Vom Namen her Algebra, die Lehre von den Grundrechenarten in der Schule, die Lehre von dem Rechnen mit Buchstaben, aber dann in der Mathematik eher die Lehre von den Grundrechenarten und wie man sie abstrahieren kann.

Lineare Algebra, die Lehre von den, wenn Sie wollen, Grundrechenarten für lineare Objekte, Graden, Ebenen, entsprechende dreidimensionale Geschichten, insbesondere Vektoren. Darum geht es die ganze Zeit in der linearen Algebra, um Vektoren und Matrizen.

Wozu braucht man Vektoren und Matrizen, will ich Ihnen zumindest jetzt schonmal grob andeuten. Das offensichtliche, analytische Geometrie. Im Unterschied zu der Geometrie mit Zirkel und Lineal.

Nicht Sachen aus Papier malen und dann abmessen oder auf den Papierschnittpunkten konstruieren und so weiter, sondern Sachen berechnen. Das ist die analytische Geometrie. Wie kann ich Figuren berechnen? Und das macht man natürlich sinnvollerweise mit Vektoren am einfachsten.

Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Punkte auf der Ebene, wahrscheinlich den gegeben, den gegeben, zum Beispiel in Koordinaten gegeben. Eine billige Frage wäre, wie weit sind die beiden voneinander entfernt? Das hatten wir eben schon gerade im Seminar.

Angenommen, ich wüsste noch einen Winkel hier an dem ersten Punkt, könnte ich mich fragen. In einem bestimmten Abstand, diesen Abstand gegeben, wo finde ich diesen Punkt? Was sind dessen Koordinaten? Und so weiter und so fort. Also Rechnungen mit Winkeln, Längen, Flächen. Was ist, wenn Sie ein übeles Polygon haben

oder vielleicht ist dann sogar noch ein Halbkreis angesetzt an das Polygon. Wie groß ist die Fläche von so einer Figur? Da bin ich mit Zirkel und Lineal und Geodreieck ein bisschen aufgeschmissen. Wie kann ich sowas berechnen? Das macht man sinnvollerweise mit Vektoren. Geometrische Rechnungen passieren mit Vektoren. Werden Vektoren ja schon, stellen Sie sich einfach hier zum Beispiel kanten Vektoren vor,

stellen Sie sich einen Vektor vor, der hier zum Mittelpunkt zeigt, stellen Sie sich hier Vektoren vor. Offensichtlich lässt sich das in Vektorechnung übersetzen. Das ist das Offensichtliche, was man mit den Vektoren macht. Das nächste Spannende ist die Mechanik. Da haben Sie ja denke ich auch schon Massivvektoren gesehen.

Angenommen irgendwo sitzt mein Ursprung. Ich habe ein Radiusvektor. Hier fliegt irgendein Stückchen Materie durch die Gegend. Dieser Radiusvektor heißt vielleicht X. Das ist dann auch der Ortsvektor von diesem Stückchen Materie, was da durch die Gegend fliegt. Und dieses Stückchen Materie sollte ich anders malen.

Speedlines heißen die übrigens bei den Cartoonisten. Dieses Ding hat anscheinend eine Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit ist auch ein Vektor. Wenn Sie ganz aberwitzig sind, können Sie von den beiden

auch noch ein Kreuzprodukt bilden. Diesen Ortsvektor, Kreuzprodukt, die Geschwindigkeit. Und kriegen dann so etwas raus. Ein Vektor, der senkrecht auf den beiden steht, der etwas mit einer Drehung zu tun hat, ist eigentlich nicht wirklich ein Vektor, sondern, ich heiße ihn gerne auch mal Pseudo-Vektor,

mal gucken, ob ich darauf komme, so etwas zu erklären. Offensichtlich, wenn Sie Physik beschreiben wollen, physikalische Systeme beschreiben wollen, nehmen Sie Vektoren dafür. Auch eine grundlegende Aufgabe mit der linearen Algebra. Die lineare Algebra beschäftigt sich eben mit Vektoren und Matrizen. Offensichtlich kann ich in der Physik daraus lernen, wie Vektoren und Matrizen funktionieren und das anwenden.

Erst mal in 3 Dimensionen oder vielleicht in 2 Dimensionen, wenn es einfach nur auf einem Blatt Papier auf einer Ebene stattfindet. Dann aber auch in viel höheren Dimensionszahlen, wenn ich irgendwelche mechanischen Strukturen, Bauwerke analysiere.

Das wollte ich aufmalen, ich wollte eine Brücke aufmalen. Ich weiß nicht, ob mir das gelingt. Das übliche Beispiel ist immer ein Auto, das vor irgendein Hindernis gefahren ist und deshalb ein bisschen verbeult ist. Nehmen wir vielleicht eine Brücke.

