17.1 Fourier-Reihe mit Sinus und Cosinus
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 92 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10270 (DOI) | |
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Content Metadata
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Mathematik 2, Sommer 201165 / 92
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LAN partySineFunction (mathematics)CoefficientAngleOscillationDot productRoundingPhase angleFrequencyWind waveFactorizationAbsolute valueLengthPartition of a setPeriodenlängeComplex numberSineFourier seriesCW-KomplexFourier-KoeffizientComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Wie kommt man jetzt von diesem Gebilde zu Sinus und Kosinus? Das habe ich eigentlich versprochen. Das Foyer hat erfunden, wie man eine Funktion zerlegt in sinusförmige Wellen. Das ist ziemlich gradlinig. Eigentlich muss man hier nur das hinten mit Euler zerlegene Kosinus und Sinus
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und anders zusammenfassen. Ich schreibe das nochmal von vorne hin. Ich schreibe die Nummer 1. Nochmal die Foyer-Synthese hingeschrieben. Meine Funktion wird synthetisiert, gebildet, wie in der Chemie etwas synthetisiert,
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indem ich diese E hoch so und so Funktionen überlagere. Damit wird sie synthetisiert.
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Dafür brauche ich hier die richtigen Foyer-Koeffizienten. Das ist die Analyse. Da brauche ich die richtigen Foyer-Koeffizienten. 1 durch T, das haben Sie eben gesehen. Das kommt ganz nett daraus. Über eine Periode integrieren. Jetzt sticke ich einfach nur das Skalarprodukt.
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1 durch T ist schon Bestandteil des Skalarprodukts. Über eine Periode integrieren. Diese hier komplex konjugiert, mal meine Originalfunktion. Das waren die Foyer-Koeffizienten. Hier steht Sinus und Kosinus drin, verkappt. Hier steht Sinus und Kosinus drin, verkappter Form.
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Es ist kein Wunder, wenn man das jetzt so umschreiben kann, so hin und her schreiben kann, dass hier nachher nur noch Sinus und Kosinus übrig bleiben und nicht diese am Anfang etwas ungewöhnlichen E hoch, sonst wie Schwingungen. Ich schreibe das Ergebnis mal direkt hin und dann gucken wir uns an, wie das zustande kommt.
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Das Ergebnis wird folgendes sein. Meine Funktion ist, wenn ich das hier raffiniert zusammenfasse, hier steckt Sinus und Kosinus immer drin. Der Sinus der n-fachen Frequenz, der Kosinus der n-fachen Frequenz. Wenn das n negativ ist,
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ist es der Sinus der minus-n-fachen Frequenz, das ist aber Minus Sinus. Auch wieder etwas mit dem Sinus. Wenn das n negativ ist und hier mit dem Kosinus, Kosinus minus n, ist das selbe wie Kosinus plus n, mal zwei Pi und so weiter. Das heißt hier taucht einfach immer nur Sinus von so und so viel, Kosinus von so und so viel auf.
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Was anders kann nicht auftauchen. Fast. Wenn n gleich null ist, steht hier eins. Das ist der Gleichspannungsversatz. Dieses C0 dient dazu, um das Ganze rauf und runter zu schieben. Bei n gleich null steht hier null.
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E hoch null macht eins. Ich addiere einfach C0. Das C0 ist die Gleichspannung. Das, was Sie auf dem billigen Voltmeter ablesen, wird C0 werden. Ansonsten stehen hier immer Sinus und Kosinus als Faktoren dabei. Das schreibe ich jetzt hin, was aus der Überlegung resultiert.
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Erstmal die Gleichspannung, was das billige Voltmeter anzeigt mit einem zappelnden Zeiger. Ich lese einfach dessen Mitte ab. Die Gleichspannung, dass man die so komisch schreibt, dass man die hier als Hälfte von irgendwas schreibt, nicht als A0, sondern als A0 halbe, das macht nachher eine andere Formel einfacher.
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Hat sich so eingebürgert. Bin ich nicht für zuständig. Hier steht die Gleichspannung. DC, Direct Current, der Gleichstrom hier eigentlich, DC, die Gleichspannung steht da, die hier bei C0 steht, wenn n gleich 0 ist.
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Und jetzt muss ich Sinus und Kosinus überlagern. Das muss so etwas werden wie n gleich 1 bis unendlich in passenden Anteilen den Kosinus, natürlich auch hier wieder entsprechend auf die Periodenlänge gebracht, 2 Pi n mal T durch Groß T
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und den Sinus, bei dem es gerade etwas eng wird.
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Egal. Plus Bn den Sinus mal 2 Pi nT durch Groß T und Klammer zu. Das können wir nochmal.
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Oder auch nicht. Du weißt ja gar nicht, dass es so schwierig ist, hier einen Land zu malen. Na ja, Sie ahnen, was ich malen will. Sinus und Kosinus wählen aller möglichen ganzzahligen Frequenzen brauche ich. Die stehen hier hinten drin. Plus bei 0 den Gleichspannungsversatz.
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Das muss geben. Die Frage ist nur, was sind jetzt die Ans und Bns? Das sind jetzt die handelsüblichen Fourier-Koeffizienten. Das hier ist die Fourier-Reihe mit Sinus und Kosinus. Eben hatten wir die komplexe Fourier-Reihe. Das hier ist die Fourier-Reihe mit Sinus und Kosinus.
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Und diese Ans und dieses Bn sind da die Fourier-Koeffizienten. Sie sehen, dass das anscheinend eher erfunden worden ist.
