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13.2 Exponentialfunktion von Matrizen

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Aber so was habe ich versucht zu zeigen versucht zu zeigen nicht so ein Differenzialgleichungssystem habe die Ableitung eines Sektors soll eine Matrix Vielfaches des Vektors noch kann ich mit den eigenen Werten beiden Vektoren Matrix arbeiten dann Lösungen bauen in dieser Form hoch Eigenwert als halt mal den alten Vektor oder Lösungen derart auch noch zusammensetzen nicht mehr so Eigenwerte Eigenvektoren habe es anstatt Zustand so zerlege und dann Lösung insgesamt sozusagen aus der kritische Teil des Ganzen ist das hier hoch Eigenwert mal die zahlt man einen Vektor
Das kann man auch anders an die Stadt dass sich jetzt ausdrücklich Eigenwerte Eigenvektoren berechnet kann ich Exponentialfunktion bauen Exponentialfunktion Matrizen die das Ganze dann einen Schlag also noch mal dieses Differenzialgleichungssystem ich möchte dass die Ableitung so an der Zeit dass Matrix Vielfache von diesem Sektor ist zu jedem Zeitpunkt und 1. Bedingung zum Start mit dem Zeitpunkt 0 soll Vektor x 0 dass sollen fester mit rauskommen solche Differentialgleichungen hatten wir sein durch die Ansage Systeme hat wir einfach so schon Form schon wenn es hier keinen Vektor war so eine einfache Zahl war erst mal das in einer Dimension und das hatten wir schon eine Dimension und einfach nur mit reinen Zahlen die Ableitung einer Zahl ist nach der Zeit sein das Vielfache dieser Zahlen Matrix als auch ist ein Vielfaches dieser Zahlen zu dem Zeitpunkt und als Startwert
Und Startwert dass diese Zahl zum Zeitpunkt Anzahl ist nur so dass sollen sich schon ist dieses Differenzialgleichungssystem aber nun in einer Dimension entdeckt und mit einer Komponente eine Einmaleins Matrix mit einer das heißt die Ableitung man suchten Funktion nach sein sollen 4 für eine Funktion sondern ein konstantes will sich das hoch Amalthea nicht Obama die es leider muss man damit leben dass die Differentialgleichungen zur einen Hälfte x nach des sind und zur anderen Hälfte y Matrix sind auch um sie genau was die was angesagt ist also ich natürlich eine Exponentialfunktion als Lösung dieses x muss eine Exponentialfunktion sein hoch und wenn sie des Mainzer von zum ableiten muss ein Faktor an nach vorne kommen also muss verstehen Arbeits das wäre zum Beispiel eine Lösung die das nach der Zeit ableiten lassen Konstante das derzeit auf Seiten bleibt es aber irgendwas dann und die Ableitung Faktor war dazu 2. da ist das aber es ich habe es fehlt aber noch nicht dieser Anfangsbedingungen kriege diese Anfangsbedingungen eine passende konstant und konstant der senkrecht sehr einsetzen zum Zeitpunkt 0 6 0 rauskommen nicht wie die hier aber zehnmal aber 0 10 1 ich Vielitzsee wenn sich und setzen sich aus möchte aus muss also x 0 stehen dass wir die dieser Differentialgleichungen möchte eine Funktion haben der Ableitung nach der Zeit ein bestes Vielfaches mal diese Funktion ist mit dem Staat dann nämlich dass wir und das ist auch die einzige Art das sind zu dieser Startwert mal 2 die Zahl die als die Chance dass so dass es einer Dimension und jetzt 2. der Kunstkritik möchte dasselbe schreiben 100 Dimension und einer Million Dimensionen das da steht die Ableitung meines Sektors nach der Zeit soll sein eine Matrix mal dieser möcht ich dasselbe als Lösung schreibt dieses mit eine Matrix werden die hoch eine Matrix mal die Zeit so genau das dann heißt die die Lösung dieses Differenzialgleichungssystem
Also was soll schmutzig sich schreiben für ist dieses hier
Ich möchte die Lösung von dem analog Spalten die Nummer 11 Opfer von die Lösung von Sternchen Differentialgleichungssysteme