Wie kann ich eigentlich berechnen, was so eine Brücke tut? Wie sich eine Brücke verhält? Was passiert, wenn über diese Brücke ein Schwerlaster drüber fährt? Wie reagiert eigentlich die Brücke darauf? Analog, was passiert mit dem Auto, wenn Sie es von Hindernis setzen? Weitere Geschichten wären Wärmepflüsse im Haus und andere Sachen.

Aber typischerweise guckt man sich erst mal solche mechanischen Objekte an. So ein mechanisches Objekt rein anschaungsmäßig lebt in einem sehr hochdimensionalen Raum. Hier habe ich offensichtlich drei Dimensionen. Ich komme irgendwie mit Länge, Breite, Höhe zu Rande.

Gleich genauer, was Dimension eigentlich heißt. Hier brauche ich mehr. Stellen Sie sich vielleicht vor, dass Sie das aus lauter Punkten zusammenbauen, die verbunden sind. Jeder dieser Punkte wird durch drei Koordinaten beschrieben. Stellen Sie sich vor, Sie haben 100.000 Punkte. Dann haben Sie zum Schluss 300.000 Koordinaten, um das zu beschreiben. Das ist dann so etwas wie ein 300.000-dimensionales Gebilde, wenn man will,

weil Sie 300.000 Zahlen brauchen, um das zu beschreiben. Das wird dann gerne auch tatsächlich als 300.000-dimensionaler Vektor aufgefasst und verhält sich dann, wenn man rechnet, wie die üblichen dreidimensionalen Vektoren. Analog gibt es auch wieder dann Matrizen.

Es gibt sogar ein Skalarprodukt. Es gibt kein Vektorprodukt mehr, aber ganz viele Sachen. Die Länge eines Vektors lässt sich dann übertragen. Man rechnet in der Wirklichkeit selten mit solchen Punkten. Was man sich zum Beispiel anguckt, sind Moden, Eigenschwingungen dieser Brücke.

Zum Beispiel kann es sein, dass diese Brücke gerne so schwingt, zwischen dem und dem. Ich weiß nicht, ob man sich das vorstellen kann. Dass der rauf und runter schwingt, der hin und her schwingt. Stellen Sie sich so eine Brücke aus Gelee vor und Sie tippen die an.

Wie würde die schwingen? Die wahre Brücke schwingt natürlich nicht wie Gelee, sondern auf einer ganz anderen Zeitskale und auf einer ganz anderen Längenskale. Das werden nicht 10 Meter sein, hoffentlich nicht, sonst haben wir ein kleines Problem, sondern vielleicht nur 1 Millimeter. Aber nichtsdestotrotz wird die anfangen zu schwingen. Was sind solche Eigenschwingungen?

Solche Moden von Brücken oder Windturbinen, um Stabilität zu untersuchen. So etwas kommt dann nachher bei den Untersuchungen heraus. Diese Moden für sich bilden auch wieder Vektoren in einem sehr abstrakten Sinne.

Dann werde ich am Rande darauf eingehen, das ist ein bisschen heftig, aber ich werde versuchen, am Rande darauf eingehen, dass diese Schwingungen für sich ähnlich verhalten wie Pfeile. Das sehen wir dann. Also komplexe Systeme beschreiben, hochdimensional.

Damit zusammenhängt dann, wie ich gerade schon angedeutet, das Rechnen mit Funktionen als Pfeile, mit Funktionen als Vektoren. Das hat sich in den vergangenen Semestern immer als arger Klimtsuch herausgestellt. Ich weiß nicht, ob ich dieses Semester mal ein bisschen besser bringe. Ist eine sehr abstrakte Geschichte.

Funktionen verhalten sich so wie die Pfeile. Ich kann Funktionen addieren, ich kann Funktionen mit Zahlen multiplizieren. Ich kann Funktionen in andere Funktionen zerlegen. Stellen Sie sich einen Vektor vor, Sie können einen Vektor in andere Vektoren zerlegen. Ich kann diesen Vektor in zwei Vektoren zerlegen, oder warum nicht noch in mehr, von mir ist auch in den und den zerlegen.

In drei Vektoren zerlegen ist vielleicht nicht gerade so sinnvoll. Vektoren kann ich zerlegen. Funktionen kann ich auch zerlegen. Das ist das Spannende. So ein Signal, irgendein Messgerät misst irgendwas. Hier ist die Zeit, da ist der Ausschlag. In welchen Richtungen, was auch immer, gerade von mir aus wird hier Spannung gemessen. Da wird die Zeit gemessen.

So ein Ding zerlegen in andere Funktionen. Vielleicht etwas Sinusförmiges und noch etwas anderes Sinusförmiges. Das sind wir gleich auch noch mal. Wäre ganz analog zu der Zerlegung eines Vektors in andere Vektoren. Eine Funktion in Vektoren zerlegen. Ich kann auch Funktionen mit irgendwas multiplizieren.

