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24.4 Integration in Kugelkoordinaten, Kugelvolumen

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Integration Kugelkoordinaten der geht es also um Funktionen die dreidimensionalen das heißt ich kann mir das Ganze nicht so Firmen ist als Romeo und zwar auf einer Fläche vorstellen und fordert wird der haben also ich kann mir das nicht als Volumen und einer Fläche mehr vorstellen ich kann mir das zum Beispiel vorstellen Gesamtmasse die nicht aus der Dichter aus welchen zu sie haben einen mehr schicken hier 3 D so Brocken dreitägige das ist man der nicht man nicht für Masse sondern für die Menge
Dieses dreifach Integral über auf Funktionen von x y z des XY wird selbst Anschaulich für die ich mir und Physiker folgendes ich bitte
Mein Volumen in kleine Würfel auf kleinsten offiziell unendlich klein dass ich dann summieren sich persönlich wird das man so somit Fall rückwärts dann mir sich über das ganze Volumen x y z Punkt überwiegend nur 5 mal das Volumen des Würfels stellt links der selbst Option der selbst das war die Vorstellung also die zieht sich vom Markt für das Polarkoordinaten Sonne geht es um das Volumen eines Würfels allein Funktionswert würde das kommt zum Beispiel bei der Dichte vor sie habe das Land kommen mit diesem Volumen hier Vertrag quadratisches gut ein würfelförmiges Sandkorn hat dann dieses Volumen und wenn sie dann noch die Dichte des Stoffs Sandkorn wissen müssen sie insgesamt was dieses Sandkorn liegt den sich aufsummieren haben sie das Gewicht von ganz der Gedanke dahinter Boris Fust natürlich nicht Gedichte sein dass irgendwas
Das noch mal zur Vorstellung von dreifach Integral kartesischen Koordinaten und jetzt will ich das hinkriegen mit Kunden Koordinaten Sphäre schon Koordinaten ich möchte nicht lieber x y z sondern ich möchte über der Täter und viele Entwickler da kann man sich denselben Gedanken diese Gedanken wie hier machen es in 3 Dimensionen bisher Kläger zu zeichnen also ich muss überlegen was passiert wenn der Täter jeweils bis auf deren welches Volumen nicht dann aufgespannt auf dann kann ich dieses Volumen ersetzen
Programm das wird dann müssen um neue Seite so die Nummer 1 2 soll das so y zeigt den Umsatz soll sprach nach oben abwatscht sagte Sommer gerade nach oben heute noch mal eben so ist das gerade für den
Das ist Haar so jetzt habe ich irgendwo warum eine Funktion das Missverständnisse weiter wechseln sich nicht kommen so ist von und in Abstand er mit einem 2 Täter Vowinckel war wie weit ich ist aus dem Auto heraus gebe Und mit einem Azimut viel das ich Gruppen mir den Schatten auf der Grund geben so ungewöhnlich daß das klappt so dieser Winkel hier als Index zur Ebene gemessen dieser Winkel und platt auf dem Boden das bildet der Arzt Workshop über und doch gleich Luftleistung Punkt und ist die Frage was passiert wenn nicht etwas sie etwas und etwas was er wirklich Bei den Polarkoordinaten darüber Polarkoordinaten was passiert etwas nächsten zu war Butler was passiert wenn ich etwas an Erwachsene etwas an Phi welche Fläche wird aufgespannt wird mit einem Volumen welches Volumen nicht jeden von denen er der 4 etwas das mit dem er als noch im einfachsten den Namen des etwas ändern der hier radial ein Stück raus aber noch nichts was dazu sie vor könnte der dass sie ein bisschen unter gekippt nicht so dass das und ergibt sich als gut etwas dann klappt nicht das weiter nach hinten worum es quasi war sie so so läuft der als muss diese Richtung staatlich das Weiterungen sich das Vieh das Positive das ist nicht so dass das im Vierung die ich jetzt auf den Weg um die z-Achse drehen der das klar wenn ich die Verbindung von Maler
Der vor 2 rund zu der von das soll es ist anzunehmen dass die steht ist es ziemlich schwer Angelegenheit von schwer ist besorgt sind Romanen Gelegenheit zu zu suchen Gelegenheit wird das ist fast ein war die alle sehr klein sind diese Änderung wird das faktische mehr und mehr und auch kurz sie war es die Unterkante die Oberkante aus den Bereichen so Vorderseite gekrümmtes somit sind ist der seit der gekrümmt ist aber eigentlich sieht das aus wie ein war Und das ist Mitte Januar Näherung kann ich mit einem Pfade recht nicht berechnet das Volumen hier in den Jahren rund als das Volumen eines Quaders übersinnliche Platz haben diese Seitenlänge hier der diese Seitenlänge ist der ist immer das einfachste von und nach außen Polarkoordinaten war es auch das einfach sich die nach außen und der diese Seiten ist er jetzt können wir uns ankucken diese Seiten Dies sind 2 groß ist diese sollten das muss also für jeden Fall ein Vielfaches von dem Täter seien nicht die Tester doppelt so groß werden ist es die Strecke doppelt so groß
