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09.5 homogene lineare DGL 2. Ordnung

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Ich hatte schon gesagt dieses Verfahren wird das geht auch für höhere Ordnung hier 2 - gilt y 42 - steht gar nicht ganz spezielle Lösung eine spezielle Lösung des Problems Form mit dem ist aber bestimmen und die allgemeinen der von den von der zur die Stadt die allgemeinen sind der nur Form wie sie der steht das neue Bild seziert für 2. Ordnung das ist das was in der klassischen Mechanik vorkommt Differentialgleichungen 2. Ordnung aber schon gesehen dass wir dürfte das wieder des übliche Beispiel Massenware Beschleunigung ist glaube ich aber dass die Federkonstante des - die Kraft aus der Feder - Federkonstante man Auslenkung - die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit der vom gleichen Modellgleichung ist wieder ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung bisher zweimal abgeleitet maximal sie ist ja steht nicht x vorab hier steht nicht sinusförmig Punkt haben und sie sogar den ja mit konstant Koeffizienten vor dem
In Form einer Funktion stehen nur Konstante Zahl und sie ist sogar 8 und warum ist das eigentlich die so sowas hier einen Jahreszeit ist nichts so los ist es dann ist gleich 7 bis minus 4 bis dann nach ist der 1. homogen 7 8 die Mobilität und durch steht ist es von und nicht nach einer der Zahl der steht die keine von einem Unbekannten haben die von Unbekannten und dann obendrein vielleicht nach einer eine Zahl die keine 4 was von Unbekannten ist das wäre dann die Mobilität und wenn die ist wenn es nicht geht dann ist es um bei denen der fast ein Jahr Differentialgleichung das man kein sie bei den Jahren Anzahl Gleichungen dasselbe dies hier ist vom umgehen sonst mal meine besuchte Funktion abgeleitet sonst meinen man eine Funktion die gesuchte ist und hier steht das von eine gesuchte Funktion das ist die Homogenität der 0 ständig der Experte hat des homogene hätt ich nur Vielfacher meiner tionen eine Ableitung dies ist also homogen steht nichts wie plus Sinus fand das wäre Humor den 1. stehen ist das von den 3. Ableitung wieder um und war nicht nur Vielfacher eine gesuchten Funktion und deren ableitet und so hier stets ist auf Probe es muss nicht zwangsläufig gleichen durchstehen die ganz natürlich und Form des die diese beiden gewann das der gleich 0 steht nichtsdestotrotz ist das eine homogene lineare Differentialgleichungen es gibt keinen absoluten tja soll bei einer vorsichtig klarmachen dass sie die alle der Variablen ist es ist nun die gesuchte Funktionen und c ist die unabhängigen Variablen ist es die abhängige gesucht variable die schon die gesuchte Funktion x ist die gesuchte Funktion der Stelle und C ist die unabhängige Variable war das anders verwirrenderweise da das bei der Gleichung also Vorsicht einer Stelle ihren Namen Geist ist die unabhängige Variable und des Verbs waren bei den Besuch Funktion kann ich leider nicht sparen dass das ist so durcheinander haben Mathematiker als sind häufiger mit x und XY unterwegs und die Physiker denken gerne Ort und Zeit das dann einer durcheinander also gucken Sie wonach abgeleitet wird Punkte durch die wesentlich offensichtlich Punkt überstehen haben Sie die Situation der Physiker ist wird derzeit abgeleitet
Habe ich die Situation diesen der Mathematik häufiger ist der x geleitet ok na dann ist es immer schon was eine Anfangsbedingungen ist Anfangsbedingungen und was muss sich ein den um es dieser gibt da gleich bald rechnen zu können ich größten sich kennen am Start des Vorgangs das ist ich wissen Ort von einer Anfangszeit 0 sag ich mal und die Geschwindigkeit von meiner Amtszeit die nur das ist es was einfach nicht beiden meist 30 ließ es nämlich weitergeht für alle Zeiten hier bei so einer Differentialgleichung 1. Ordnung müsste ich eine einen der aber haben zu einem x 1 Zähler und aus könnte der sofort die Ableitung bestimmen können es auch sich obendrein noch die die Ableitung meiner gesuchten Funktion