Ich kann Funktionen addieren. Gucken wir uns den Detail an, weil das ist nachher extrem wichtig. Zum Beispiel bei der Folie-Analyse. Um zu verstehen, was da tatsächlich passiert hinter den Kulissen. Das sind die vier großen Punkte, die mir einfallen zu linearer Algebra.

Erstmal die Geometrie. Figuren berechnen. Die Physik. Wenn es richtig kompliziert wird, Komplexe Objekte. Dann in extrem hohen Dimensionszahlen. Und zum Schluss Signale zerlegen. In andere Signale Funktionen als Vektoren auffassen.

Eine eher abstrakte Geschichte. Am Rechner. Es gibt noch einen kleinen Nebensatz. Im Rechner, was die Numerik angeht, das Rechnen angeht. Beschäftigt man sich vor allen Dingen mit solchen Geschichten. Was passiert, wenn ich die Systeme habe, die in Hunderttausenden, in Millionen, zig Millionen von Dimensionen leben?

Wie kann ich damit rechnen? Also zwei dreidimensionale Vektoren zu addieren. Und deren Skalarprodukt zu bilden und sowas. Das ist einfach. Was machen Sie, wenn hier eine Million Zahlen stehen? Und das Ganze soll x-tausendmal pro Sekunde passieren. Irgendwie ist das nebenbei auch etwas, was in Spielsoftware gerne passiert. Wenn Sie irgendwelche Physiksimulationen haben.

Wenn Sie da irgendwas kaputt treten können oder kaputt schießen können. Passiert ähnliches da. Das wird die lineare Algebra sein. Der nächste Punkt, abstrakt überschrieben, sind die dynamischen Systeme.

In der Mathematik versteht man unter dynamischen System. Ein Modell, dem ich einen Anfangszustand gebe. Ich sage, wie es losgeht.

Und dem ich eine Regel gebe. Wie es ab dem Anfangszustand weitergeht. Und dann weitergeht und weitergeht. Wie komme ich von einem Zeitpunkt zum nächsten? Ich weiß, wo es losgeht. Und habe eine Regel, die sagt, wie ich von einem Zeitpunkt zum nächsten gehe. Das heißt, mit dieser Regel komme ich vom Anfangszustand zum nächsten Zustand. Dann wende ich die Regel nochmal an.

Komme zum nächsten Zustand. Wende die Regel nochmal an zum nächsten Zustand. Und so weiter und so fort. Ziemlich abstrakte Geschichte. Erstmal. Ganz konkret geht es um sowas. Wenn wir sehr großspurig sind, Klima. Sonne und Regen.

Wie verhält sich das? Luftmassen bewegen sich durch die Atmosphäre. Werden aufgeheizt. Verlieren Wasserdampf und so weiter und so fort.

Alles hängt mit allem zusammen. Das ist ein dynamisches System. Ein sehr kompliziertes dynamisches System. Es gibt theoretischerseits einen Ausgangszustand. Wenn Sie jetzt wirklich wissen, was der Luftdruck, was die Lufttemperatur, was der Wassergehalt und so weiter und so weiter an jedem Punkt ist.

Und dann auch noch wissen, was die Sonne gerade tut und so weiter. Das wäre Ihr Ausgangszustand. Dann gibt es rein theoretisch physikalische Gesetzmäßigkeiten, die sagen, wie es ab da weitergeht. Ein dynamisches System. Ein ziemlich kompliziertes dynamisches System. Börse.

Im Prinzip ähnliche Geschichte. Nur wird man wesentlich mehr Zufall noch reinbringen müssen, weil man garantiert nicht alles weiß. Hier könnte man im Prinzip noch messen. An der Börse wird es echt schwierig mit dem Messen. Was machen die einzelnen Leute? Was sind Ihre bevorzugten Aktien?

Oder worauf achten Sie bei irgendwelchen Kursen? Wann Sie kaufen, wann Sie verkaufen? Man kann zumindest versuchen, Börse mit dynamischen Systemen zu modellieren und damit Vorhersagen zu treffen. Das ist natürlich, was die Börsenmacher interessiert. Was soll ich jetzt kaufen? Was soll ich verkaufen? Was wird morgen passieren?

Also habe ich dann zumindest ein Modell als dynamisches System. Es wird nicht allzu gut hinhauen, aber man versucht es zumindest. Deutlich besser funktioniert es in der Chemie, bis auf so und so viele Stellen nach dem Komma. Sie beschreiben zum Beispiel, was da ...

Das ist jetzt eher eine Wanne geworden als ein Reagenzglas. Machen wir mal einen Erlmeyerkolben dort. Sie beschreiben, was in Ihrem Erlmeyerkolben passiert, indem Sie sagen, was die Temperatur ist, was ist der Druck, der da von außen drauf wirkt,

was für eine Konzentration von Salzsäure und was weiß ich herrscht da drinnen. Das wäre ein Anfangszustand. Und dann haben Sie Gleichungen in der Chemie, die Ihnen sagen, die denn die verschiedenen Komponenten da drinnen miteinander reagieren. Und schwupps haben wir ein dynamisches System. Das dann beschreibt zum Beispiel, wie sich irgendwelche Konzentrationen entwickeln,

weil da Enzyme drin sind zum Beispiel, die irgendwelche Reaktionen befördern. Und in der Regelungstechnik, so eine Maschine hat natürlich einen bestimmten Zustand.