Das kann von Einheiten und die Stimmen gelöst ein als los dass eine Länge sein und dann muss er erstehen kann natürlich siebenmal mehr oder 98 Maler stehen muss wirklich einfach einmal seien aus dem selben Grund wie bei den Polarkoordinaten das aber das hier ist die 2. Bogenmaß das Bogenmaßes schneidig aus einem Kreis mit ist er gern mal die Täter aus das Aus einem Kreis mit Radius eines neuen Klaus bietet aus dem Kreis mit dem Erfolg Radius des erfasst war kommt er die Täter das mal wieder weg und sonst nicht zufolge wird so der ist auch noch diese Seite hier wird aber sich wenig die hier und Was ist das vielleicht wird es man machen dass es das ist Ihnen diese sollte hier und diese Seite sind das ist einfach nur Schatten ist oder ob es diese seitens der parallel zu also die wurde und ist seit es gut dass auch Bogen ist eigentlich kreisförmig genau guckt dank kann ich jetzt auf diese Längen kommen
Zu wechseln denke ich ist noch mal Täter ist noch heute etwa zu den daran das sich zu kompliziert wird als Täter dann habe ich das Verhältnis von Staat zu ist Sinus von derzeit das heißt dieser Schatten und hat er Sinus von Twitter das kann schon bei der Umrechnung vor ist die rechtliche und von selbst Koordinaten cartesische ist die Länge des Staates des kann ich sagen das hier ist das Stück und damit das Stück ist Abstand er Sinus Täter und ich denke die das muss also sein Abstand als Justitiar des so wird das werden so ein bisschen alsbald den Polarkoordinaten und damit galt das zusammen ich kann sagen was von ist also mit der Integral schaut war ganz von mit der gerade dann also wächst setzt folgendes das Volumen von diesem Bilde Gebiet
Nämlich nicht die Errichtung dann geh ich aber in die Theater Richtung eine Strecke von Attentäter Strecke von erbitterter und 4 Richtungen ich eine Strecke von der Sinus Delta definit also ob ich insgesamt noch war er macht er Quadrats musterte definiert das ist insgesamt 7 Nummer Kinder aus alsbald Polarkoordinaten das ist der Korrekturfaktor wenn sie eine Funktion des belgischen Koordinaten haben und die Koordinaten auch integrieren wollen Vertreter dann müssen Sie diesen Fakt oder zu Spalten etwa ziemlich 3. sonst werden sie Blödsinn
Das ist eigentlich und sich das mathematisch genauer Vogts ist das eigentlich Substitution ich recht wenig den Variablen XY setzt Variablen erteilt weil so der zum muss irgendwo die Ableitung vorkommen das ist jetzt nicht die Ableitung sondern die Determinante von ganz vielen Ableitung in der Tat kann man das als Ableitung ausrichten will muss sie sich wehren sich das lohnt sich nicht das Bildchen oftmals so klar so ist bis er Quadrat wenn sie sowieso raten wegen der Einheiten ich brauche Kubikmeter das müssen Kubikmeter werden teilte eine herzlose eine Meter muss irgendwo er Quadrat stehen was das haben wir nicht
An dass sie Sinus der aus etwas mehr Überwindung und sich über Licht und was ist jetzt ein die Länge des Schattens der Winkel sehr klein ist hier oben nicht oben und ich die denselben Winkel von habe ich zum Schluss ein kleineres Volumen als wenn ich hier und und den Wert steht der kleinen , aus auf den Siedlungsbau vor aber es gibt auch ein offiziell des können sich wundern die sogenannte Jacobi Determinante Muss ich mich vor weil es für den Alltagsgebrauch reicht so
Billiger Anwendung davon ist das Volumen bei Polarkoordinaten hat sich die Fläche der Kreisscheibe vorgeführt das das einfach wir jetzt für mich vor dass man mir mehr dass Probevolumen ganz billig ausrechnen kann
Das 11 ich schon dass wir ganz dreist das Volumen einer Kugel Radius der lässt sich gerne
Es war der Gedanke mit der dicht nicht nur über die wird mit Radius der Ursprung der er besteht so die über die Betrag ist der Ursprung persönlich über die USA sagen die diese eigentlich über die über das ganze Menschen würde man sagen wollte das Volumen der Kunde die gefühlte so sollte sagten die über die vor wird mit Radius der um den Ursprung Die x des Y wird selbst beseelt vorher mal 1 mal die Funktion eines Insiders als Gesamtmasse ist die Grabbers Gesamtmasse und die die als nicht vorstellen als es jedes Sandkorn dichte ein just ein Kilogramm pro Kubikmeter und nicht erst zusammen um die über richtig was insgesamt eine Dichte von einem Kilogramm pro Kilogramm pro Kubikmeter Mich das insgesamt zusammen sie mehr als Masse so und so viel Kilogramm heißt aber auch habe so Kubikmeter was aus ist die Zahl der Kubikmeter also rechtlich das wieder aus integralen über die Funktion eines oder war der Funktion ein und das Volumen zu haben
