Alles egal. Ein lineares Gleichungssystem. Alle sollen zur selben Zeit erfüllt sein. Alle Gleichungen. Der erste Schritt war, dieses Gleichungssystem aufzufassen als eine Koeffizientenmatrix mal ein Vektor, der aus den Unbekannten gebildet wird. Das soll sein die Inhumogenität.

Die Koeffizientenmatrix enthält die Koeffizienten, daher der Name, die Zahlen vor den Unbekannten. Das wird die Koeffizientenmatrix. Und die Inhumogenität ist das, was ohne Produkt konstant auf der anderen Seite steht. Das wird dann jetzt den Vektor b. Auf diese Weise kommt man also von dem Gleichungssystem,

dem Lineare-Gleichungssystem, zu einer Gleichung, Matrix mal Vektor ist gleich Vektor. Ich suche also einen Vektor x, hier jetzt in dreidimensionalen, sodass dieser Vektor von rechts an die Matrix multipliziert einen vorgegebenen anderen Vektor gibt. a ist bekannt, b ist bekannt, x ist unbekannt.

Und dann gibt es über Eingleichungen in der Mathematik zwei große Fragen. Einmal gibt es eine Lösung, Existenz oder zwei oder unendlich viele, Hauptsache keine. Gibt es mindestens eine Lösung? Und die andere große Frage in der Mathematik über Gleichungen ist Eindeutigkeit.

Gibt es höchstens eine Lösung und nicht zwei und nicht unendlich viele? Gestern hatte ich nur was erzählt zur Existenz. Das noch mal grob zusammengefasst, wie das mit der Existenz ging.

Wenn ich mich frage, etwas allgemeiner, wenn ich frage, finde ich für jedes b, egal was auf der rechten Seite steht, finde ich für jedes b, was auf der rechten Seite steht, ein x. Also nicht nur für ein spezielles, sondern für jedes b. Gegeben die Matrix a, finde ich für jedes b ein x.

Die Frage kann man relativ klar beantworten. Also nicht für eins, nicht für ein b, sondern für alle b. Etwas allgemeiner, also die Frage, was heißt etwas, ziemlich allgemein.

Gibt es für alle b jeweils ein x, so dass a mal x, die koeffizienten Matrix a mal x, gleich b ist der Inhumogenität.

Fragezeichen. Das ist die Frage bei der Existenz. Also etwas abgehobener gefragt.

Nicht nur für ein b. Ich möchte wissen, ob es für alle bs gilt. Kriege ich für jedes b dieses Gleichungssystem gelöst. Und dann hatte ich vorgeführt, okay, das klappt genau dann, wenn aus der Matrix a

aus der Matrix a alle möglichen Vektoren herauskommen können. Alle Vektoren des jeweiligen Raums natürlich herauskommen. Ich schreibe es mal ganz so, das ist ein bisschen flapsig. In der Buchstunde stünde das nicht so, aber ich hoffe, so wird es klarer.

Das heißt nichts anderes als das. Aus der Matrix a können alle Vektoren herauskommen. Okay, jedes b kann aus der Matrix herauskommen. Dafür gab es eine Bezeichnung für alle Vektoren, die aus der Matrix herauskommen können. Das ist der Spaltenraum der Matrix oder das Bild der linearen Abbildung.

Spaltenraum beziehungsweise Bild der linearen Abbildung ist die komplette Menge, die möglich ist.

Wenn Sie zum Beispiel eine 3 x 4 Matrix haben, dann ist das Maximale, was möglich ist als Output, alle Vektoren des R3. Also das Maximallmögliche wäre hier R und dann in der Dimension die Zahl der Zeilen,

was auch die Zahl der Gleichungen ist. Das hatten wir als letztes Mal. Das heißt, alle können herauskommen, wenn der Spaltenraum, das was aus der Matrix herauskommt, gleich R hoch Zahl der Zeilen. Das ist in diesem Fall R3. Spaltenraum, andere Interpretationen vom Spaltenraum.

Alles, was ich bilden kann, indem ich die erste Spalte nehme, mal irgendwas, plus die zweite Spalte, mal irgendwas, plus die dritte, mal irgendwas, plus die vierte, mal irgendwas, plus die fünfte, sechste, siebte, mal irgendwas. Das ist das, was aus der Matrix herauskommen kann. Dann hatte ich vorgeschürt, dass das nichts anderes ist. Und das kann man in einer einzigen Maßzahl zusammenfassen,

nämlich dass der Rang der Matrix gleich der Zahl der Zeilen ist. Rang der Matrix soll die Dimension des Spaltenraums sein.

Wie viele Dimensionen hat das Bild dieser Abbildung? Was kann rauskommen? Ist ein Raum. Wie viele Dimensionen hat dieser Raum? Das soll der Rang sein. Wir sehen, wie viele Dimensionen das hat. Im besten Fall, im optimalen Fall hat es die Zahl der Zeilen. Wenn das stimmt, habe ich für jedes B ein X.