Was für eine Drehzahl hat der eine Motor, was für eine Drehzahl hat der andere Motor, um welchem Winkel befindet sich gerade irgendein Rad, was da drinnen ist, oder irgendeine Rührmaschine, wo ist gerade der Rührer, bei welchem Winkel. Auch da, Regelungstechnik, haben wir dynamische Systeme.

Die meisten, ich kann nicht sagen die meisten, was man sich üblicherweise als dynamisches System anguckt, wird durch Differentialgleichungen beschrieben. Und darum geht es eigentlich, wenn ich hier schreibe, dynamische Systeme, ich sage ein bisschen was Allgemein zu dynamischen Systemen,

aber das, worum es eigentlich dann im Kern geht, sind Differentialgleichungen. Eine besondere Sorte dynamischer Systeme, die sollten Sie teilweise schon gesehen haben,

einmal in der Physik, jetzt schreibe ich hier nochmal Differentialgleichungen hin, also ein Spezialfalt dynamischer Systeme, in der Physik,

das übliche Beispiel, Sie nehmen eine Feder, hängen eine Masse dran, die Feder hat irgendeine Federkonstanze, die heißt dann gerne D, und ich messe die Auslenkung meiner Masse, vielleicht nicht in beide Richtungen, in irgendeine Richtung, messe ich die Auslenkung meiner Masse, nenne die vielleicht x, die Auslenkung,

und dann ist dann in der Newtonischen Mechanik auf die billigste Art die Masse mal die Beschleunigung. Wie kriegen Sie hier die Beschleunigung raus? Wenn Sie die Auslenkung einmal ableiten, haben Sie die Geschwindigkeit, wenn Sie die Geschwindigkeit ableiten, haben Sie Beschleunigung.

Die Auslenkung zweimal ableiten, das wäre die Beschleunigung, und in der Newtonischen Mechanik, nicht in der relativistischen Mechanik, und auch irgendwie nicht so ganz in der Quantenmechanik, aber in der Newtonischen Mechanik ist eben Masse mal Beschleunigung gleich der Kraft, die man anwendet, und die Kraft, die hier angewendet wäre, wäre minus die Federkonstanze mal die Auslenkung,

wenn man annimmt, dass diese Feder sich ordentlich verhält, linear ist, und nicht schon am Anschlag ist oder kurz vorm Zerreißen ist. Das sollte Ihnen schon mal untergekommen sein. Die Gleichung für das Federpendel, eine Differenzalgleichung, denn es kommt die Ableitung einer Funktion vor, die ich suche. Ich suche die Auslenkung, und hier kommt deren Ableitung vor,

oder sogar schon die zweite Ableitung, das ist der Prototyp einer Differenzalgleichung. Das ist natürlich ein dynamisches System, wenn Sie wissen, oh, das ist auch noch spannend, was muss ich eigentlich wissen, um zu sagen, wie sich dieses Federpendel in dem Modell bis in alle Ewigkeit entwickelt.

Was muss ich als Ausgangszustand wissen? Ort und Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt, das macht den Zustand aus. Wenn ich Ort und Geschwindigkeit für dieses Modell, das ist ja eine sehr abstrakte Beschreibung, mich interessiert nicht die Materialbeschaffenheit, mich interessiert nicht, ob die Decke irgendwann zerbricht oder was auch immer,

ein ganz billiges Modell eben nur. Und in diesem Modell müsste ich nur die Ausgangshöhe wissen und die Ausgangsschwindigkeit wissen, und dann kann ich ausrechnen, was das drei Millionen Jahre später macht. Ab da ist alles definiert. Es reicht nicht nur die Höhe zu wissen. Wenn Sie nur die Höhe wissen, mit der es losgeht,

kann es sein, dass der gerade auf dem Weg nach oben war, also so weiterschwingt. Wenn Sie nur die Höhe wissen, kann es aber auch sein, dass der gerade ganz doll auf dem Weg nach unten war, also so weiterschwingt. Es reicht nicht nur die Höhe zu wissen. Wenn ich die Geschwindigkeit habe, in netter Weise, bin ich im Spiel.

Ein ganz üblicher Effekt in der Physik, das werde ich auch nochmal ordentlich erklären, denn das hängt auch damit zusammen, dass hier zweimal abgeleitet wird. Darin kann man das dann schon sehen, was reicht, um so ein System zu beschreiben. Okay, das haben Sie hoffentlich einmal in der Physik gesehen, und dann sollten Sie es auch einmal in der Elektronik, Elektrotechnik gesehen haben.