Statt Jetzt kann man aus dem Bauch heraus hoffentlich auch sofort schon Spalten was der sinnvoller Einsatz ein viele was sind voller Einsatz für die CSU und die was würden Sie erwarten was der Wahl also allein aus der Anschauung muss man schon ist muss was sie muss von derzeit vorkommen sinnvollerweise dass sich Oszillation drinnen habe und es sollte was mit Abklingen vorkommen hoch minus irgendwas mit der Zeit durch würdig erwarten aus dem Bauch zu einer sinusförmig Schwingung und die wird moduliert mit einer abklingende Exponentialfunktion das Licht aber Menschen sieht nach dem Ort wo es gibt es nicht stimmt aber so darum wird erst man schreiben netterweise Kommandos etwas allgemeinen schreiben so das ist auch wirklich funktioniert nun die auch noch sowieso oder vor sich gerade mit der ich mit vielleicht nicht mit betonte ein starten siehe Zeit 0 einsetzen wenn sie einmal den Sinus die Kinder ein einschalten wollte mit den anstatt schon vor literweise kann ich das viel knapper schreiben viele ganz die komplexe Zahlen denke die kann ich das eine einzige Form klatschen schon vorbei der Romeo Werbefenster das offizielle 1. Ordnung war schon der Einsatz vielfach ist von hoch minus 1 vielfach zunächst Exponentialfunktion das funktioniert dass auch ein Vielfaches von ist es jetzt lendenlahmen da mal die Zahl der sich vielleicht fragen ja aber hallo gibt es los von ist jetzt der Siemens ist in seine komplexe Zahlen sich vorgestellt von 2 plus 3 mal die Zeit dann habe ich ja wo 2 bezahlt man 2 Gewalt aber die Zeit 3 aber die Zeit ist Urlauber Cosimos von Gewalt plus als von Gewalt war aber ist es das der groß auch noch mal mit dieser Formel habe ich all das erschlagen zu einem gewissen Grade ist der Preis ist dass sich plötzlich Zahlen mit und statt des stellt der nicht ausbezahlt werden also in dem ich erlaube daß dieses Land komplexes ist und dieses AG die Amplitude der sich die Amplitude ist und ob komplexe wird gar nicht dass sich auch wenn sie das jetzt wesentlich billiger und muss natürlich nach wegdiskutieren dass dieses immer dann anderweitig möcht natürlich keine Schwingung die sie mit dem Geld soll keine Auswirkung von 3 Komma 9 Meter mal mehr haben was mich erblickte diskutieren aber mathematische soll zwar nicht so mit diesem Ansatz
Weil ich damit auch die irgendwas Sinus habe Und doch wird die Sache ziemlich einfach ist jetzt einfach diesen Ansatz einer dass das eine Differentialgleichung was wird aus Matrix 2. Punkt bei diesem Ansatz nicht x-Punkt Punkt zweimal das derzeit ableiten es kommt immer die Ableitung nach davon vor das heißt sie über x-Punkt vom steht einfach am Quadrat of Lamberti bei x-Punkt steht am lange eine Ableitung langsamen wird mit anderen Worten es zusammenarbeiten erst mal an der Quadrate und einmal ableiten heißt man lange das ist daher ich also aus dieser gleich 4 wird man aus dieser Gleichung wird von der Täuschung auf dieser Sitzung gemacht habe ihr steht Landtag Landtag Quadrats mal eine Funktion da bleibt es stehen und hier steht langsamer als Funktion natürlich möchte ich dass diese Zahl aber nicht nur ist die 0 der will die Lösung billig aber nicht nur des ist das x aber nirgends Wohnungen und kann nicht durch x Teile nicht geht es auf 12 überhaupt so setzen das ja das und im Teilen durch links der 6. raus und ich habe eine quadratische Gleichungen Landtag vertrat Gruppen nicht das sollte Kinos gehe den ich erst ist zwar bloß der durch