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08.4 Vektorfelder, Lösungskurven im Phasenraum

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Es gibt einen schönen Zusammenhang zwischen Differentialgleichungen und Vektor Felder Vektor sollten Sie schon irgendwo im elektrischen Feld magnetischen Feld gesehen haben und wieder das soll so ausgesehen haben wie wie man der bedürfe es hat hier netterweise gibt es auch ein Zusammenhang zwischen zeitweilig aus einer etwas anderen Vektor fällt heißt ja mal einen Vektor angesteckt an diverse Punkte der geben oder des Raum was der Vektor fehlt es gibt
Sich jede Differentialgleichung Vektor fehlt es nicht einmal vorführen das verstanden hat hat schon sofort von die die was denn die Differentialgleichung überhaupt tun kann an der fangen das dann wieder mit der Band warum eigentlich immer das wieder den der wenn sie es wieder eine verstanden haben haben sie 90 Prozent aller physikalische Systeme verstanden heißen funktionieren wirklich so dumm dass jeder der an und da kann es man einfachsten erklären Ok also dem Leinefelder Feder Decke Und hänge eine Masse daran mit der Federkonstante versetzt kamen genannt wird als die aber gar der Federkonstante des Namens und das Ganze mit dem Thema nicht dass man wenn das ganze Was aber ist eine so unter Wasser und sich dann und das soll ein Reibungskoeffizient pro haben Einander die Gleichung schon was passiert die Kraft wieder der kann ich sagen Newton das ist was eine Beschleunigung Ich Messe die Auslenkung aus der Vorlage sein Messer die Auslenkung aus der Ruhe Lage und dann ist die 2. Ableitung davon die Beschleunigung dieser Masse Masse geschlagen geben Kraft ja was ist die Kraft die da wird das Ganze wieder zurück proportional zur Auslenkung also - Alex ist die Kraft von der Feder mit des wieder zurückgedreht wird uns die Reibung bremst das Ganze als auch aus der Zeitpunkt als die Geschwindigkeit die Reibungskraft zur proportional zur Geschwindigkeit sein SPD oder nicht doppelt so schnell wie wenige soll ich auf die doppelte Reibungskraft der gedankliche wenn ich mich gar nicht weniger Geschwindigkeit nur für mich auch keine Halbtagskraft das ist nicht ganz 14 das übliche Modellgleichung für das das der
An Anfang des erzählt von den werden Entwicklungsgesetz und Zustandsraum es der Space Phasen auf das hier ist das Entwicklungsgesetz gegeben dieses Systems die geschildert die einheimische Deckel dübelt habe genau dieser eine wieder genau diese eine darunter auch soweit alles klar das ist ein Modell für den Physiker Bezug ist natürlich nicht die die Wirklichkeit zum Modell für die musikalische Entwicklung auch ich berücksichtigen nicht dass die Rede war
Haben einfach zerbrechen jetzt nach einer und Schwingungen nicht berücksichtige auch nicht dass die Masse der ist ein gegen die Decke knallt wenig so besonders weit nach unten aus dem und nicht Geschichten berücksichtigt auch nicht dass die Lichtgeschwindigkeit eine natürliche Grenze ist er die Geschwindigkeit hier ein ganz wichtiges Modell des schon Modell für das wieder und das ist der Winters Gesetz ich brauche aber noch ein Zustandsraum nämlich schreiben Sie einen Zustand von dieses ist also ein Zustand für die Nummer 21 1 Zustand von ist Welt beschreiben durch
Die Position x und obendrein die Geschwindigkeit das Musik war das wissen Zustand zu beschreiben oder dann kann ich sagen wie es weitergeht wenn ich würde Position habe sich Foto von ist sehen die Position wissen sie nicht ob der gerade superschnell auf dem Weg nach oben ist oder langsam auf dem Weg nach oben auf dem Weg nach und der steht auf dem Weg nach und sie wissen nicht wie es weitergeht Der nicht aber die Geschwindigkeit habe Position und Geschwindigkeit habe sagt mir mein Entwicklungsgesetz was die Beschleunigung ist und ich weiß wie es weitergeht kann sich auch bei der Position und Geschwindigkeit alternativ Position und Puls das wäre eine Art alles machen kann oder die theoretischen Physiker Finis lustiger die Position den Puls zunehmend als x und Puls Masse mal Geschwindigkeit macht man klassischerweise der Ortenburg statt Ort und Geschwindigkeit des ist von Faktoren Masse