Entsprechen schreiben nämlich als Vektor x von ist gleich der anfangs Vektor mal eine Matrix Mariza wir steht erst mal eine Dimension Ableitung einer Größe gleich viele Verkoster Größe und die Lösung sein dieses vielfach mal die Zeit stark ist der Versand Gleichungssystem was sich lösen wird ist aber abwarten meines Vektor ist Matrix beste Matrix mal Vektor und dann sage ich ok Augen zu und durch das würde ich gerne so hinschreiben hoch Matrix Zahl das heißt das nicht dass auf der Zunge zergehen hier steht hoch eine Matrix 1 2 3 4 Wartezeit also ja also ist eine CD 2 3 4 das ist damit gemeint von 2 eine Art ziemlich schräg ein Ding nicht so und so oft mit sich multiplizieren hoch 3 mal wie man das immer noch quasi die Matrix an auf die Zeit mit sich selbst multipliziert werden soll das ist mein Problem
Man nicht weiter drüber nach so einfach formal diese Differentialgleichung der Das ist die Idee der auch eine Matrix der also es nicht ist ja schon das kann der gerade schon vor hoch 3 plus 4 Mal bei genauso ein gewagter Kunstgriff EU eine komplexe Zahlen dass ich auch nicht als man mal das heißt die 4 mal mit sich selbst und die CIA gibt genauso wenig sind aber das war schon so eine Erweiterung dass man komplexe Saalestädtchen jetzt noch einmal finsterer Buch eine Matrix aus auch einer 100 mal 100 Matrix auf jeden Fall bei quadratischen Matrix also quadratischen Matrix die muss sich noch quadratische ein aber sie kann beliebig große das kann man sich dann rechnen sagt ok hoch Matrix war die Zeit sollen die Lösung zu sein es gibt eine Geschichte jetzt hier noch nicht stimmen fällt hier dieser gleich was auf so nicht mehr von den Matrizen und Vektoren hat hier oben das Matrix mal die Zeit Verlag so das kann man nur wird das lehnten eine Matrix werden und die Versuche des einen Spaltenvektor mal eine Matrix zu welchen so dass dieser Art Matrix wird was anderes das und es ist ein Schreiben das irgendwas das wird nicht funktionieren dass dieser Welt auf der linken Seite steht und das zu werden und eine kosmetische Änderungen ich muss Vektor links wegnehmen und dahinter stehe so geht's dann tatsächlich das war hier egal bei der eindimensionalen Angelegenheit ob Physik so dass es zahllose 6 0 vor diese Zahl würde der diese Zahl schreiben macht keinen Unterschied macht nach einen Unterschied dass wird nach einem Matrix werden das ist ein Spaltenvektor ich muss Spaltenvektor rechts von der Matrix habe so muss es ist das 1. Mal die Idee hinter der Exponentialfunktion einer Matrix hoch Matrix Wartezeit mal einen Vektor soll diese Funktion sein die das löst mit dem anfangs der mit dem anfangs Sektor dann formal geschrieben was des Vista-Funktionen sein aber das natürlich wenig befriedigend die Recht nicht jetzt Exponentialfunktion eine Matrix aus sie das nochmal eindimensionalen an die Exponentialfunktion
4 Zahlen exponentielle als Funktion des Land sind Die ging's so hoch Z wird was werden welche aus so so hoch 4 wir einfach das wäre mal ein wir auch wenn das für jede Zahl hinhauen sollen die hoch 7 , 9 und minus 3 Komma 8 hoch pi da muss man andere Formen haben das war die hier als bloße dass der Quartal begrüßte wird fruchtbar 6. bloß die 6 sind eigentlich 3 Fakultät plus usw. plus hoch durch den Fakultät los und sobald es endlich