den Masse langsamer wird durch die Masse ist gleich 0 ist es plötzlich eine quadratische Gleichung geworden aus Marmor der diesen Differentialgleichungen mit diesem Ansatz quadratische glaube ich einfach mal ableiten ein Land und kommt und ich dann dieses aber Lamberty das x wegdiskutieren quadratischen gleich verlangt wird im allgemeinen 2 Lösungen überraschenderweise gern auch mal 2 komplexe Lösungen das Tanzen Sinus und Hosen aus fast nur nicht schreiben welche beim das wirklich sind einfach mit den Formeln aber lange es gleich muss der durch 2 Probst wird es war Plusminus kurz zurück den Wert des Quadrats durch 4 Quadrant - der minus oder so muss ob zusammen aus so und so oder steht und jetzt kann man vorsichtig wieder einsetzen und so groß dass sie sie vom werden dieses Land einen imaginären Anteil hat wenn das Land dabei schoss Versuch der imaginäre Teil von dar der gleich 2 allgemeinen der gleich 0 ist dann weiß sich sollten schon vorgezogen weiß ich aber dass sie sich mit all das ich muss ein Oszillation habe es geht gar nicht anders Schwingung schon deutsche es muss eine Schwingung sein langsam ein Anteil hat sie es schon bestehen so besseren und sagen müssen sie allgemeinen sinusförmige Schwingung ist aber die Schwingung enthalten und und nebenbei kann man sogar sagen wann werden sollen sinusförmig enthalten sein wird wenn sie das Ablesen den dann muss ich noch mal erklären den anderen leicht mit von aber gleich 0 bin ich hier über dem Lande also als steht hoch 1 plus 2 wenn das Land das wirklich echt komplexes wenn das während der Controller spielen sagt das ist sucht war und zwar ist der Kosinus heute durch die Sinus 2. hier nicht mehr gezahlt dabei besteht bei dem Land dann nicht mit großen sie ist genau unter ansonsten ist es nun Exponentialfunktion ganz schlecht ist ist die das Land ein dieser Anteil hat Fenster was mit Kosinus Sinus zu schwingen und jetzt gar nicht hier ablesen wann der das eintritt 1. von der Form her war wird das hier Comdex werden recht komplex werden betonte der Wurzel eine negative Zahl steht kriege ich hier Plusminus Sohn zu viermal die also gerade die Wurzeln gebildet genau das was zu zustimmen die Wurzel wird nach was mit der Frequenz zu tun haben mit der steckt unter der größten eine negative Zahl steht entlang der recht komplex werden die derzeit ist gleich 0 und jetzt kann ich mir mal gucken was unter der Wurzel steht man wird das negativ für eine große Überraschung wenn die Reibung kleinen ist ist das hier dicht bei 0 das es erstmalig positive der wenn die Reibung groß ist sie diese der das Positive verhindert also die Schwingung der Album muss klar sein ok aber die Federkonstante sie sie die Federkonstante groß Ziele des ins Negative wunderbar die Federkonstante muss groß kleinerer eine große Federkonstante dann fängt der zuschwingen beziehen sich große umgekehrt sieht man die Federkonstante ein ist die Feder nicht der Strand ist und die Reibung groß ist das Ganze Wasser oder Honig durch für der ist auch nicht mit Schweden war würde Wurzel eine positive Zahl oder zumindest 0 steht der Welt kann muss keine Kosinus auftauchen wenn ich schon seit 10 schwarzes ist nicht immer auch ein sie schon geschrieben enthalten ist Siemens und dann enthalten 3. unter der Wurzel negativ zu wenig von 4 für viel viel Strom sparen dann das den zu schwingen ob das ist alles da man sich ankucken was der mit dem Alter ist der Alltag von anderen negativ ist schon zurück zu schreiben so jetzt in der Partei von der negativ ist das kann nicht sagen über das Verhalten von diesem aus