bei den die Gleichungen sehen dann etwas hübscher aus sich insgesamt eine wird was das dann auch nach der besser mit der Quantenmechanik zusammen da sind wirklich da sieht man wirklich das Ort und kurz ein ein paar werden nicht ordentlich Innigkeit dass nämlich als Zustandsraum als Zustandsraum als Zustand als Zustandsraum die Menge eine davon der Mathematik einfach den er zwar sage die obere Komponente zu einer Auslenkung sein die und Komponente soll mein Geburtstag und kann ich mir dabei sie mit der Differentialgleichung sagen wie sich dieser Zustand entwickelt die kann ich von einem Zustand zunächst was ist die Änderung von Zustand des ist die Frage die ich beantworten ein unendlich klein zeigt Städtchen Wahrheit und dann ist es wieder an die haben sich die beiden sich geändert wehrt sich derart geändert hat sich der Kurs der die Frage muss sich beantworten kann kann nicht kann einem zunächst nicht weiß und 1. Zeitpunkt das weiß ich weiß wie es nicht ändert dann also für den nächsten nächsten usw. usw. Das ist der gegangen ich muss diese Ableitung an die Ableitung von dort nach der Zeit die die aber von Puls nach der Zeit die Arbeit vor Ort nach der Zeit gegen sie gehen schreiben als Funktion von Art Tempo ist natürlich sonst hab ich weiß nicht ganz gedacht ich möchte alles heißt hier steht als Funktion von Ort und Puls schreiben den Ort übersehen gegeben habe sagte Endzeitpunkte die möchte wissen wie es weitergeht beschreiben Sie die Ableitung des Orts mit ihrer Verantwortung Bolz also wirklich total billig oben brauche ich die Geschwindigkeit des nach
Der Zeitableitung x-Punkt möchte ich hier oben um haben aber es ist das x-Punkt ist Bus durch Masse ist nicht ob und durch was den dem kennen so dass und spannender die Ableitung des Busses nach der Zeit was ist das physikalisch das ist einer der Kernpunkte der Menschen durch Mechanik wenn sie den Puls aber weil nach der Zahl kriegen sie die Kraft die Kraft sagt was mit dem Bus passiert wie sich der Bund nicht gegen den Wald Kritik richte Impuls dieser Kraft Stoß nicht versetzte der den Puls man kann auch ganz billig rechnen wenn sie für den Puls Masse Geschwindigkeit einsetzen haben Sie hier das ist maximal Geschwindigkeit abgeleitet und schließt besetzt die Kraft und die Ableitung vom Gustav der Zeit ist die Kraft und muss sich die Kraft schreiben die 2. Komponente muss die Kraft stehen
Auf der der steht Kraft - die minus von Punkt Industrie Matrix minus 2 x-Punkt Alexis ok nächste Konstante des Systems Konstante x mich aus meinem Zustand x-Punkt soll durch wieder schreiben als Bonus durch Masse
Die durch das das ist meine Rettungsgesetz etwas anders geschrieben so geschrieben dass es jetzt in diesem Zustandsraum wir den an Punkten diesen Zustandsraum gegeben einen Experten Kurswert kann ich jetzt sagen wie es weitergeht wird sich nichts ändern wir durch die wird sich der kurz der ist es um die durch und ist sondern Vektor fällt 1. nicht jetzt auch mal die die fällt ein 2. 23
Und nicht mal den Phasen X und des ist mein Phasen jeder Punkt hier entspricht einem Zustand des wieder es und die Bewegung wird nachher was auch immer eine gute diesen Zustandsraum der nicht kommt von einem Zustand zu ist und diese gleich gesagt welche dicht nicht zum nächsten Zustand
Und manchmal an nicht fangen wir an die Wand hier ist der Puls positiv und x ist gleich 0 Bus positiv x ist gleich 0 Das heißt an diese Stelle
Einen dieser Stelle ist das auf Nullniveau und auf nur so bewegt sich nach oben Bei etwas länger als eine also nicht auf Nullniveau auf dem Weg nach oben positiver Impuls zigsten oder des ist hier oben Ein anschaulich wie geht es jetzt weiter nach links nach rechts nach oben nach unten wie geht's in diesem Zustandsraum weiter sollte Tillich Ansagen des x lässt sich nach oben weg vom Boden deshalb hier auch positiver Impuls die Kulisse auf dem Weg nach oben positive Impulse jetzt muss in der Entwicklung x wachsen ich bin auf dem Weg nach oben x muss wachsen
