Noch mal ein kurzer Rückblick auf Fourier und noch mal Einstieg in Laplace. Also beim Fourier ging es darum, Wellenformen erst periodische, dann nicht periodische Wellenformen zu zerlegen in sinusförmige Wellen. Überlagerungen von sinusförmigen Wellen. Das war es beim Fourier.

Die Analyse beim Fourier hatte immer etwas damit zu tun, dass man Integral bildet, e hoch minus i und so weiter und so weiter, das Signal was zerlegt werden soll dt. So sah die Analyse beim Fourier aus. In der Regelungstechnik ist das alles eher ungeschickt.

Man möchte nicht ins Minus und Endliche regeln. Man hat keine Vorgänge, die beim Minus und Endliche starten, sondern Sachen, die im Endlichen starten. Irgendwann schaltet jemand das Licht ein. Irgendwann schaltet jemand eine Störung ein, was auch immer.

Das sind die Prozesse, die einen in der Regelungstechnik interessieren und für die ist die Fourier-Transformation nicht der Hit. Man kann solche Schwingungen, die eine halbe Unendlichkeit 0 sind, mit der Fourier-Transformation bauen, aber es wird nicht hübsch.

Viel raffinierter ist das gleich einzubauen, dass man nur Signale untersucht, die eingeschaltet werden. Für die war die Laplace-Transformation zuständig. Ich integriere jetzt von 0 bis unendlich, nicht über eine Periodenlänge. Periodisch wird hier sowieso nichts.

Ich integriere auch nicht von Minus und Endlich bis Plus und Endlich, sondern ich schalte zum Zeitpunkt 0 ein, also erst ab 0 bis unendlich. Und dann kommt etwas ähnliches wie bei dem Herrn Fourier, aber nicht mit dem i davor. Hier steht E hoch Minus S mal T.

Mein Signal heißt dann gerne Klein Y und nicht mehr Klein F. DT. So sah die Laplace-Transformation aus. Dieses S ist jetzt Variabel. Beim Fourier war die Frequenz Variabel. Hier ist jetzt dieses S Variabel. Und zu allem Ärger nimmt man das S dann noch aus den komplexen Zahlen.

Das heißt, hier hat man im Zweifelsfall exponentiell abklingende Schwingungen stehen hier vorne. Das Ganze ist eine sehr künstliche Angelegenheit. Man schreibt typischerweise nur diese Analyse hin, wenn Sie wollen. Das ist ja, meine Welle in irgendwas zu zerlegen.

Das ist die Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation rückwärts ist fürchterlich. Man überlegt sich nie genau aus welchen Wellen denn das jetzt zusammengesetzt ist. Man schreibt eigentlich nur dieses hier als formalen Trick hin. Man verwandelt sein Signal aus dem Zeitbereich von T in ein Signal aus dem Bildbereich, wie er so schön heißt.

Groß Y von S würde ich das hier nennen. Groß Y von S. Das macht die Laplace-Transformation heute. Die ganze Zeit benutzt man das als Rechentrick ohne genau nachzudenken, was denn eigentlich diese Rolle von dem S ist. Und wie jetzt dieses Signal aus irgendwelchen Funktionen zusammengesetzt ist.

Das ist beim Foyer deutlich klarer. Es wird immer aus sinusförmigen Wellen zusammengesetzt, Ende aus. Eine klare Vorstellung. Das hier, Laplace, ist eigentlich die ganze Zeit ein Heck in der Regelungstechnik, um mit solchen Signalen zu arbeiten. Man rechnet eigentlich immer nur in die eine Richtung, bildet dieses Integral und guckt dann in der Tabelle nach

oder erinnert sich, wie es denn rückwärts gegangen wäre. Das Ganze wird erst dadurch interessant, dass man diverse vereinfachende Regeln hat. Das erste, was ich Ihnen zeigen will, ist, wenn hier eine Ableitung steht, die Ableitung meines Originalsignals,

was passiert dann mit der Laplace-Transformierten? Man stellt sich heraus, die Ableitung wird mehr oder minder wegfallen, was die Sache einfach macht. Also, ich möchte Folgendes bilden. Die Laplace-Transformierte, e hoch minus st dt, aber nun nicht von meinem Signal, y von t, sondern von der Zeitableitung meines Signals.

Um das hinzukriegen, einfach wieder, was heißt wieder, wieder mal, fazielle Integration. Hier vorne steht eine Ableitung, das heißt, ich kenne eine Stammfunktion, y von t wäre eine Stammfunktion.

Dann will ich den hier ableiten, e hoch minus st, auch wenn s eine komplexe Zahl ist, ableiten. Es kommt einfach minus s als innere Ableitung nach vorne. Das wäre der erste Schritt zur faziellen Ableitung, den ersten integrieren, den zweiten ableiten.

Und dann finde ich da, das ist der Randterm, beide in der nicht abgeleiteten Form, also y von t mal e hoch minus st, beide in der nicht abgeleiteten Form, in den Grenzen von 0 bis unendlich.

Ich schreibe jetzt hier mal ganz dreist weiterhin unendlich hin. Das müsste man jetzt sauber mit Grenzwerten machen, das erspare ich Ihnen und mir. Minus das Integral in der umgekehrten Form, die unteren hier, y von t,

mal minus s, minus s, das kann ich ja netterweise davor stellen. Das Minus, dieses Minus, dieses Minus wird dann plus s, kann ich aus dem Integral rausziehen. Und hier steht e hoch minus st dt. Also hier der hier, minus s, e hoch minus st, das Minus s ziehe ich vorne vor.