Auch wenn der Alltag verlangte negative steht so was beispielsweise wie hoch minus 3 plus die zahlt also von minus 13 mal was mit Kosinus Sinus großen uns nicht von wird immer schön zwischen minus 1 und plus 1 jeweils aber dieses ob es 2. wird der Abfall der Alltag von Land negativ ist habe ich einen exponentiellen aber vor auf jeden Fall wahrscheinlich moduliert jetzt was sie des Kosinus aber auf jeden Fall ein in der Abfall exponentielles Abklingen das auf jeden Fall aus
Abklingen Bahnen und wenn der alte als von Land größer wäre als nur was passiert da genau das Gegenteil von 3 Themen man Schwingung zum Beispiel ein exponentielles Wachstum wahrscheinlich moduliert sie groß
Januar schon aus dem Ausland alles was halten Sie von diesem Land sehr das Wachstum oder und ist klären ist es nicht ganz so einfach auf glauben mag diese 1. zerrende ist negativ der ist Trägerin des negativen ein konstant positiv ist nicht nur gut ist es nicht beschleunigt wenn ich durch die Luft fliegen das sehr lustig sehr hilfreich oder so funktioniert der mit gebremst wurde durch das ist es ja auch positive Reformen steht eine negative Zahl so weit so gut
Aber auch wenn wir unter der Wurzel keine negative Zahl steht ist die wozu auch der zart und die müssten wir überlegen ob die wird dass sich kaputt kann das Form ist in der Tat negativ auf hier etwas größer gleich 0 steht ist die Wurzel auch andere Zahl könnte mehr passieren bloß die Wurzel dass diese Summe wieder eine positive Zahl könnte man theoretisch nicht passieren war und und das steht kurz nach ist der stets die man von der Wurzel steht der 1. Termin war hart aber etwas weniger auf die Wurzel der niemals so groß werden wie durch 2 des Quadrat davonstiehlt - Position die Wurzel Betrag selbst wenn sie positiv ist war kleiner als der durch 2 das heißt es Plusminus-Symbol zum 8. das ist immer der vor allem für das steht haben auf diesem Fall kann nur Abklingen allerdings nicht ganz offensichtlich also so glauben warten müssen sich auch noch die wozu aber beim geht es sei denn sie schaffen es wieder zu bauen das ohne Reibung arbeitet
Haben Sie vielleicht die Chance hat auf der Kante zu Und würden sie Lust großen zu haben wir hoch 0 Zeit aus ok der hat also man also 2 Lösungen auf jeden Fall ist seitdem unter dem russischen zufälligerweise 0 müsse natürlich extrem Feineinstellung Wissenschaft dass die Federkonstante und die Masse und die die Gewalt und was und die Federkonstante so Zusammenspiel des 0 steht unter der Wurzeln ist bis heute können müssen bis und mehr nachdenken aber typischerweise der des nicht besteht auf 0 steht unter der wozu das heißt ich habe wieder 2 Lösungen die baldige sind oder 2 Lösungen über komplex sind aber niemals genau eine Lösung in der Praxis beide werden funktionieren weil kann nicht einsetzen zu wollen wir sagen wir ein 202 ich kann beide einander 1902 einsetzen und Lösungen für 9 Differentialgleichungen sind komisches wo ich jetzt vor Lösungen und möchte ich einer allgemeinen Lösung der Trick ist folgende ich nehme mit die eine Lösung mit einem beliebigen vielfach komplexe Zahlen und die anderen Lösung in einem beliebigen vielfach komplexe Zahlen und die allgemeinen das ist die allgemeinen Lösung für diese Linie habe von den homogene der Differentialgleichungen gucke mir an was sich was passiert wenn ich diesen Ansatz mache nur langsam als sie dieses war aus unendlich gar nicht diesen Ansatz oder finde eine quadratische Gleichung die hat aus wenn ich die Städte erwischt Starbacher diese quadratische gleich 2 Lösungen Zweifelsfälle oder zwar komplexe Lösungen wie bei den komplex sind ziemlich Kosinus rein sonst hab ich nur so der 10. Abklingen und ich kann diese beiden Lösungen Schichtende begreifen bis sie das jetzt einsetzen die Originale Differentialgleichung Gesetze möchte das so und so viel war die 2. Ableitung Bus und sie war die 1. Platte