13.2a Lösungsverfahren Differentialgleichungen
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
| Title |
| |
| Title of Series | ||
| Number of Parts | 92 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10253 (DOI) | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language | ||
| Producer |
Content Metadata
| Subject Area | |
| Genre |
00:00
Physical lawOrdnung nDifferential equationExponential functionEigenvektorEigenvalues and eigenvectorsEquationDifferential equationVariable (mathematics)FactorizationSineLösung <Mathematik>PolynomialFunction (mathematics)SquareMatrix (mathematics)Drag (physics)Logical constantCoefficientOscillationForcePositionPhysikNichtlineares GleichungssystemLinear differential equationFedersteifigkeitComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
00:03
Kleine Zusammenfassung zu Differenzalgleichungen. Differenzalgleichungen lösen. Im Endeffekt hat man einen riesen Werkzeugkasten und versucht dann in dem Werkzeugkasten den richtigen Hammer oder die richtige Kneifzange zu finden.
00:25
Wesentliche Geschichte sind erstmal die linearen, inhomogenen Differenzalgleichungen. Erste und zweite Ordnung.
00:43
Die erste Ordnung hat man gerne in der Biologie und in der Elektrotechnik. Die zweite Ordnung auch in der Elektrotechnik und in der Physik. Sobald irgendwas anfängt zu schwingen, ist man gerne dann bei Differenzalgleichungen. Zweite Ordnung.
01:00
Die übliche Art, die zu lösen, ist, ich suche die allgemeine Lösung der Homogenform. Ich hoffe, dass das nicht ganz so schlimm ist.
01:24
Und ich suche eine spezielle Lösung der inhomogenen Form.
01:43
Das ist dann die Differenzalgleichung, wie sie da ursprünglich gestanden hat. Und mache drittens Folgendes. Ich addiere die beiden.
02:04
Oder ich schreibe so, addiere eins und zwei. Das ist dann nämlich die allgemeine Lösung der inhomogenen Form, die man gesucht hat. Das ist die übliche Art, solche Differenzalgleichungen zu lösen.
02:21
Federpendel mit Anregung, irgendwelche elektronischen Schaltungen, in die man Signale einspeist. Kann man damit typischerweise hinkriegen. Und die ihre eins und zwei ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Form. Also die ursprüngliche Differenzalgleichung.
02:45
Form. Nun gibt es ein paar Tricks, wie man jeweils vorgeht. Spezialfall an Differenzalgleichungen. Hierfür die allgemeine Lösung der homogenen Form. Wenn ich Glück habe.
03:01
Und das Ding hat konstante Koeffizienten. Also nicht nur linear, sondern obendrein konstante Koeffizienten. Homogen, linear, konstante Koeffizienten. Oder andersrum besser so rum. Linear, homogen, konstante Koeffizienten.
03:23
So was wie folgendes. Plus 2' plus 3' plus 7' gleich 0. Linear, homogen, mit konstanten Koeffizienten. Dann setze ich grundsätzlich e hoch Lambda mal x an.
03:42
Und gucke was passiert. Ansatz e hoch Lambda mal x oder Lambda mal t, wenn es von der Zeit abhängen soll. Eine Exponentialfunktion. Das ist das übliche, was man dann hier hat. Wenn man einen Schwingkreis untersucht, einen Federbändel untersucht.
04:00
Eine Schaltung untersucht mit Kondensatoren und Widerständen. Die Kondensatoren sind fest, die Widerstände sind fest. Das Federbändel hat eine feste Federkonstante und so weiter und so fort. An dieser Stelle werde ich dann konstante Koeffizienten haben. Und zwangsläufig e hoch Lambda mal x oder e hoch Lambda mal t ansetzen.
04:21
Das heißt, die Lösungen, die ich hier rauskriege, werden etwas abklingendes sein. Oder etwas ansteigendes, eher selten sein. Und typischerweise multipliziert mit Tansinus-Kosinus-Schwingung. Wenn das Lambda hier noch einen komplexen Anteil hat. Das ist linear, homogen, konstante Koeffizienten.
04:41
Es gibt einen ekligen Fall bei zweiter Ordnung. Sie kriegen ja für dieses Lambda dann mit der PQ-Formel Lösungen raus. Wenn Sie aus der PQ-Formel haben sowieso Plus Minus Wurzel Null. Wird jetzt ein bisschen blöd. Dann nimmt man obendrein noch x mal e hoch Lambda mal x dazu.
05:02
Das hatte ich schon mal vorgeführt und kam mir auch in der Seminaraufgabe vor. Dass man noch eine zweite Lösung hat zum Basteln. Hier kriege ich dann als allgemeine Lösung sowas wie e hoch Lambda a mal e hoch Lambda 1.
05:29
3. Ordnung plus 10 mal e hoch Lambda 3 x. Erste Ordnung nur ein Vielfaches von e hoch Lambda 1 x.
05:42
Beziehungsweise wenn diese beiden Lambdas gleich sind bei zweiter Ordnung habe ich e hoch Lambda x. Nur ein Lambda plus b mal x mal e hoch Lambda x. Für zweite Ordnung. Für erste Ordnung natürlich nur a mal e hoch.
