Ich habe letztes Mal etwas erzählt über Integration von Funktionen, von mehreren veränderlichen. Das ist jetzt kein Lücken-Text, ich mache es nur noch mal auf. Ich habe ein Integrationsgebiet, zum Beispiel im zweidimensionalen. Darüber schwebt meine Funktion als Fläche oder durch Stößfleischzeuger hier die XY-Ebene.

Ich frage mich, was das Volumen ist, was unter der Fläche hier und über der XY-Ebene steht. Das wäre ein mehrfaches Integral, darüber hatte ich etwas erzählt. Über irgendein Gebiet, dX, dY, eine Funktion integrieren.

Dann gab es als zweiten Teil Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, sphärische Koordinaten. Ich gehe weg von den kathesischen Koordinaten, XYZ, senkrecht aufeinanderstehend, gradlinig, gleich lange Einheiten.

Davon gehe ich weg, um zum Beispiel Kreise, Zylinder, Kugeln besser beschreiben zu können. Das Einfachste waren die Polarkoordinaten. Ich gebe an, wie weit ist ein Punkt in der Ebene weg vom Ursprung.

Und ich gebe an, was ist der Winkel zwischen dem Punkt der Verbindung von dem Punkt mit dem Ursprung und der X-Achse. Das hat man bei den komplexen Zahlen schon gesehen. Die Polardarstellung komplexer Zahlen. Und jetzt wird weites miteinander verrührt. Was ist, wenn ich eine Funktion in diesen Koordinaten gegeben habe?

Das ist eine Funktion von Abstand und Winkel. Nicht Funktion von XY, sondern von Abstand und Winkel. Typischerweise ist da eine Funktion, die schön symmetrisch ist. Was ist, wenn ich so eine Funktion habe und ich will dann integrieren? Dann möchte ich natürlich nicht über XY integrieren.

Wenn ich eine Funktion in R-Phi habe, möchte ich gefälligst über R und Phi integrieren. Die Variablen, die in meiner Funktion drin stehen. Darum soll es jetzt gehen. Integration in Polarkoordinaten ist das erste. Die Funktion in Polarkoordinaten gegeben. Und ich möchte nun bilden, irgendwas integriert über irgendeinen Bereich.

Aber dr d Phi. Na, nicht dr d Theta, dr d Phi. Über diese Koordinaten integriert, die ich da habe. Nichts mit XY. Das würde stören. Da müsste ich erst hin und her rechnen. Ich möchte das Integral auch mit R und Phi ausrechnen. Ok, jetzt kommen wir dann endlich zum Lückentext Nummer 7.

Ich muss also von meinen ingenieurmäßig unendlich kleinen Quadraten umrechnen. Auf die Stücke, die sich ergeben, wenn ich R und Phi etwas ändere. Was ich jetzt also erzähle, ist nicht die strengste Mathematik, sondern die ingenieurmäßige Anschauung.

Die Physiker sind da auch sehr locker. Und das soll eigentlich auch reichen. Das ist so locker zu verstehen. Tiefgründige Mathematik betreiben. Wenn ich das Integral so bilde, über irgendein Gebiet, das ich jetzt gar nicht hinschreibe,

f von XY, dann schreibe ich das auch lieber gar nicht hin. Eine Funktion wird integriert, das irritiert gleich nur, wenn ich das anders mache, eine Funktion wird integriert, dx dy. Dann stellen sich ja die Ingenieure und die Physiker vor. Man summiert über ganz viele von diesen Briefmarken mal der Funktion.

In diesem Diagramm hier oben, ich habe hier meine unendlich kleinen Briefmarken. Und für jede Briefmarke, gucke ich mir so eine Säule an, als Beitrag zu dem Volumen, diese Säule. Und ich summiere das Volumen aller der Säule. Diese Säule hat das Volumen Funktionswert mal dx dy.

Und die Fläche dx dy, die Höhe, ist der Funktionswert. Wo kann man sich das vorstellen, was hier passiert. Jetzt möchte ich aber nicht mit meinen Briefmarken hier rechnen, sondern ich möchte, naja, krumme Briefmarken haben.

Nämlich die Briefmarken, die sich für r und phi ergeben. Wenn ich dasselbe mit r und phi mache. Sie sehen, was hier passiert. Ich starte mit einem xy, gehe delta x oder dx dann zur Seite nach rechts, gehe dy zur Seite nach oben. Vielleicht sollte ich das hier mal so hinschreiben. Die Mathematiker wird das schmerzen, wenn ich das hier so tue.