Songs über die Funktion wollen wir bestimmt dafür gestimmt dafür bestimmt auch zusammenaddiere und damit habe ich 2 Integrations konstant was das Zeug ist das ist zu den Bogenschießen zum der anfangs zu der Anfangsbedingungen aber ich möchte eine Lösung bauen typischerweise die genau aber eine bestimmte mit einer bestimmten Geschwindigkeit zu einer vorgegebenen Zeit startet das für versichert selig die allgemeine Lösung gefunden ich verlange einfach dass das funktioniert so das an soll also die Höhe zurzeit 0 stehen und es soll die Geschwindigkeit zurzeit 0 Stimmen einfach einsetzen als die ein Integrations konstant bei der ein 2. 0 schließt die durch die Integrations konstant hoch und war wohl für die Löhne und für die Geschwindigkeit dass für die Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit muss überlegen was passiert wenn ich dachte Zeitableitung sich die Geschwindigkeit ist seit diese Lösungen derzeit aber an der 1 kommt ein davor das weit bei dem andern vor aber 1 und 1 und 1 los als wird zwar dieser Art an Bedingungen was ist das eigentlich mit den Begriffen schon hat
Mathematik hängt alles mit allem zusammen das ist ja ausgleichen System dieses ist der ausgleichen System für 1 und zwar um sie was der steht jemand gibt vor es soll zu Staat Zeitpunkt bei 10 Zentimetern sei mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde die beiden sind gegeben Lander 1 aber ausgerechnet Ausmaße Federkonstante und wird es auch noch so konstant treiben aber lange 1 aus 102 aus dem ten ist der Zeitpunkt gegeben hat vor zum Zeitpunkt 5 Sekunden durch diese diese Geschwindigkeit ab es also Rückgangs der ist bekannt dass das ist bekannt dass es der gesucht ist nicht mein richtige Lösung zusammenmischen kam aus Bruchlandung sonst ist es Gesuch dieser Anteil ansatzweise komplexen Amplitudensieb und die sind gefragt und damit einen Ausgleich ist für die bald eine Zahl ist weil ich meine eine unbekannte man eine Zahl muss man einen anderen kann man eine Zahl und das noch einmal mehr als Gleichungssystem 2 gleich 2 für diese Art eines 2. Band das genau eine Lösung von genau auf einen eine Kombination eines als war das Lösen kann man sich damit als dreiste Determinante von Samarra sie an gucken ob 1 0 2 und die einige Sachen die Determinante von diesem kann nicht mehr dieses gleich hat genau dann eine eindeutige Lösung die nannte aus sind einige Sachen hier gleich 0 ist weil sich jetzt die mit der Ankunft 1 0 Landtagswahlen und und dann sind Sie genau dann nicht 0 werden danach 1 nicht 2 eindeutige Lösung mit eindeutiger Lösung eindeutig Lösung zusammen der 1 und gleichsam der 2. in den üblichen Fall aber ist auch eine eindeutige das heißt es reicht mir mit diesen beiden Lösungen die nicht gefunden habe die Reichen und tatsächlich jede Lösung zu bauen nicht sich anfangs werden damit den die beiden das gefunden habe tatsächlich verschieben sich jetzt Anm. an der Stelle der meinte ich den Namen Heuhaufen erwischt und unter der Wurzel tatsächlich 0 stehen sollte Mustern jemand mit Mikrometerschraube alles eingestellt haben wir mit der Warnung für Bohrschrauber als eingestellt haben das geht natürlich in Wirklichkeit nicht auf 0 aber praktisch 0 dann aber das Problem dass ich hier 2 gleichen anders rauskriegen und das Ganze auf diese Weise nicht richtig gut funktioniert