Wenn ich einen Kondensator habe, oh, ein sehr schräger Kondensator, wenn ich einen Kondensator habe, und irgendwo ist er angeschlossen, ich messe die Spannung über den Kondensator, er hat die Kapazität C, und ich messe, welcher Strom reinfließt.

Kriegen Sie das so auf Anhieb zusammen, welche Beziehung zwischen den Dreien gilt? Das ist doch schon mal eine Beobachtung. Und wenn der Strom null ist, wenn hier nichts reinfließt, nichts rausfließt, dann ist die Spannung eine Konstante.

Denn sonst müsste ja was reinfließen oder was rausfließen. Natürlich beim wahren Kondensator fließt hier natürlich auch was dazwischen, aber durch die Luft und wie auch immer. Aber beim theoretischen Kondensator wäre das so. Wenn Sie keinen Strom messen, weder rein noch raus, dann muss wohl die Spannung gleich bleiben. Was könnte das mit Ableitungen zu tun haben?

Deshalb die Vermutung, der Strom hat was zu tun mit der Ableitung der Spannung nach der Zeit. Dann haben wir genau dieses Verhalten, wenn die Spannung konstant ist,

ist die Ableitung nach der Zeit null, und der Strom müsste dann hoffentlich null sein. Wenn die Spannung sich stark ändert, wenn Sie den Kondensator sehr schnell laden oder sehr schnell entladen, dann sollte ein sehr hoher Strom reinfließen, rausfließen.

Noch besser, wenn die Spannung sich nach oben ändert, wenn die Spannung wächst, muss der Strom positiv sein. Wenn die Spannung sich nach unten ändert, wenn der Kondensator entladen wird, muss der Strom negativ sein. Auch das passt. Die einzige Frage ist, wie ich das jetzt noch garnieren muss. Was wir noch nicht hatten, ist die Kapazität.

Wenn Sie bei gleichem Spannungsverlauf die Kapazität verdoppeln, stellen Sie sich einfach zweimal den Kondensator nebeneinander vor. Doppelte Kapazität gleicher Spannungsverlauf, dann sollte sich der Strom verdoppeln. Da kommt jetzt aus zwei Ecken derselbe Strom.

Doppelte Kapazität sollte doppelter Strom sein, und das Einfachste wird natürlich sein, das so zu machen. Und das ist es dann auch. Das wäre die Modellgleichung für den Kondensator. Der wahre Kondensator ist natürlich anders. Wie gesagt, da fließt auch Ladung so ab, er verhält sich nicht linear,

ab einer bestimmten Spannung schlägt er durch und so weiter und so fort. Ähnlich wie hier mit der Feder, die geht auch irgendwann kaputt, und die Masse wird auch irgendwann so kurz verreichend der Lichtgeschwindigkeit zerbröseln. Alles nur Modelle, aber in diesem einfachen Modell sieht das dann so aus. Eine Differentialgleichung. Die Ableitung der Spannung nach der Zeit hat etwas mit dem Strom zu tun.

Also sobald Sie was mit Wechselstrom haben, sind Sie bei Differentialgleichung, damit dann eigentlich auch bei dynamischen Systemen. Der Zustand hier, um den Zustand hier zu beschreiben, würde es mir sogar reichen, einfach nur die Spannung anzugeben.

Wenn ich die Spannung weiß, im Ausgangszustand kann ich typischerweise mit den ganzen anderen Sachen, die da drin hängen, den Strom berechnen. Wenn ich Strom halte, kann ich dann berechnen, wie sich die Spannung ändert. Also typischerweise reicht es dann einfach die Spannung zu wissen. Okay, das zu Differentialgleichungen oder ganz allgemeiner Oberbegriff dynamische Systeme.

Das wird uns einen größeren Teil des Semesters beschäftigen. Dann kommen die Potenz rein. Haben wir teilweise schon gesehen, aber jetzt dann eben nochmal sauber.

Die grundsätzliche Idee bei der Potenz-Reihe ist, Funktionen anzunähern, aber nicht mehr nur durch Tangentengraden, sondern ein bisschen professioneller. Wir stellen sich irgendeine Funktion vor.

Wir haben uns schon angeguckt, hatten wir eine Linearen-Näherung. Wir suchen mir irgendwo eine Stützstelle, zum Beispiel den Arbeitspunkt von einem technischen System. Bei welcher Temperatur, bei welcher Drehzahl, bei welcher Leistung arbeitet ein bestimmtes System,

typischerweise der typische Arbeitspunkt, und dann gucke ich mir oft an, was denn passiert, wenn dieses System nicht mehr ganz auf dem typischen Arbeitspunkt sitzt. Das einfachste, was man tun kann, ist eine Tangentengrade zu benutzen. Sie beschreiben das mit einer linearen Funktion. Wenn das Ding nicht mehr auf seinem korrekten Arbeitspunkt sitzt,

dann wird ein Temperatur oder ein Druck oder was auch immer, so und so vielmal die Differenz sich ändern. In Linearen-Näherung wäre das dann. Wenn es einem aber nicht mehr reicht mit der Linearen-Näherung, versucht man vielleicht eine Parabel dranzulegen.