Das war die Existenz von Lösungen. Und zwar sofort betrachtet für jedes B, nicht für ein einzelnes B. Für ein einzelnes B würde das schlicht und ergreifend heißen, das einzelne B, die einzelne Inhumogenität, die da steht,

muss im Spaltenraum sein. Da hilft uns hier diese pauschale Angabe mit Rang der Matrix nicht so viel. Da müsste man genauer nachgucken mit dem Spaltenraum. Das als kurze Wiederholung. Und jetzt geht es um die Eindeutigkeit. Der andere Aspekt, die Eindeutigkeit. Netterweise ist das alles zu 90% spiegelsymmetrisch.

Bei der Existenz geht es um das, was reinkommt. Es geht um Spalten. Und es geht um die Zahl der Zeilen. Bei der Eindeutigkeit vertauscht sich in gewisser Weise die Rolle von Spalten und Zeilen.

Nicht hundertprozentig, aber weitgehend. Gucke ich mir dann Spalten statt Zeilen oder umgekehrt an, bei der Eindeutigkeit. Das sehen wir jetzt. Das ist der Punkt 4. Wie kann ich untersuchen, ob sein Gleichungssystem genau eine Lösung hat? Ich will sagen, genau.

Das muss ich vielleicht auch nochmal sagen. Was heißt genau eine Lösung? Genau einen Satz, in diesem Fall XYZ. X gleich 13, Y gleich 42, Z gleich 7 und nichts anderes. Es sind dann nicht drei Lösungen. X gleich 13, Y gleich 42, Z gleich 7 sind nicht drei Lösungen. Das ist dann eine Lösung, so ist das zu verstehen. Das wäre die eine Lösung, wenn es nur diesen einen Vektor gibt.

Eine andere Lösung würde heißen, es gäbe einen anderen Vektor, der das kann. Jede Lösung hat also mehrere Unbekannte drin und steht.

Angenommen, ich hätte zwei Lösungen für das Gleichungssystem, was ich früher mal hatte. Es steht alles im Skript, nicht abzuschreiben. Angenommen, ich hätte zwei Lösungen gefunden. Angenommen, ich hätte zwei Lösungen gefunden. Dann gucke ich mal, was das bedeuten würde.

Ich schreibe ausdrücklich nicht zwei verschiedene. Angenommen, ich hätte zwei Lösungen gefunden. Es kann sein, dass sie nachher dieselben sind, jetzt ja. Angenommen, ich hätte zwei Lösungen. X1, Y1, Z1, W1 und Y2, Z2, W2.

Man muss sich fragen, wann müssen die zwangsläufig gleich sein? Wenn die zwangsläufig gleich sein müssen, gab es nur eine Lösung. Wenn die nicht zwangsläufig gleich sein müssen, dann gab es tatsächlich mehrere Lösungen.

Man sieht dann auch, es gibt dann sofort unendlich viele bei den linearen Gleichungssystemen. Sobald es mehrere gibt, sind es sofort unendlich viele. Angenommen, ich hätte zwei Lösungen. Also zwei Lösungen für das ursprüngliche Gleichungssystem. Das steht im Text 23X1. Das würde bedeuten plus 45Y1 minus 3Z1 plus 4W1 gleich 7 wäre die erste Gleichung für die erste Lösung.

Es müsste obendrein gelten 2Y1 minus Z1 plus 6W1 ist gleich minus 3.

Und minus 15X1 plus 5Y1 minus 3W1 ist gleich 5.

Das würde bedeuten, dass dieser Vektor eine Lösung meines Gleichungssystems ist. Und wenn der auch noch eine Lösung sein soll, und uns das gleiche gelten, wenn ich statt der 1 überall eine 2 schreibe. Sollte ich diese 1 auch so schreiben, dass sie wie eine 1 aussieht.

Also gegeben zwei Lösungen für mein Gleichungssystem. Es wäre jeweils das Gleichungssystem erfüllt. Und dann frage ich mich, was bedeutet das eigentlich? Kann das klappen? Kann das nicht klappen? Unter welchen Umständen klappt das? Unter welchen Umständen kann das auf keinen Fall klappen?

Der große Trick, und das sieht man nachher bei den Differenzialgleichungen auch nochmal. Der große Trick ist jetzt, diese beiden Gleichungssysteme voneinander abzuziehen. Sie nehmen die schwarze erste Gleichung und die rote erste Gleichung, ziehen die voneinander ab. Und gucken, was passiert.

Die schwarze Gleichung nehmen, die rote abziehen, dann steht da 23X1 minus 23X2. Also 23X1 minus X2. Und es geht weiter 45Y1 minus 45Y2.