Dasselbe wird Exponentialfunktion gefunden für sozusagen die Exponentialfunktion Exponentialfunktion zur Basis zu war was ist vielleicht schließt wenn das hier so funktioniert für Zahlen dann auf der Mathematik dass man mir selber auch verallgemeinern kann werden es auch schon für komplexe Zahlen das geht auch wenn eine komplexe Zahl ist war schon und hoffen wir doch auch dass das weitergeht und Matrizen einsetzen die Exponentialfunktion quadratischen wohlgemerkt Exponentialfunktion für quadratische Matrizen auf quadratische Matrizen hoch einer quadratischen Matrix eine kurz Matrix was würden Sie erwarten dass wir bezahlen was würden Sie für Matrizen erwarten die 1 zu einer Matrix und sonst was aber es aber bei der Matrizen setzt ist die Matrix setzt Quadrats die Zahlen war sich selbst bei Quadrates ist die Matrix man sich selbst mal Quadrat besteht für quadratische Matrizen Zittow 3 wird die Matrix 2 3 3 Fakultät usw. von kommt die Matrix Potenz der Impotenz durch Verbote usw. ins Unendliche alle auf das ist die Exponentialfunktion für Matrizen und man kann mir ziemlich blöde Nachrichten dass das hinaus was diese selbst sah Funktion tatsächlich eine Lösung vor
Das ist der nächste Schritt wird oft nur für Sie
Nur wenig Form des Münchner x von The soll zwar Diese sind wie hoch am als Matrix 0 mit dieser Art der Besitzer Funktion aus zu buchstabieren ist ob ich mir mal an ob das der Finanzlage der eigentlich fängt mathematische und das sagt Anwalt Matrix Wartezeit soll eine Lösung dieses Differenzialgleichungssystem liefern zum Stadtbild x 0 bewegte Bilder dann steht auf der rechten Seite ist die mal anders und von sagen ok angenommen dass es es wirklich die Exponentialfunktion für quadratische Matrizen dass die wirklich so ausgleichend werden kann Probleme das doch mal und der auch am und damit auszurechnen das können sie war aus sie jetzt und arbeitet mit dieser Gleichung hier ausbuchstabieren Schritt für setzt sich abermals eine von geht auf jeden Fall mit der einer Einheitsmatrix los dann kommt Arbeit plus jetzt kommt die Matrix abermals zweimal hintereinander dass es Quadrat Anwalt zweimal hintereinander das heißt Sie die Test davor wir sind einfach Faktoren Zahlen hier steht auf dem ist nicht so überlegen ist wenn sie sich erst nach vorne haben C-Quadrat als Park Fahrrad halte ich sollte auch hier nicht schlagen die nach vorne schreiben das sieht schick aus über den dramatisch war auf das Thema von mit wird der von der Frau und so geht das weiter wir gleich arbeite ist stets der 3. Potenz die Matrix in der 3. Potenz also plus 3 war aber auch 3 wo der durch 3 Fakultät Glos und so weiter und x Ohlstedter auch sehen dass es durchaus sinnvoll war das x nun auf die rechte Seite zu schreiben steht eine Matrix quadratischen Matrix x 0 ist ein Spaltenvektor der rechten Seite das funktioniert beim 1. Versuch wir wollten nicht auf der linken Seite des gar Abends so gut so dass wir es ausbuchstabiert Einheitsmatrix Matrix 0 ist x 0 Lusti mal aber Matrix und lustig Quadrat Park Vorderrad alle ist nun Schluss war nicht mehr das Wort war und den Bau des weil ich 3 verkohlte Matrix nun los usw. Das wird jetzt man versucht das dass so wird also ich probier mal die Formel für die Exponentialfunktion über die Vielzahl an hatten Formel Exponentialfunktion Zahlen auf Matrizen zu übertragen wird dass man eine Matrix ist Hahnwaldweg buchstabiere aus was was sie auf das ist jetzt mit viel Glück einen so von guten danach ob das wirklich eine Lösung ist Proberechnungen ich gucke mir als einfach das erst mal wies der mit dem anfangs Wert steht x an der Stelle 0 was wird passieren wenn sie 0 einsetzen
Man sieht gleich 0 einsetzen ist nur dass sie noch Ergebnis x 0 steht plus 0 mal ebenfalls plus nur Quadratmeilen irgendwas müssen Unwucht was alles weg stimmt also der anfangs wird steht der mit x nun dass nur noch die Ableitung checken die Ableitung von x Ableitung von links nach derzeit gar nicht jetzt zu Fuß aus was es mit dem sie die nach ableiten dass ein konstanter Vektor nicht den ableiten nach der Zeit ist das der 0 Vektoren mal einen konstanten Vektor ableiten ist diese Konstante Vektor des die sich aus am wenigsten bloß C-Quadrat halt mal konstanten Wert ableiten 2. die haltbar C-Quadrat ableiten sind 2. schon 2 halbe 2 kürzlich mal klar was es nun Glos die hoch 3 usw. Theo auf Seiten der 3 C-Quadrat durch Weise Fakultät