Und größeres sinken werden die wieder eine Kraft in Gegenrichtung auch ich mal die wieder war mit der Kunde für die Kohle gebremst Bus muss so muss rechts runter und muss das gehen und das auch auf das Ergebnis hier man sich an Gruppen auch wenn sie x gleich 0 setzen und auf eine positive Zahl Einstellen steht hier eine positive Zahlen x Komponente hier stets 0 - eine positive Zahl dass sie oben positiv dass wird negative die x Komponente positiv die P Komponente wird negativ positiv Komponenten negativ so muss das aus ich kann ganz dreist dieses die nicht als Fall Punkt einmal an diesem Punkt soll möglichst gleich 0 und ist gleich 3 Mal einfach diesen Fall dreier obschon 1. Fall Vektor fällt in diese Richtung wird Entwicklung weiter Nicht Punkten das heißt meine ist an einem bestimmten x und der Puls ist neue was heißt das eigentlich für das Ende anschaulich
Der Bund und das heißt das das muss der höchste Punkt weiter geht es hier oben ruhig ist ein Nullniveau ruhig keinen kurz danach wird wieder unter die nicht gerade von unten angekommen und darunter ist der Gedanke war das heißt in welche Richtung muss sich den Fall dann man zwangsläufig nach unten weil die x-Koordinate ja wieder kleiner werden wird der in diese Richtung gemessen ist sollte der kleiner werden
Und außerdem wird der Puls negativ den ich bewege mich nach und den Tourismus negativ ist Obama nachvollziehen nicht setzt ein positives x 1 ist 0 dann sehen Sie auch das ist ja sogar noch ein dass man genauer wurde ist gerade 0 das heißt es bleibt nur die Änderungen bleibt und das wird sich ändern wir nun werde und die Änderung Tools x ist eine positive Zahlen steht eine negative Zahl die Sonne und es bleibt eine negative Zahl bekommt also aus 0 eine negative Zahl so einfach muss sich einmal das ist ganz dass es überlegt hatten Alarm gesagt es sei bis in die Richtung die stellt sich heraus x bleibt erstmal konstant bleibt ja oben der erstmals quasi schweben geht der Parabel für mich der bleibt der quasi stehen und kehrt dann wieder zurück das heißt genau in diesem Moment des Umkehr ganz ändert sich die x-Koordinate nicht gestand der geradezu geradezu schweben aber es ändert sich der Bund So kann man es jetzt hier weitermachen und wird von aber so Hier wird das so gehen Bin ich nur halb so groß ist deshalb zu groß ist die habe kommt natürlich ist das ist ja dürfte der für kommt wird der daraus über den nicht und wird so große haben und über und führt uns nicht über das mal ist aber kommt über das war voraus Man könne sich jetzt Art-Director dazwischen überlegen die sie nicht so überraschend aus natürlich gibt es auch die Vektoren zwischen Und das kann der des Dorf an der ganze Phasen haben der der Phase namens der von Vektoren nicht eines jeden funktionale nicht das Ergebnis dieser Rechnung hier die ist weiter in der Zeit Entwicklung und damit hat sich das und meine Bewegung ist dann quasi so etwas wie die von 1 magnetischen ist des ja man dieses Rechner ist nicht wirklich gut sein kann wenn es ja dieses werde und werden die bestehen der das den die Bewegung der zum Beispiel im Jahr 1 gibt der Kugel einen Stoß sie sich Urlage des entstaatlicht genau der ab und dann der einfach die feine ganze gelungen war
Kinderarzt folgen Sie einfach wird fallen also wenn dieses Feld der und ich würde Magnetfeldlinien ein einzeichnen können wäre das quasi eine ethische nicht folglich bei diesem Fall nicht viel von einem Zustand zum nächsten endlich kleinen Schritten von einem Zustand zunächst von einem zum nächsten einzunisten entlang dieser Änderung nicht daraus gekriegt haben gibt das so wurde dass wir die zeitlichen des ist sein
Was wir passieren sie sehen die State bei x gleich 0 dann geht es größere bis zu einem Maximum dann wird es wieder kleinerer nicht die durch den Ursprung durch das bis zu einem vom das aber kleiner ist als das Maximum und dann geht es wieder aufwärts zu einem neuen Maximum des Zahnersatzes vorherige Maximum ist wieder zurück zu und usw. genau das Verhalten der aus der Kälte und war das kann man aus diesem Phasendiagramm ablesen ein als üblich dass man diesen Phasen Raum Zustandsraum auf einmal Das die Differentialgleichung ein fundiertes dann muss man nur noch die Frage vervollständigen und weiß wie die Lösung