06:04
Analog in den höheren Ordnungen. Damit kann man typischerweise hier den ersten Fall erledigen. Suche eine Lösung der, nicht den ersten Fall, den ersten Teil erledigen. Suche eine Allgemeinlösung, die Allgemeinlösung der homogenen Form.
06:20
Für die spezielle Lösung der inhomogenen Form ist Basteln angesagt. Wenn die Inhomogenität etwas mit dem Sinus ist, dann versuche ich etwas mit Sinus und Cosinus anzusetzen. Wenn die Inhomogenität ein Polynom ist, versuche ich ein Polynom anzusetzen.
06:41
Wenn die Inhomogenität eine Exponentialfunktion ist, versuche ich etwas mit der Exponentialfunktion anzusetzen. Es gibt auch noch schwierige Fälle, wenn die Inhomogenität genau das ist, was man vorher in der Lösungsfunktion hat. Das selbe Trick wieder, man schreibt noch ein x oder noch ein x² dazu.
07:00
Da muss man es nochmal in der Übungsaufgabe angucken. Aber im Prinzip, um diesen Teil hier zu klären, gucken Sie sich an, was die Inhomogenität ist. Und versuchen eine Funktion mit ein paar Einstellreglern so zu bauen. Dass das rauskommen kann, was als Inhomogenität rauskommen soll.
07:21
Und dann addieren und gut. Methodisch lösbar war noch die algebraische Fassung, die ich heute vorgestellt habe. Algebraisch, sowas wie Exponentialfunktion oder Eigenwerte, Eigenvektoren suchen.
07:49
Das kriegt man auch noch locker hin. Wenn Sie ein Differentialgleichungssystem haben, was eben diese Form hat, können Sie die Lösung direkt hinschreiben.
08:05
Wir hatten dann noch die Variation der Konstanten.
08:22
Erstmal nur ohne Profiwissen für erste Ordnung eine lineare Differentialgleichung erste Ordnung in Homogen.
08:46
Da schreibe ich die Differentialgleichung hin in der Homogenform. Und setze an, dass die Integrationskonstante der Homogenform eine Funktion ist. Und probiere dann eine Lösung zu finden für die inhomogene Form, die Originalform der Differentialgleichung.
09:05
Und das letzte ich in dieser Reihenfolge, was wir hatten, war Trennung der Variablen. Auch nur erste Ordnung, typischerweise nicht linear.
09:25
Wenn ich eine Differentialgleichung habe, die so aussieht wie eine Funktion, ich schreibe tatsächlich mal ein Beispiel her, eine Funktion von y, y plus 42, sonst was, mal y Strich ist gleich e hoch x Wurzel x.
09:43
Wenn Sie so eine Differentialgleichung haben, erste Ordnung hat die trennbare Variablen. Sie können alle x auf die eine Seite bringen, sie können alle y auf die andere Seite bringen.
10:02
Und das ist wichtig, nicht nur das, das zerfällt auch noch nicht in Faktoren. Es steht y Strich nur ein einziges Mal drin und zwar in diesem Produkt. Das heißt dann eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen. x auf die eine, y auf die andere und auf der y Seite kann ich spalten in etwas, was nur y enthält,
10:22
mal y Strich, dann kann ich die ganz dumm mit Integration lösen. Beide Seiten über x integrieren, Substitutionsregel anwenden und dann eine Lösung. Das sind die, die man dem Schuhbuch lösen kann.
10:41
Von denen, die ich vorgestellt habe, die, die man dem Schuhbuch lösen kann. Der einzige Kunstgriff ist, wenn man hier die spezielle Lösung der inhomogenen Form zu finden. Wenn Sie da was Fieses haben, wenn da so etwas steht wie y Strich plus y Strich plus y ist gleich Wurzel x,
11:05
da eine spezielle Lösung zu finden, muss man doch ein bisschen mehr Gehirn schmalz reinstecken. Was man können sollte ist Folgendes, wenn hier auf der rechten Seite steht x Quadrat plus x plus 4, ein Polynom in x setzen Sie an, ein Polynom in x für y.
11:22
Wenn auf der rechten Seite was mit Sinus und Kosinus steht, setzen Sie Sinus mal so und so viel plus so und Kosus mal so und so viel an für y. Wenn auf der rechten Seite e hoch irgendwas steht, setzen Sie e hoch irgendwas an. Mit einem Könnchen Salz, hatte ich eben auch schon mal gesagt, kommt auch in einer Übungsaufgabe dran.
11:42
Mit einem Könnchen Salz, wenn diese Störfunktion genau gerade das ist, was man hier rauskriegt, muss man wieder mal ein Faktor x oder ein Faktor x Quadrat dazustecken. Das sehen wir nochmal in der Übungsaufgabe.
Recommendations
Series of 15 media