Was wäre die beste Parabel, quadratische Parabel, die wir hier dranlegen könnten? Oder wenn uns das nicht mehr reicht, nehmen wir vielleicht eine kubische Parabel, ob euch das jetzt gerade etwas herausfordert? Keine Ahnung, vielleicht sowas. Wie rechnet es dann wirklich aus, was die beste kubische Parabel sein müsste? Und so weiter und sofort.

Was sind also die besten, in Anführungszeichen, muss man sich überlegen, was heißt das überhaupt, die besten, was sind die besten Polynome, die ich an so eine Funktion dranlegen kann, um die Funktion zu nähern? Manchmal ist es zu umständig, mit der kompletten Funktion zu rechnen. Manchmal hat man einfach die komplette Funktion nicht.

Wenn das hier nur gemessene Werte sind, haben sie diese Funktion auch gar nicht. Wo wir es schon gesehen hatten, andere Anwendung, ist, wie diverse mathematische Funktionen dann tatsächlich ausgedrückt werden. Wir hatten das schon beim Sinus gesehen.

Der Sinus von x, das ist x minus x hoch drei, sechste plus x hoch fünf, 24, 120, ja, minus, was weiß ich jetzt auch nicht mehr, sieben Fakultät plus x hoch neun, durch neun Fakultät minus plus und so weiter. Das haben wir irgendwo bei Euler und Konsorten schon gesehen.

Wenn Sie sich das angucken, das hier vorne ist die Näherung des Sinus durch eine kubische Parabel. Das hier ist die Näherung des Sinus durch eine Parabel, nicht Parabel, durch einen Polynom fünften Grades. Das hier ist die Näherung des Sinus durch einen Polynom siebten Grades und so weiter und so fort.

Das sind genau solche Kurven, wie ich sie hier dran gemalt habe. Diese Kurven hier oben heißt dann nachher Taylor Polynome. Das sind immer noch Polynome, Taylor Polynome und so ein Ding hier, was dann bis zum Endliche geht, ist dann ja kein Polynom mehr. Es hört nicht mit x hoch 42 oder was auch immer auf.

Es soll bis zum Endliche gehen. So ein Ding heißt dann Potenzreihe. Ein Polynom, das in Anführungszeichen bis zum Endliche geht mit den Potenzen, wird dann benutzt, um diverse Funktionen auszudrücken,

wie wir es beim Sinus zum Beispiel schon gesehen haben. Das will ich dann ausführlich erklären. Wie finde ich solche Polynome in der Näherung? Und wenn man es dann bis zum Endliche treibt, was machen diese Potenzreihen eigentlich für einen Unsinn? Die verhalten sich leider nicht immer ganz so, wie man es gerne hätte.

Vorletzter Punkt sind die Fourier- und Laplace-Transformationen.

Der Grundgedanke bei der Fourier-Analyse,

ist, Funktionen in sinusförmige Funktionen zu zerlegen, Signale in sinusförmige Signale zu zerlegen, Schwingungen, Wellen in etwas sinusförmiges zu zerlegen. Ein ganz bürdes Beispiel wäre so eine Trapezwelle

aus einem schlechten Wechselrichter, der eben leider keine ordentliche Sinuswelle kann, sondern nur so etwas ausgibt.

Was ist da denn jetzt eigentlich drinnen? Das ist die Sinuswelle, die ich eigentlich mal haben wollte, plus großes Fragezeichen. Und das kann man dann zum Beispiel mit den Fourier-Transformationen, in diesem Fall der Fourier-Reihe, Details später.

Das kann man dann zum Beispiel mit der Fourier-Reihe beschreiben. Dieses Ding hier ist eine periodische Funktion, denn das wiederholt sich hier regelmäßig. Darauf wendet man dann die Fourier-Reihe an. Dann sehen wir dann, was das im Einzelnen heißt.

Was dann passiert im Endeffekt ist, dass so eine Funktion in Sinus-Schwingungen zerlegt wird. Da steckt zum Beispiel offensichtlich diese Sinus-Schwingung drin. Das ist die, die eigentlich drin stecken sollte. So etwas würde ich, wenn das ein Wechselrichter ist, erst mal erwarten. Die gehört da rein, aber anscheinend ist da auch diverser Dreck dabei,

der da nicht rein gehört. Zum Beispiel, hier ist es mehr als in der Sinus-Schwingung. Und hier sollte es weniger sein als in der Sinus-Schwingung. Wenn Sie sich hier die Sinus-Welle vorstellen,

sollte es da mehr sein und da weniger sein als in der Sinus-Schwingung. Überlegen, da sollte er bleiben, hier sollte es etwas weniger sein, da sollte es etwas mehr sein.