Aber lassen wir das. Ein kleines, unendlich kleines Stückchen, anschaulich nach rechts, ein unendlich kleines Stückchen nach oben, dann habe ich hier die Fläche dx dy. Was passiert, wenn ich das in Polarkoordinaten mache? Ich sitze an einem Punkt, Abstand r, Winkel phi. Und nun ändere ich den Radius etwas, komme von da nach da.

Und ich ändere den Winkel etwas, komme von da nach da. Dann habe ich so eine Figur hier. Das ist nicht ganz eine Briefmarke, der ist ein bisschen verzogen. Denn die Oberkante ist etwas mehr geneigt als die untere Kante. Aber das ist jetzt mein Flächenelement, wie es so schön heißt.

Wenn ich phi etwas ändere, geht es hier rauf. Wenn ich R etwas ändere, geht es weg. Ich summiere zum Schluss solche Flächenstückchen. Jetzt kann man sich anschaulich überlegen, wie groß diese Fläche ist. Wenn Sie den Winkel wissen, das muss ich vielleicht noch einschmieren.

Wenn Sie diesen Winkel wissen, nennen wir ihn d phi ganz dreist. Der ist ein bisschen klein geworden.

Den Radius kenne ich. Das muss ich hier unten mal hinmalen. Das ist der Radius. Dann ist dieses Stückchen hier das, um was ich den Radius ändere. Wie groß wird das Flächenstück hier ungefähr sein? Einmal dieses Ding hier oben groß gezeichnet.

Das ist der Bogen, Radius nach außen, Radius nach außen, der Bogen. Ein bisschen übertrieben, das heißt der Winkel hier ist sehr groß. Diese Strecke hier sollte R sein. Ich suche dieses Stück, diesen Bogen.

Wenn Sie den Winkel hier im Bogenmaß messen, sollte das R d phi sein. Das ist der Radius meines Kreises. Mal welchen Winkel schneide ich raus? Wenn Sie ans Bogenmaß denken, welchen Winkel schneide ich raus? Das wäre hier d phi, der Winkel, der rausgeschnitten wird. Wie lang ist dieses Stück R mal dieser Winkel?

Wenn Sie einen Winkel von zwei Pi rausschneiden, haben Sie den gesamten Umfang. Wenn Sie einen Winkel von Pi halbe rausschneiden, haben Sie einen Viertel vom Umfang. Nur das Bogenmaß, R d phi. Das ist diese Seite. Wenn man alles hinreichend klein werden lässt und dann in die Näherung rechnet,

ist die Fläche hier von praktisch R d phi mal d r. Also hier habe ich R d phi. Jetzt muss ich mir überlegen, ob es nicht ist. Ich schreibe es andersherum. R d r d phi. So rum sieht es, glaube ich, hübscher aus. Das kommt als Fläche raus.

Dann stimmt es mit den Einheiten. Dr hat die 100 Meter, R hat die 100 Meter. Hier steht Quadratmeter mal ein Winkel. Und im Bogenmaß der Winkel ist einheitslos. Dann kommen hier Quadratmeter. Je weiter draußen Sie sind, auch von der Proportionalität her, je weiter draußen Sie sind, umso größer wird ja dieses Flächenstück. Bei gleichem dr, bei gleichem d phi.

Die Proportionalität steht da drinnen. R mal dr d phi. Und das ist anschaulich alles, was man braucht zum Umrechnen. Um von diesem Integral umzurechnen, rechne ich einfach mit dr d phi.

Aber ich denke daran, dass dieses kleine Flächenstück nicht dr d phi hat, sondern R d r d phi. Hier schreibt man hin R d r d phi. Also wenn Sie eine Funktion in Polarkoordinaten gegeben haben, von R und phi. Und die ist über ein bestimmtes Gebiet zu integrieren.

Dann können Sie die in Polarkoordinaten integrieren. Aber nicht dr d phi, so wie hier d x d y, sondern R d r d phi. Die Stellen, die außen liegen, kriegen mehr Gewicht, weil da die Grundfläche größer ist. Und die Stellen, die innen liegen, kriegen weniger Gewicht, weil da die Grundfläche entsprechend kleiner ist.