Also 45Y1 minus Y2. Minus 3Z1, minus minus 3Z2. Das macht minus 3Z1 minus Z2. Das selbe Spiel mit dem W. Plus 4W1 minus W2.

Und das nette ist, auf der Seite muss jetzt stehen 7 von der schwarzen Gleichung minus 7 von der roten Gleichung. Das ist gleich 7 minus 7, also 0.

Die 7 ist weg, diese Inhomogenität ist weg. Das wird nachher auch bei den Differenzialgleichungen ein wesentlicher Trick sein. Wenn Sie eine gleichung dieser Art haben, eine lineare Gleichung, für eine Lösung und die selbe Gleichung nochmal, für die andere Lösung, und Sie ziehen die beiden voneinander ab, haben Sie hier lauter Differenzen stehen. X1 minus X2, Y1 minus Y2 und so weiter.

Und auf der rechten Seite bleibt 7 minus 7, 0. Die Inhomogenität fliegt raus. Das entsprechende passiert mit den anderen Gleichungen. Da habe ich hier 2Y1 minus Y2. Minus Z1 minus Z2. Plus 6 mal W1 minus W2 ist gleich.

Minus 3 von der schwarzen Gleichung minus minus 3 von der roten Gleichung. Also 0. Und hier unten habe ich minus 15. X1 minus X2. Plus 5. Y1 minus Y2.

Minus 3. W1 minus W2 steht alles noch im Skript. Gleich 5 von der roten, minus 5 von der schwarzen. 0. Die Differenzen erfüllen also ein Gleichungssystem, das man Homogen nennt.

Es hat keine Inhomogenität. Das ist ein homogenes Lineares-Gleichungssystem. Mit derselben Matrix. 23, 45, minus 3, 4, 0, 2.

Es ist dieselbe koeffiziente Matrix. Jetzt aber auf die Differenz zweier Lösungen angewendet. Wenn Sie also zwei Lösungen haben, finden Sie, dass die Differenz der beiden Lösungen das zugeordnete Homogene, wie es dann heißt, lineare Gleichungssystem löst.

Selbe Matrix, angewendet auf die Differenz der Lösungen, gibt den Null-Vektor. Umgekehrt geht das auch nach zwei Minuten Nachdenken. Wenn man sieht, dass man so einen Vektor hat, der zu Null gemacht wird von der koeffizienten Matrix. Wie hier den Differenz-Vektor. Wenn Sie so einen Vektor haben, der zu Null gemacht wird, können Sie den zu irgendeiner Lösung addieren und haben eine andere Lösung.

Damit habe ich jetzt ein Kriterium. Also das lineare Gleichungssystem, das ursprüngliche lineare Gleichungssystem, ist genau dann eindeutig lösbar.

Ich schreibe mal so, Lösungen des ursprünglichen linearen Gleichungssystems. Ich sollte da nicht Lösungen schreiben, wenn ich sage eindeutig, die Lösung ist eindeutig.

Die Lösung des ursprünglichen linearen Gleichungssystems ist eindeutig. Genau dann, wenn die homogene Form des linearen Gleichungssystems eine einzige Lösung hat, nämlich den Null-Vektor.

Wenn hier nur der Null-Vektor stehen darf, den Null-Vektor.

Jetzt sollte ich mal einen Satz draus machen und das groß schreiben. Wenn dieses Gleichungssystem eine andere Lösung als den Null-Vektor hat, dann heißt

das, ich kann eine zweite Lösung finden, die verschieden ist von der ersten. Irgendetwas von diesem x1-x2, x1-x2, irgendjemand von denen muss verschieden von Null sein, wenn dieses Gleichungssystem eine andere Lösung als den Null-Vektor hat. Und ich finde eine zweite Lösung, die von der ursprünglichen verschieden ist. Und in der anderen Richtung genauso, wenn ich eine zweite Lösung habe, die von der

ursprünglichen verschieden ist, ist die Differenz nicht Null, sonst wären die beiden ja nicht verschieden. Aber die homogene Form, darauf angewendet, ergibt Null, was wir gerade gesehen haben. Das ist das Kriterium für die Eindeutigkeit.

Ich gucke mir von dem linearen Gleichungssystem die homogene Form an und muss nur gucken, ob die homogene Form eindeutig lösbar ist. Die homogene Form ist immer mit dem Null-Vektor lösbar. Hier können Sie immer Null reinschreiben, Null, Null, Null. Natürlich kommt dann auf der rechten Seite Null raus. Wenn das die einzige Lösung ist, dann habe ich gewonnen.

Und auch das ursprüngliche lineare Gleichungssystem, bei dem auf der rechten Seite nicht der Null-Vektor steht, kann nur eindeutig lösbar sein. Und wenn es überhaupt lösbar ist, das ist eine Frage unabhängig davon, wenn es überhaupt lösbar ist, das ursprüngliche gleichungssystem, ist es dann auch nur eindeutig lösbar.