Anscheinend sitzt da noch so eine Sinus-Schwingung mit drüber, um die Ausbeulung zu machen. Das wird auch noch nicht reichen. Wenn Sie das zusammen addieren, wird es auch noch nicht reichen. Ich brauche noch viel mehr sinusförmige Wellen, um diesen Verlauf zu bilden. Fourier hat herausgefunden, übrigens seinerzeit in der Thermodynamik, Wärmeausweitung hat er eigentlich gearbeitet,

hat herausgefunden, dass das immer funktioniert. Wenn Sie hier genügend von den richtigen sinusförmigen Wellen aufsummieren, können Sie praktisch jede Wellenform generieren. Darum geht es dann bei der Fourier-Analyse und Fourier-Synthese. Wie finde ich diese Wellen? Was ist in dieser Welle eigentlich für ein Sinus drin?

Doppelte, dreifache, vierfache Frequenz. Was steckt da eigentlich drin? Das Spektrum so einer Welle. Wenn das hier 50 Hertz sind, habe ich auch noch 100 Hertz, 150 Hertz, solche Sachen dabei, irgendwie stark. Mit welcher Phase ist es diese Welle oder ist es diese Welle, mit einer anderen Phase hin und her geschoben?

Das sehen wir, wenn wir insbesondere elektrische Signale untersuchen. Man kann das aber auch für Modelle anwenden. Wenn Sie zum Beispiel einen Tagesgang irgendeiner Klimagröße,

nein, erst einmal einen Jahresgang irgendeiner Klimagröße haben, also hier ist der erste Tag vorbei, da ist der zweite Tag vorbei, hier ist der dritte Tag vorbei, D für Day. Hier ist der vierte Tag vorbei. Wenn wir irgendeine Klimagröße, von mir aus irgendeine Stärke,

der Sonneneinstrahlung, was auch immer. Könnte man auch versuchen, zum Beispiel das als Überlagerung von Sinuswellen zu modellieren. Ist vielleicht nicht so ganz prickelt. Wäre aber ein erster Gedanke, wie man sowas bauen kann. Wie kann ich solche Funktionen generieren, abspeichern, verarbeiten?

Folietransformationen beschäftigt sich mit den sinusförmigen Wellen. Das sind die sinusförmigen Wellen. Man kann auch in andere Wellen zerlegen, aber die sinusförmigen sind die natürlichen. Die Laplace-Transformation. Schreibe ich das überhaupt hin? Nein, schreibe ich gar nicht hin.

Im Skript steht es noch ausführlicher. Die Laplace-Transformation sieht von der Formel her aus, wie die Folietransformation nur die komplexen Zahlen sind anders verteilt, wenn man will. Ein paar minimale Änderungen, dann wird aus der Folietransformation die Laplace-Transformation.

Die betrachtet man typischerweise nicht als Überlagerung von irgendwelchen Wellen, sondern die ist schlicht und ergreifend ein Trick, um Differentialgleichungen zu lösen. So will ich Ihnen dann auch zeigen, wie löse ich Differentialgleichungen durch Nachgucken in Tabellen. Das ist eigentlich nachher die Laplace-Transformation.

Ein Rechentrick für Differentialgleichungen. Ganz anders als die Folietransformation, bei der man sich wirklich vorstellen kann, wie Wellen zerlegt werden. Nebenbei, das hier ist dann auch die Anwendung für Funktionen als Vektoren. Wo war das? Diese Geschichte hier, Funktionen als Vektoren, dass ich eine Funktion zerlege wie ein Vektor.

Dass ich ein Vektor zerlege in Komponenten. Dass ich eine Funktion in andere Funktionen zerlege. Genau das wird hier verwendet. Eine Funktion wird in andere Funktionen zerlegt. Die verhalten sich wie Vektoren. Das hört sich am Anfang etwas haarsträubend an, zugegeben. Ich hoffe, das wird dem, über die Dauer dann etwas klarer, was da eigentlich passiert.

Jetzt ist demal sind die Funktionen mehr oder veränderlicher.

Bisher hatten wir ja so nette Sachen wie y ist gleich 3x plus 2. Ein x nur und das y kommt raus. Wenn Sie x kennen, kennen Sie y. Das ist natürlich nicht gerade praktisch. Denken Sie an Geografie.

Um Größen zu beschreiben, die irgendwo in der Landschaft verteilt sind, brauchen Sie zum Beispiel Länge und Breite. Die geografische Länge und Breite. Und bilden das ab von mir aus auf eine durchschnittliche Windgeschwindigkeit in einer Statistik.

Durchschnittliche Windgeschwindigkeit könnte sowas sein. Windgeschwindigkeit. Eine Statistik über den Sinn und Zweck oder die Nutzbarkeit von Windkraftanlagen wird sowas haben. Das wird eine Landkarte sein.