Wir sehen wir schon was Anfangsbedingungen sind hier das wäre eine Anfangsbedingungen Anfangsbedingungen wie staatliche des ist der Zustand des von der Zustand mit dem gestartet das ist die Anfangsbedingungen x ist gleich 0 der Puls ist weil ich
Was auch immer was Positives wir was wir da meine Anfangsbedingungen gewesen ich könnte auch stark mit der Vorgabe x ist eine positive Zahl nach oben ausgedehnt Bundesligisten Ruhe ich habe das hier auf der Hand und die Welt und zu starten hier ist ja so dass die ISS ausgeblendet in der Gulag und ich wird dann wird das ist dieser Anfangsbedingungen dieser Anfangsbedingungen wäre ich gebe es hoch und das ist einfach noch ein Anfangsbedingungen und natürlich für das analog weitergehen
Sich jeder Anfangsbedingungen offensichtlich genau eine Lösung zu vorgegeben ist die nicht dass man sagt auch an dieser Stelle weiter so sie immer den Fall Folgen haben sie keine Chance abzubiegen aus pathologischen Veränderungen sich der Mathematik Ähnlichkeiten mit beschäftigen welchen pathologischen fehlen wird es möglich abzubiegen dass sich nicht eine einzige Lösung zu einer Anfangsbedingungen habe wird damit ein Beispiel gar nicht und da drüber weg wenn sie wollen um sich aber das Beispiel jetzt an das kann man das ist aber physikalischen System extrem typisch dass sie Sonderaufgaben haben sich dann entscheiden können welche wegziehen typischerweise ist das so wenn sie den Anfangszustand haben dann gibt es nur eine Möglichkeit weiterzumachen eine einzige es gibt vor allem eine und auch nur eine
Was einem passieren kann ist dass diese Lösung vielleicht mal Definitionslücke Leute die Funktion zum Beispiel Definitions wird haben die Familien eine Definitions und dann habe ich ein Problem oder war es könnte sein dass sich in endlicher Zeit bis endlich gelang einer habe natürlich auch ein Problem an der Stelle aber das ist aber es offensichtlich was da passiert kann diese mathematische Spitzfindigkeiten treten in der Praxis extrem selten auf das zur Idee der Anfangsbedingungen sie gegen einen Zustand vor und aber da ist klar wie es weitergeht nicht gerade jemand eine mathematischen Automobili serviert hat das ist dabei aber das ist ja das ist klar ist wie dieser weitergeht heißt die Lösung ist eindeutig über bei den Jahren Gleichungssystem Eindeutigkeit der Lösung ist eine andere Gruppe natürlich existiert sie erst mal überhaupt die Lösung Das Mandat auch Daten der Existenz Uneindeutigkeit unterstellen mathematischen schreibt sie das alles raus aus der nicht von man und so durch
Zusammenhang <Mathematik>
Elektrisches Feld
Differentialgleichungssystem
Phasenraum
Vektor
Computeranimation
Geschwindigkeit
Kraft
Reibungskraft
Formation <Mathematik>
Federsteifigkeit
Gleichung
Vektor
Differentialgleichung
Reibungskoeffizient
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Physiker
Computeranimation
Geschwindigkeit
Computeranimation
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Geschwindigkeit
Faktorisierung
Menge
Mathematik
Position
Theoretische Physik
Gleichungssystem
Differentialgleichung
Quantenmechanik
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Geschwindigkeit
Impuls
Kraft
Stoß
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Konstante
Kraft
Computeranimation
Punkt
Vektor
Computeranimation
Punkt
Computeranimation
Impuls
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Positive Zahl
Punkt
Kraft
Vektor
Computeranimation
Richtung
Punkt
Computeranimation
Richtung
Negative Zahl
Positive Zahl
Kugel
Momentenproblem
Vektorrechnung
Rechenbuch
Stoß
Computeranimation
Richtung
Phasendiagramm
Maximum
Differentialgleichung
Computeranimation
Positive Zahl
Anfangsbedingung
Vorzeichen <Mathematik>
Computeranimation
Folge <Mathematik>
Anfangsbedingung
Mathematik
Eindeutigkeit
Familie <Mathematik>
Gleichungssystem
Ähnlichkeitsgeometrie
Physikalisches System
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 08.4 Vektorfelder, Lösungskurven im Phasenraum
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2011
Anzahl der Teile 92
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/10239
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Folgende Ressource ist Begleitmaterial zum Video

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