrichtung auf geht in die andere Richtung quer dazu runtergeht sagte es er kann auch unitär mehr hier sehen Sie dann das insgesamt zusammen gilt als sicher nicht nicht mehr das Quadrat einer Länge sondern steht der linken Seite diese Differenz Vektor Skalarprodukt also Matrix auf der rechten Seite noch nochmal der für den 2. Endeffekt steht Quadrat der darstellt als Vektor vertrat und dazwischen stehen die 2. Ableitung des das Ganze aber so organisiert ist dass Matrizen Vektoren hinaus haben sich das unmittelbar einleuchtend dass das so sein muss eigentlich müssen sind noch 2 Stunden richtig einmal geschrieben haben das ist man sehen wie sowas aussehen kann also wenn man das allgemeine werden die verschwiegen haben Verallgemeinerung ist geht es ja eine Ebene das hatten wir schon mit dem Patienten und im nächsten Schritt kriegen sie hier die 2. Ableitung einer Matrix des Matrix und sie 1. Matrix sagten Eigenwerten ob aufgeben oder runtergeht und die beiden Richtung Eigenvektoren sie wollen sagen mir welche Richtung müssen stärksten rauf und runter geht so kann man das anvisierte was mich also interessiert ist
Ob diese es Matrix 2 positive einen Werte hat wenn sie positiver Werte hat Degradieren 0 ist 0 Direktor des Horizontalebene Und die 1. Matrix war positiver Werte hat auch das Muster ist ein lokales sein weil es in jede Richtung auf aufgeben wenn die Tangentialebene heutzutage ist die 1. Matrix 2 negative Werte hat muss das sogar das Maximum sein was die Belichtung abwärts geht von den Punkt da hat man jetzt ein hinreichendes Kriterium sei nicht das Matrix ausgerechnet habe und die Stelle des Jahres zwar positive Werte Und gerade diese 0 Vektor Gröschel bisher 2 negative Werte und das ist nun Vektor dann kann sie wirklich handfest Aussagen über sogar das Maximum der der Grad der 0 Vektor ist und die 1. Matrix einen positiven als wird hat und einen negativen Eigenwert hat dann weiß ich dass kann ich nichts von alledem sein das kann Maximum noch Damit kann man nicht alle Fälle erschlagen das sein des erlaubt nur entstehen zum Beispiel über die Funktion u Balance an dieser Stelle ein zu Vaclav die Stelle des nur dann weiß ich nicht allgemein steht der nicht des Aussagen treffen Starrsinn Aussage man so eine Matrix der positive einen Werte hat den einen Wert und sparen Sie einen einen der positiv ist ein einen negativ ist also ich habe einen Matrix ist der Mann als
Das ist Situation eines zwischen 2 und zwar Und jetzt möchte ich wissen ob die Eigenwert zu beide positiv sind hat 2 Eigenwerte größer als nun oder 2 Eigenwert Kleiner als dann habe ich wirklich eine Chance auf sogar das Maximum kann dass man bei allen wird größer sind als nun die Chance auf den beider Seiten wird negativ sind schon auf lokales Maximum ist die also nicht abwärts darf werde ich für ein die was das mit der Determinante zu tun hat als die können Sie das Unterdeterminante aus es irgendwann war Monaten mal dran sind die beiden Richtungen 1 und die andere Richtung Wallander zwar werden die Flächen Wallander 1 mal anders wahrgenommen bietet die Determinante ist das Produkt der eigenen nicht unter 10 Jahren als die ist die die der Determinante das Produkt Eigenwerte beide ein wird größer sind als nur oder bei der alten wir kleiner sind als 0 dann ist die Determinante also größer als 0 positive Zahlen positive Zahl positiv negative Zahl negative Zahl positiv ansonsten wenn einer 0 ist in eine negative ist bei eine negative ist eine positive Grundstimmung raus oder was kleiner als 0 wenn die Determinante größer ist als 0 dann kann nicht sicher sein dass einer von den interessanten fehlen aufgetreten ist dass beide Werte größer sind als oder bei kleine das immer vorausgesetzt es sieht es nur Tage ist dass man jetzt insgesamt einmal als Flussdiagramm auf den ist es hat sie ich möchte prüfen auf ein lokales Maximum für Europa lokales Maximum an der Stelle x 0 y dann mach ich folgendes besteht gerade die dieser Stelle also beide partiellen Ableitungen denken Sie an dieser Stelle aus aber 2 Zahlen das ist dann prüfe sich ob dieser gehört der gleich 0 ist was machen Sie wenn diese nicht gleich 0 ist genau dann ist die Antwort nahe des kann gar
Und ist mir wirklich so als Ausgabe nach ist die Antwort ist kann kein lokales Maximums die damit sage ich nichts schief Spalten nun Rektor Internetseiten nicht schief dann kann es nicht Ein lokales Maximum lokales man sein so aber die Tangentialebene horizontal Jahr begann gleich 0 ist dann bestimmt nicht die 1. Matrix doch dargestellt stehen ist Matrix an dieser Stelle 4 Zahlen so nächster Schritt oder ob ich mir die Determinante des Matrix ist die Determinante Matrix