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Die heißen Koeffizienten. Die heißen A und B und die aus der Komplexen heißen C. Lässt ganz haarscharf darauf schließen, dass die später erfunden worden ist. Die ist eleganter für komplexe Schreibweise. Man muss erst einmal drauf kommen. So sieht das aus.
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Ich möchte meine Funktion zerlegen in einen Gleichspannungsanteil und dann Kosinus und Sinuswellen zusammengebaut. Eigentlich hatte ich mal sinusförmige Schwingungen versprochen, aber wenn Sie hier den Kosinus und den Sinus zusammennehmen, haben Sie ja immer noch eine sinusförmige Schwingung. Dieser Frequenz auch.
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Hier sieht man jetzt auch direkt die harmonischen, das hatte ich in Audacity gezeigt. Grundwelle, Oberwellen. Das hier wäre Gleichspannung. N gleich 1, 2 Pi Klein t durch Groß t. Für N gleich 1 kriegen Sie die Grundwelle. Die einfache Frequenz.
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Eine Schwingung mit der Periodenlänge Groß t. Für N gleich 2 doppelte Frequenz. Periodenlänge ist die Hälfte von Groß t. Hier kann ich also tatsächlich die Frequenz ablesen, wenn ich will. Ein paar Sachen noch.
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B fängt bei 1 an. N gleich 1 bis unendlich. B fängt bei 1 an. A fängt bei 0 an. Und die As stehen mit dem Kosinus und die Bs mit dem Sinus, nicht umgekehrt. Und das ergäbe das hier keinen Sinn. Wenn Sie hier 0 einsetzen, Kosinus mal 0, ist das 1.
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Das passt zu der Gleichspannung. Das hier vorne kann kein B0 sein. Das muss ein A0 sein. Gleich sehen Sie, warum A0 halbe. Das ist ein bisschen affig. Bei der komplexen Fourier-Reihe war in diesem C die Amplitude
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und die Phase beides versteckt. Die Amplitude ist der Betrag von dem Cn und die Phase ist der komplexe Winkel von diesem Cn. Wenn ich das Cn aufmale, die Länge davon sagt mir was zur Amplitude, wieviel insgesamt von dieser Schwingung dabei ist, und der Winkel von diesem Cn sagt mir was zur Phasenverschiebung.
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Diese komplexe Zahl hier hinten wird hier um diesen Winkel gedreht. Sollen Sie bei Zeigerdiagramm bei den Kollegen gesehen haben. Und hier unten ist das etwas anders. A n B n zusammen
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sagen mir was über die Amplitude der Oberschwingung mit der einfachen Frequenz und das Verhältnis von A n und B n sagt mir was über den Phasenwinkel. Der ist hier wirklich übel versteckt, der Phasenwinkel. Da muss man ein bisschen mehr graben, um den rauszukriegen.
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Noch zwei rechentechnische Anmerkungen, wenn man das hier hat, auch selbst wenn man nicht sofort Formeln für A n und B n angeben kann, kann man sofort ein paar Sachen ablesen. Nämlich, wenn f, da steht im Skript, wenn f eine gerade Funktion ist,
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wenn f eine gerade Funktion ist, also eine Funktion, die symmetrisch zur Y-Achse liegt. Also zwei Bedingungen, sie soll periodisch mit Period T sein, und sie soll obendrein gerade sein, das heißt sie müsste sich
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hier dann auch schon wiederholen, hier müsste sie sich so wiederholen. So eine Funktion, symmetrisch zur Y-Achse und obendrein natürlich Grundannahme periodisch mit der Period T. Wenn das der Fall ist, können Sie hier ablesen,
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dann kann der Sinus nicht dabei sein. Der Sinus ist ja an der Stelle antisemitrisch. Es kann nur der Cosinus drin sein. Das würde nicht hinhauen. Wenn die Sinuswellen drin wären, stellen Sie sich vor, diese Welle wäre da drin. Die wäre einmal positiv auf der Seite, wird aber das selbe ergeben auf dieser Seite, obwohl sie
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negativ ist. Das kann nicht hinhauen. In so einer Schwingung kann kein Sinus drin sein. Also wenn F eine gerade Funktion ist, dann weiß ich alle BNs sind null, ohne sie ausgerechnet zu haben. Es kann kein Sinus
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dabei sein. Wenn F eine ungerade Funktion ist, Sie ahnen es, wenn F eine ungerade Funktion ist, obendrein dazu, dass sie die Period T haben soll, wenn F eine ungerade Funktion ist, ich versuche das nochmal aufzumalen,
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eine ungerade Funktion, die Period groß T hat. Ungerade Funktion muss immer durch den Ursprung. Das soll es natürlich jetzt punktsymmetrisch tun, so was. Das wäre eine ungerade Funktion, punktsymmetrisch am Ursprung.
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Dann muss sie hier natürlich wieder so laufen, wegen der Periode. Und hier muss sie wieder so laufen, wegen der Periode. Dann muss ich die angucken, wenn da ein Kosinus drinnen wäre, in dieser Welle ein Kosinus enthalten wäre, müsste sich hier der Kosinus
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insgesamt zu einem positiven Wert mit dem anderen Kram und hier insgesamt zu demselben, aber negativen Wert. Das kann nicht sein. Wenn die Funktion ungerade ist, weiß man sofort, dass alle Anteile von Kosinus und der Gleichspannungsanteil Null sein müssen. Es geht nicht anders.
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Das kann man so direkt ablesen. Ohne hier tatsächlich die A1 und B1 berechnet zu haben.