Und dann erkennt man jetzt Folgendes. Hier hinten, nach dem s, steht einfach die übliche Laplace-Transformation, mein Signal e hoch minus st integriert, mal s dann dahinten. Also hier steht groß y von s.

Und hier vorne, wenn Sie in Anführungszeichen unendlich einsetzen, wird hoffentlich dieses e hoch minus st alles abschnüren. Tun wir mal so, als ob das da wäre, dann käme für das unendlich da 0 raus, das e hoch minus st schnürt das ab.

Wenn Sie 0 einsetzen, Minus, das am unteren Ende, steht da y von 0 mal e hoch 0. Das ist einfach y von 0. Und damit habe ich insgesamt, es kommt also raus, es ist minus y von 0 plus hier hinten s mal die Laplace-Transformierte.

Das ist so ein Kernstück dann später in der Regelungstechnik. Wenn ich die Laplace-Transformierte einer Ableitung bilde, das Signal abgeleitet, kriege ich das s-Fache der ursprünglichen Laplace-Transformation

minus den Anfangswert meiner Funktion. Das heißt, aus der Ableitung fehlt ein ganz dummes Produkt. Das macht nachher Differentialgleichungen einfach. Und das ist dann auch der Hauptgrund, weshalb man sich mit der Laplace-Transformation beschäftigt. Eine Ableitung hier, wird, wenn Sie die transformieren, zu einem Produkt.

Hier steht mal s. Aus der Ableitung ist ein Produkt geworden. Mit Produkten kann ich leichter umgehen als mit Ableitungen im Allgemeinen. Das ist, wenn ich die erste Ableitung bilde. Fußnote, bei Fourier geht das natürlich auch.

Bei Fourier ist das sogar noch schöner, es gibt keinen Randherr. Aber ich habe dann eben Signale, die auch schon aus dem Minusunendlichen kommen, zu unnötig negativen Seiten schwingen. Das will ich natürlich nicht an der Stelle. Mit dem Preis hier kann man leben. Es gibt noch diesen Versatz.

Die Ableitung ist nicht nur das Produkt, sondern versetzt um den Anfangswert hier. Mit höheren Ableitungen passiert dasselbe. Ich verwende die Regel einfach hier nochmal, die ich gerade gefunden habe. Wenn mein Signal nicht die Ableitung ist, sondern die Ableitung einer Ableitung. Also was ist die Laplace transformierte von der zweiten Ableitung?

Die zweite Ableitung, na schön.

Wenn ich die erste Ableitung nehme, die erste Ableitung eines Signals, war das Minus der Anfangswert plus s mal die transformierte von meinem Signal. Jetzt habe ich die zweite Ableitung. Ich lese die zweite Ableitung einfach als Ableitung der Ableitung.

Das heißt, hier vorne steht der Anfangswert der Ableitung und hier steht die Laplace transformierte der Ableitung. Ich mache den selben Prozess wie eben, nicht mit Y, sondern mit der Ableitung von Y. Der erste wird werden Minus der Anfangswert der Ableitung. Sie ersetzen überall Y durch Y Punkt.

Da muss das genauso durchgehen. Hier oben Y durch Y Punkt ersetzen, habe ich zweimal abgeleitet. Dann steht hier Y mit einem Punkt. Minus der Anfangswert der ersten Ableitung plus. Und jetzt brauche ich s mal die Laplace transformierte der Ableitung.

Wenn ich überall Y durch Y Punkt ersetze. Die Laplace transformierte der Ableitung haben wir aber gerade ausgerechnet. Das ist ja die Laplace transformierte der Ableitung. Also Minus Y von 0 plus S mal die Laplace transformierte von Y. So kriegt man das dann hin. Entsprechend für höhere Ableitungen, aber die kommen sowieso nicht vor.

Und dann haben wir insgesamt. Das ist Minus der Startwert der Ableitung. Minus S mal der Startwert der Funktion plus S Quadrat. Mal die Laplace transformierte, meine Originalfunktion.

Also im Endeffekt, wenn Sie die so und so vielte Ableitung Laplace transformieren. Steht da die so und so vielte Potenz von S mal die Laplace transformation der Originalfunktion. Minus so ein Büschel an Randtermen mit den so und so vielten Ableitungen. Ich will sagen, das ist nachher, das habe ich schon angedeutet, der wesentliche Punkt.

Ich nehme ein Differenzialgleichung hier rein. Bitte die Laplace transformierte einer Differenzialgleichung. Und dann werden diese ganzen Ableitungen ganz hübsch Potenzen werden. Und damit wird die Differenzialgleichung einfacher. Wenn es denn an dem Jahre ist, wenn es nicht in dem Jahre ist, habe ich da auch verloren. Aber dem Jahre Differenzialgleichung kann ich dann so geschickt lösen.

Das ist dann die Anwendung, die Sie massiv sehen werden von der Laplace transformation. Also das hier ist quasi die Existenzberechtigung für die Laplace transformation. Ableitungen werden zu Vielfachen hier für erste und zweite Ableitung vorgeführt.

Der Rest ist dann so ein bisschen Hilfestellung. Ich hoffe, wenn man solche Transformationen dann sieht.