Kleiner als 0 frage ich als solche wenn die Determinante kleiner ist als die des Landes das Produkt der beiden ein erzählt die Determinante kleiner ist als nur die dem des Matrix wie die kleine nur an eine positiv eine negative ich muss diese Situation mit den sagte sein das kann kein lokales Maximum sein die Antwort ist immer die Determinante gleich 0 ist das als nächstes mal gucken was sich aufgeschrieben habe das besteht Schnee oder sich fragen ob die Determinante größer ist als so ist die Welt nannte größer als 0 wenn sie hier sagen nein dann kann ja nur noch die Determinante geeinigt 0 sein und die Antwort lautet weiß nicht schon zwischen die Funktion einer der beiden ein wird ist 0 bis müssten wirklich die beiden Eigenwert ausrechnen und abweicht Arbeitergruppen oder höhere Ableitung ankucken auf jeden Fall geht sogar das war auf die Schnelle nicht weiter wenn dagegen die Determinante größer ist als 0 dann weiß ich ob beide Eigenwerte sind positiv oder bei Werte sind negativ ist kann nun auf dieses auftreten bei positiv oder dieses auftreten beides sind negativ ich interessiere mich für das sogar Maximum und jetzt gibt es einen Trick guckt sich der Matrix linken oberen wird der positiv absurderweise den der positiven ist sind diese Situation automatisch beider Seiten der der positiv ist links oben links oben größer als nur das kann man einfach mal durchfechten ist es war die Rechnung also eine allgemeine Matrix auf dann sehen Sie dass die Gruppe dann in der Situation steht oben links eine Zahl die positive ist das der Fall ist hart ist großartig gekriegt weil ich suche nämlich nach Maximum ok das Maximum wir machen weil es auf 1 jetzt so Frage beschrieben also vom eine Zahl steht nicht größer ist als 0 ist die Antwort der der 2. positiv ist sind beide werden positiv ich diese Situation das heißt Antwort ist nur eines ist kein Maximum der links oben etwas Negatives steht nur ganz dann nicht mehr sein welches die von 0 kann es nicht mehr sein der das negative steht ist die Antwort klar glaube ich es ist ein lokales Maxima für vom natürlich dementsprechend umgekehrt hier die beiden jahrzehntelang vertauscht das sind also nur von letzten Schritt aber festzustellen sind die beiden ein den positiv müssen sie beide negativ vorher haben 7 bis sie keine sagen horizontal hat dies Matrix 2 einen mit dem gleichen Vorzeichen und dann ist der letzte Schritt der Vorzeit ob das ist die Schema formal das Rezept vom auf lokaler Maxima beziehungsweise das auf
Variable
Punkt
Extrempunkt
Stellenring
Orbit <Mathematik>
Maximum
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Länge
Variable
Extremale
Maximum
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Richtung
Computeranimation
Variable
Partielle Differentiation
Vektor
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Richtung
Computeranimation
Ebene
Computeranimation
Lösung <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Physikalischer Effekt
Gleichgewichtspunkt <Spieltheorie>
Maximum
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Richtung
Linie
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Matrizenmultiplikation
Symmetrische Matrix
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Ebene
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Eigenwert
Computeranimation
Richtung
Formalismus <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Gradient
Skalarprodukt
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Verschlingung
Zahlenwert
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Gradient
Ebene
Länge
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Vektor
Eigenvektor
Computeranimation
Richtung
Quadrat
Skalarprodukt
Eigenwert
Verallgemeinerung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Punkt
Matrizenmultiplikation
Eigenwert
Aussage <Mathematik>
Maximum
Vektor
Computeranimation
Richtung
Gradient
Negative Zahl
Positive Zahl
Determinante
Eigenwert
Flächentheorie
Stellenring
Maximum
Partielle Differentiation
Zahl
Computeranimation
Richtung
Computeranimation
Matrizenmultiplikation
Determinante
Maximum
Zahl
Computeranimation
Negative Zahl
Verschlingung
Matrizenmultiplikation
Determinante
Vorzeichen <Mathematik>
Eigenwert
Extrempunkt
Maximum
Ableitung <Topologie>
Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 22.3 Extrema von Funktionen zweier Veränderlicher, Hesse-Matrix
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2011
Anzahl der Teile 92
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/10286
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Video ist Begleitmaterial zur folgenden Ressource

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