Also ich brauche einen Korrekturfaktor, den darf man nicht verpennen. Also den nicht vergessen, wenn Sie in Polarkoordinaten integrieren, brauchen Sie Korrekturfaktor R. Das einfache sich zu merken ist, Sie gucken sich das an und fragen, sind das Quadratmeter?

Ja, das hier sind Quadratmeter, ohne das R wären es keine Quadratmeter. Das ist schon ein klarer Hinweis, dass es ohne das R nicht funktionieren kann. Wenn man das hat, gibt es zum Beispiel die Fläche der Kreisscheibe geschenkt. Was sonst mittleres Drama ist, wenn man das mit Integralen lösen will.

Ich möchte ausrechnen, die Fläche für die Nummer 8 möchte ich ausrechnen. Ich schraube das mal ganz symbolisch hier, die Fläche der Kreisscheibe mit Radius R. Sehr eigenwillige Schreibweise.

Das bekomme ich mit einem doppelten Integral. Die X, die Y, eine passende Funktion integrieren über die Kreisscheibe mit Radius R um den Ursprung.

Welches Integral muss ich hier nehmen? Wie bekomme ich die Fläche der Kreisscheibe? Welche Funktion muss ich integrieren, dass das hier wirklich die Fläche der Kreisscheibe wird? Wenn ich das wieder übersetze in dieses Bild mit einem Volumen,

hier ist meine Kreisscheibe in der X, Y-Ebene. Machen Sie das nicht alles ab, das gehört eigentlich gar nicht in den Text rein, aber das scheint jetzt dringend.

Und jetzt möchte ich hier einen fliegenden Teppich drüber haben. Und dieses Volumen hier zwischen dem fliegenden Teppich und der Kreisscheibe, von dem möchte ich, dass das das Integral ist und die Fläche wird. Welche Figur müssen Sie hier integrieren, damit das Volumen die Fläche der Kreisscheibe ist?

Das hört sich ein bisschen absurd an. Wie muss ich den fliegenden Teppich legen, damit das Volumen, was ich hier strichliert habe, damit dieses Volumen die Fläche der Kreisscheibe ist? Also man denkt an einen Zylinder. Was ist das Volumen eines Zylinders? Das ist die Grundfläche mal die Höhe.

Der Trick ist, wenn Sie die Höhe gleich einsetzen, ohne Einhalten. In der Mathematik kann man das ja. Wenn Sie die Höhe gleich einsetzen, ist das Volumen einmal die Grundfläche. Dann ist das Volumen tatsächlich die Grundfläche. Ohne Einhalten, wenn man jetzt nicht zu viel drüber nachdenkt. Also der Trick ist, hier die Funktion eins reinzusetzen.

Ich integriere die Funktion, die ständig auf der Höhe eins ist. Wenn das hier eins ist, dann ist das Volumen unter dieser Funktionsfläche einmal die Grundfläche. Also ist das die Grundfläche.

So kann man sich das notfalls vorstellen. Eine andere Art sich das vorzustellen ist, dass man hier aufsummiert. Ich summiere über die gesamte Kreisscheibe auf alle Briefmarken, die mir hier so in die Quere kommen. Das wäre jetzt vielleicht wirklich etwas zu mitmalen.

Ich summiere hier alle Briefmarken auf. Alle dx dy, das ist die Fläche der einzelnen Briefmarken, alle aufsummieren. Mal eins. Die Funktion eins integrieren. Ich habe letztes Mal schon vorgeführt, wenn Sie jetzt tatsächlich anfangen das Integral auszurechnen, dann wird das Ganze dann schwieriger. Also man wird vielleicht jetzt mit dem dx Integral anfangen.

Ich fühle gar nicht vor, wie fürchterlich das wird. Es wird fürchterlich, glauben Sie es mir. Weil ich ja jeweils berücksichtigen muss, zum Beispiel wenn ich, ich sage dx mache ich zuerst, muss ich berücksichtigen, dass ich auf dieser Höhe y, das bleibt mal in rot, auf dieser Höhe y von da bis da gehe, aber auf dieser Höhe y von da bis da,

und auf dieser Höhe y von da bis da. Diese Grenzen werden etwas fürchterliches mit Wurzeln werden. Das möchte man sich nicht antun, das kann man hinkriegen, aber das macht nicht viel Spaß. Mit Polarkoordinaten ist das dagegen total billig. Ich sage, okay, jetzt integriere ich in Polarkoordinaten dieselbe Grundfläche,

Kreisscheibe mit Radius groß r um den Ursprung, aber jetzt schreibe ich nicht dx dy dahin, sondern r dr d phi. Und dann muss dasselbe rauskommen. r dr d phi mal 1.