Es gibt einen Trick für den Fall also lange 1 gleichsam nur 2 sein sollte viel und und somit vom auch gestellt hat und ob man es geschafft hat alle Größen so exakt einzustellen dass es stimmt dann gibt es einen Trick man die allgemeine Lösung steht das als allgemein Lösung folgendes ich schon mal der einst Einsatz der 2. Slums einfach und alle die von des was allgemeinen Lösung ein Vielfaches des nannte ein Vielfaches von waren nur mal die der eine werde mich gefunden habe bloß ein Vielfaches von CD war damals die die dasselbe lagen war das eine lange aber sich gefunden haben und diesem ein Ausnahmefall Fichten und unterweisen Lösung indem man Verantwortung wieder zum Spaß so Nachrichten auf nicht viel Spaß dem ist auch Ausnahmen für man kriegt das ist eigentlich nicht so eingestellt in der Wirklichkeit man entweder bei 2 komplexen das oder bei 2. ellenlangen das aber dass man genau einander als Sohn aber eigentlich Wirklichkeit nicht eingestellt aber auch wenn man ungefähr in der Ecke ist kann man trotzdem mit dieser gleich 4 rechnet für diesen ein Ausnahmefall als allgemeine Lösung hoch den 100 gefunden hat man über seine Lust an der Seite weil Themen die oder über an den Eigenwert Qualität von als Hausaufgabe wenn sie nach dass das gilt Drama damit hat man die allgemeine negative Zahl Gleichungen 2. Ordnung mit konstanten Profis die homogene ist was uns aus dem erledigt muss einfach für die Masse und die Federkonstante und die Angst konstant richtigen Werte
Dann ist das Thema durch vielleicht bis sie außer der negative Zahlen ist die mit derselben endlich hätte man da war der in der kommenden Woche damals ist der Einsatz der Jahr homogen Konstante Koeffizienten 1. Ort und 2. Ordnung setzt einfach Exponentialfunktion und gucken was passiert
Geschwindigkeit
Punkt
Koeffizient
Kraft
Reibungskraft
Ordnung n
Federsteifigkeit
Computeranimation
Sinusfunktion
Physiker
Punkt
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Computeranimation
Lineare Differentialgleichung
Variable
Mathematiker
Exogene Variable
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Geschwindigkeit
Mathematik
Anfangsbedingung
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Computeranimation
Sinusfunktion
Komplexe Ebene
Abklingen <Physik>
Meter
Schwingung
Exponentialfunktion
Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Computeranimation
Sinusfunktion
Positive Zahl
Punkt
Quadratische Gleichung
Federsteifigkeit
Exponentialfunktion
Gleichung
Frequenz
Differentialgleichung
Zahl
Computeranimation
Lösung <Mathematik>
Negative Zahl
Quadrat
Differentialgleichungssystem
Schwingung
Ableitung <Topologie>
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Sinusfunktion
Abklingen <Physik>
Computeranimation
Schwingung
Orbit <Mathematik>
Computeranimation
Negative Zahl
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Summe
Positive Zahl
Quadrat
Negative Zahl
Position
Betrag <Mathematik>
Abklingen <Physik>
Zahl
Computeranimation
Geschwindigkeit
Abklingen <Physik>
Quadratische Gleichung
Kante
Federsteifigkeit
Differentialgleichung
Gesetz <Physik>
Computeranimation
Linie
Desintegration <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Anfangsbedingung
Differentialgleichungssystem
Höhe
Platte
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Geschwindigkeit
Lösung <Mathematik>
Determinante
Mathematik
Verweildauer
Meter
Formation <Mathematik>
Gleichungssystem
Federsteifigkeit
Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Computeranimation
Mathematische Größe
Negative Zahl
Eigenwert
Gleichungssystem
Federsteifigkeit
Ecke
Computeranimation
Computeranimation
Konstante
Negative Zahl
Koeffizient
Vorlesung/Konferenz
Exponentialfunktion
Computeranimation
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 09.5 homogene lineare DGL 2. Ordnung
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2011
Anzahl der Teile 92
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/10243
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Technische Metadaten

Dauer 32:03

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

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