Eine Landkarte ist mir nicht gerade gelungen. Eine größere Landkarte. Deutschland zu zeichnen ist echt schwierig. Probieren wir Europa. Das ist auch nicht viel leichter. Probieren wir Afrika, genau. Eine Landkarte, die jetzt für jeden Punkt, in Anführungszeichen jeden Punkt, eingetragen ist,

was denn die durchschnittliche Windgeschwindigkeit ist. Das heißt, Sie haben eine Abbildung, nicht von einem eindimensionalen Ding, nicht von den reellen Zahlen, in reelle Zahlen, sondern Sie haben eine Abbildung aus der Ebene oder einem Stück der Ebene in reelle Zahlen.

Anders als bisher. Das lässt sich nicht mehr so mit einem Graph hinmalen. Wenn Sie sagen, zu diesem X gehört das Y. Das X hier hat zwei Dimensionen. Das können Sie hier nicht so aufmalen. Zum Beispiel Länge und Breite. Oder, nehmen Sie das ideale Gas.

Der Druck des idealen Gases Menge mal Gas konstant, mal Temperatur durch Volumen. Das heißt, dieser Druck hier hängt insbesondere von der Menge und von der Temperatur

und was heißt insbesondere? Hängt von der Menge, von Temperatur und dem Volumen ab. Das ist nicht nur von drei Variablen. Nicht einfach nur von irgendeinem X. Das lässt sich beim Westmühlen nicht mehr plotten. In der üblichen Art nicht mehr plotten. Ich zeige Ihnen ein paar Möglichkeiten, wie es sich doch noch plotten lässt. Wenn man mit solchen Situationen arbeitet,

und Sie sehen, die sind schon eher typisch. Eigentlich sind die eindimensionalen Fälle untypisch, dass etwas nur von einer einzigen Größe abhängt ist. Genauer betrachtet sehr untypisch. Eigentlich hängt alles, was wir betrachten, von wie die vielen Größen ab. Also schon zwei sind eher wenig.

Das ist eigentlich der typische Fall. Eine Größe, die betrachtet, hängt von X anderen Größen ab, nicht nur von einer einzigen Größe. Um damit sinnvoll umzugehen, zum Beispiel Minima Maxima zu finden, Volumen zu berechnen, braucht man entsprechende Hilfsmittel. Was heißen Ableitung und Integral

für solche Funktionen? Das ist dann das Ende dieses Semesters. Wenn ich zum Beispiel eine Funktion habe, die von zwei veränderlichen abhängt, das ist jetzt eng,

eine Funktion, die von zwei veränderlichen abhängt, könnte man sich zum Beispiel so vorstellen, zu einem X, das ist mein X, und zu jedem X und Y, finden Sie hier unten einen Punkt in der Ebene, und dann tragen Sie einfach den Funktionswert nach oben auf.

Das gibt es im fliegenden Teppich. So kann man sich zum Beispiel eine Funktion von zwei veränderlichen vorstellen. Nicht als Kurve, sondern als fliegenden Teppich. Und nun ist die Frage, was denn Ableitung und Integral nun bedeuten sollen. Die Ableitung hatte was mit der Tangentengrade zu tun.

Dieses Ding hier wird keine Tangentengrade mehr haben, sondern allenfalls eine Tangentenebene. Wie beschreibe ich so eine Tangentenebene? Dafür gibt es einen Hilfsmittel namens Gradient. Das ist ein Vektor, der hier unten irgendwo leben wird. Wahrscheinlich wird er es so zeigen. Gucken wir uns dann an. Der Gradient beschreibt diese Tangentenebene

und bildet Tangentenebenen. Bei zwei Variablen. Das wird die Ableitung werden. Und das Integral. Hier kann ich nicht mehr von A bis B integrieren. Ich muss vielmehr über irgendein Gebiet integrieren.

Das Integral breche ich also zwischen einem Gebiet und dieser Fläche. Was dann in zwei Dimensionen ein Volumen werden wird. Das hier unten wird dann ein Integrationsbereich sein. Nicht mehr von A bis B, sondern eine Menge im Zweidimensionalen.

Und das Ergebnis des Integrals wird dieses Volumen sein, mit Vorzeichen, keine Fläche mehr. Das wird dann das Ende dieses Semesters sein. Das ist wieder relativ einfach. Ich glaube, das ekligste sind die Differentialgleichungen. Nicht eklig, man muss sich reindenken.

Das meiste Reindenken verlangen die Differentialgleichungen und Fourier und Laplace. Deshalb habe ich die Funktion mit mehreren Veränderlichen als Ende gestellt. Partielle Ableitungen kommen da zum Beispiel rein. Das haben Sie ja schon gesehen. Insofern hoffe ich, dass wir da

einen friedlichen Ausgang des Semesters haben. Das soll dieses Semester passieren.