Da brauche ich nicht hinzuschreiben, mal die Funktion 1. Hier drinnen steht die Funktion, die wir jeweils integrieren wollen. Die Funktion ist hier völlig banane, sie ist einfach 1, ständig gleich 1. Dieses Integral hier unten gibt es geschenkt. Ich kann das hier mal vorsichtig mit den Grenzen hinschreiben.

Das Innere Integral soll offensichtlich das über r werden, also r dr. r läuft von 0 bis groß r, das ist der Radius, dass Sie auf dieser Kreisscheibe einen Punkt haben,

läuft dessen Radius von 0 bis groß r. Übrigens, auf dieser Seite natürlich genauso, der Winkel ist einer über 180 Grad oder unter 0 Grad, aber der Radius läuft von 0 bis groß r an allen Stellen. Das Thema erledigt, das ist das Innere Integral, und das Äußere ist das über phi.

Und phi läuft einmal den ganzen Kreis rum, von 0 bis 2pi. Das heißt, was ich jetzt aufsummiere, sind nicht mehr Briefmarken, sondern,

das haben wir eben gemalt, solche Stückchen, etwas verzogene Stückchen. Das ist jetzt jeweils die Defis sozusagen, den Winkel durchlaufen, und bei jedem Winkel,

ich hoffe, Sie wissen, was ich malen will, das sind die Elemente, die ich addiere. Wenn Sie alle die zusammen addieren, haben Sie die Fläche. Das steht hier im Endeffekt. Dieses Stückchen hat r, dr, d, phi als Fläche,

in linearer Näherung, und die alle addieren. Und weil man das dann bis ins Unendliche treibt, wird es sogar exakt. Und das Integral kann ich jetzt billig ausrechnen, hier innen mit Stammfunktion. Ich suche etwas, das nach klein r abgeleitet, gleich klein r ist,

also zum Beispiel r²½ in den Grenzen von 0 bis groß r. Dann steht da insgesamt, also das können wir noch ausrechnen, groß r einsetzen, das macht also groß r²½ minus 0, 0 einsetzen. Hier kriege ich dann also das Integral von 0 bis 2π

über groß r²½ d phi. Was haben wir da für eine Stammfunktion? Also hier nicht ins Boxhorn jagen lassen. Phi ist die Integrationsvariable.

R²½ hängt nicht von phi ab, das hier ist eine Konstante. Also nehme ich als Stammfunktion r²½ mal phi. Wenn ich das nach phi ableite, ist dann eine partielle Ableitung, wenn Sie wollen, steht da einfach r²½, das in den Grenzen von 0 bis 2π. Wenn Sie r²½ mal 2π nehmen,

kürze ich das, ich schau es mal hin, r²½ mal 2π kommt oben raus, minus 0 einsetzen, kommt 0 raus, und wir haben kürzen, π mal r² ist jetzt nichts Überraschendes, aber man kann es tatsächlich jetzt mit dem Integral auf einfache Formen ausrechnen.

Also der Gedanke war, hier habe ich einen Integrationsbereich, der schön symmetrisch ist, ein Kreis und den Übersprung. Die Funktion ist sowieso schön symmetrisch, die ist die ganze Zeit eins, die ist so symmetrisch, wie sie nur sein kann sozusagen,

aber der Integrationsbereich ist auch schön symmetrisch, und dann übersetzen Sie einfach von xy auf r dr d phi und rechnen gerade wenig aus und kriegen die übliche Fläche der Kreisscheibe. In Zilinderkoordinaten passiert natürlich dasselbe, nur dass z dazukommt.

In Zilinderkoordinaten haben Sie hier noch, mache ich das jetzt so dazu, dz, und hier haben Sie noch dz, da passiert natürlich nichts Besonderes. Ich nehme es doch mal wieder weg,

erklärt sich ja von selbst. Das dz wird ja einfach nur noch hinten dran gehängt, und es funktioniert wie das übliche dz, also in Zilinderkoordinaten keine Aktion. Da geht es natürlich um Volumina, r dr d phi dz wäre das Volumen, hier r dr d phi ist eine Fläche.

Ekliger wird es bei den Kugelkoordinaten.