Das wird hier wieder fürchterlich noch viel fürchterliche als bei der Kreisstadt wenn sich überlegen wie das dann auch aussehen muss Das die geradewegs das nächste wird das Mittel der Wahl Y das äußere sich als ich habe selbst vorgegeben habe selbst vorgegeben und von der der vorgegeben und dann gucke ich welche x y dazu passender sind die x y zu den vorgegebenen sind lassen das heißt es gibt es ist y aus ein bestimmtes Ziel und wirklich mehr aus dann sind das die dazu passende so das durchbuchstabieren von Daten Star was ist der x während der was ist für dem der die wieder daher bitte aber es macht das integraler damit sie es häßlich nicht lösbar aber sie lässt sich in den 1. Koordinaten Kugelkoordinaten jetzt tatsächlich ich schreibe ich möcht dasselbe integrieren über das Volumen
Den gefüllten gefüllt Cobol vor Cube Die nicht so ganz aus wie das Volumen Des ist es
Die Funktion ist wieder 1 Ich die Krise über erarbeitet das aber Pharmazie das kommt dazu ausdrückt wo er Quadrat Siemensstädter der Täter die
Das kann man jetzt Schritt für Schritt von nach außen basteln das aus dem Gras über 4 viel läuft von Figur von die bis 2 Pi Erneuerung der Aktien des von 0 bis 2 viel
Männern brilliert Theater Theater läuft vom Nordpol bis zum Südpol obwohl Äquator sich vor das heißt von 0 bis 180 Grad von 0 bis pi läuft stellte so und haben wir das dann denn es gibt er natürlich und dann kam noch etwas weitere hat sie das die grauen läuft vom Zentrum bis zum Radio und das sind jetzt die gerade die Menschen sich lösen kann in der Mitte des Integral dafür Stammfunktion
In der Tat in der 3 Mal den sie musste es wird das immer konstant von 0 bis er
Macht aber so groß er hoch 3 3. Mal den Siemens Theater nun einsetzen würde und ich würde zudem und sind das Amt des gedacht habe jetzt kommt das Theater war
Hier für eine Stammfunktion dieses System Stammfunktionen für Chats Integration der Verzehr der Siemens wird zu minus Kosinus Attraktor bleibt hier steht so minus 3 in 3. wird Kosinus der Grenzen von 0 bis von Schily
Setzen wir doch ein bisschen nachdenken nicht pi Einsätze Kosinus von P ist als großen und ließ minus 1 Kosinus von ist minus Einsicht geführt die als - auch das 3. Mal minus 1 der bildete jetzt komme ich - - auf 2 Drittel großes von 0 muss ist 1 minus 3 3. mal 1 also schloß er war wird und sind über 2 Drittel der 3
Erstellt sind jetzt noch das zentrale
Ich die von 0 bis 2 2 Drittel der 3 D Phi sein
Stammfunktion
Da war die Schwaben einfach die hinter wenn sie hier ableiten wie er es konstant ableiten steht dass das Vorhaben das in den Grenzen des 2. und dann sind wir bei Resultat des auf Focus-Ausgabe 2 Drittel erhofft 3 mal 2 3 mal 2 einsetzen kommt aus dem nicht nur 2 4 macht zusammen 4 3. Klima erhob 3 des üblichen Resultat lässt sich ohne geometrische Tricks kriegen Focus Money gezeigt mit geometrischen Tricks dass man sich die Zylinder anguckt aus dem
Konus ausgestellt ist auf beiden Seiten Brauchen man alles nicht immer gut Koordinaten verstanden und und Koordinaten verstanden hat kann man diese die Spalten das gut
Ebene
Kreis
Länge
Punkt
Physiker
Sphäre
Quader
Zylinder
Pfad <Mathematik>
Kreisscheibe
Kartesische Koordinaten
Jacobi-Verfahren
Computeranimation
Gradient
Richtung
Mittelungsverfahren
Index
Variable
Quadrat
Kugel
Polarkoordinaten
Azimut
Statistischer Test
Meter
Abschattung
Substitution
Ableitung <Topologie>
Umrechnung
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kugelkoordinaten
Radius
Determinante
Fläche
Attraktor
Zahl
Maßeinheit
Dichte <Physik>
Integral
Strecke
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Menge
Würfel
Volumen
Gebiet <Mathematik>
Koordinaten
Aggregatzustand

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 24.4 Integration in Kugelkoordinaten, Kugelvolumen
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2011
Anzahl der Teile 92
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/10293
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Folgende Ressource ist Begleitmaterial zum Video

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