Haro war es neue Genres usw. Das heißt steht eigentlich C-Quadrat halt
Dreimal C-Quadrat durchsetzt die Schwarzwaldhalle den der ob man sich an das ist ja eigentlich nicht aber ausklammere ist das überall Faktor war 0 Vektor plus wird über ein Faktor a aber x 0 schloß sie als eine Art rausgezogen Thema aber Alex 0 los C-Quadrat halbe ein daraus sie also C-Quadrat halbe Aero 2 x und los weiter was steht ist keine große Überraschung aus da steht ist das was sie vor eingesetzt habe x plus als nun das ist mein von The die Ableitung nach der Zeit ist also wirklich diese Matrix aber mal den Weg durch das zur Zeit sichern sich anfangs wird und die der wenn ich diese Formel diese ganz so muss vorgeführt Exponentialfunktion diese hier wieder normal die 1 wird zu einer Matrix die Quadrate Kunden usw. werden einfach zur Potenz der Matrix dann können Sie tatsächlich aus dieser Funktion
Diese Funktion eine Matrix bauen die das sage System
Das ist eine schöne sich auf dieses Problem ich suche eine Lösung zu sein Differentialgleichungssysteme die Ableitung man so Vektor der Funktion so ein Vielfaches Matrix Faches keine Funktion sein ich könnte jetzt von dieser Form von dieser warten Sie einen Wert Eigenvektoren suchen und damit Lösung warum war der 1. Tag oder aber das abstrakte und schreibe ein Exponentialfunktion von Matrizen
Und damit sehr elegant Form gelöst beschrieb die Lösung ist
Hoch die Matrix war die Zeit der anfangs Vektor
Anm. am Rande steht und wird es gibt sie natürlich auch die Funktion von einem Arzt dessen jetzt der Mittelstaaten wenn sie einfach nur ein die mit der als dass Eintrag der Matrix die Funktion und das ist nicht mal Expo ist die Gemeinde mit der Sachen Funktionen für Matrizen das durch wird mal klarmachen hoch eine Matrix ist was anderes als Eintrag
Für sich in der Financial Funktion zu Arm hoch ausbauen wir 2 folgende Matrix 2 0 0 2 das müsste das als ich könnte jetzt ganz diese Formel was ist hoch eine Matrix 1 plus diese Matrix plus diese Matrix ins Quadrat halbe durch diese Matrix hoch 3 bis 3 Fakultät los und so weiter bis es endlich auf den
Das macht also man sie als sogenannten ankucken 2 0 0 2 Squadra als ist es einfach die Matrix die verdoppelt zweimal die Einheitsmatrix das heißt das Quadrat wird seit 2 Quadrate 0 0 2 verwahrt und Hero 3 Matrix die Vektor verdoppelt dreimal hintereinander an wenn sie Vektor verachtfacht 2 3 0 0 2 3 jetzt Anfang der Eintrag für Eintrag auf zu mir auch zu mir die Einheitsmatrix 1 0 0 1 2 geht mir was links oben steht 1 und zwar Widgets Sonnenschein der gerade dringend besonders erklärte 1 plus war es steht der 2 Quadrat der Umstieg 2 war nicht weil Fakultät plus usw. Versteht hier rechts oben rechts oben die ganze Zeit 0 0 und plus von los und steht 0 links und die ganze Zeit 0 und plus müssen weil dieser Matrix
War das ein Vielfaches von Einheitsmatrix ist das macht das Ganze sind auf der Stelle und hier steht natürlich wieder 1 bis 2 plus 2 Vertreter ist der wiederum 1 plus 2 bis plus 2 Grad auf 23 zwar nach durch Verbote usw. Klammer zu Das für das nach werden haben sie für die hier auch kurzen Ausdruck Quadrat steht einfach von steht Quadrat 1 plus X Lustigs WAP-Portal Musiksoftware nicht vor der usw. Buch x Quadrat steht weiter unter steht wollte und steht noch mal die Quadrate dass wir es hier mit der mit seiner Funktion von dieser Matrix das ist der
Sie der sich Staaten das ist mit der die Funktion wächst exponentiell Matrix verwesten sie das nicht mit der Funktion in der jeder Eintrag der Matrix exponentiell hoch an das Schwarze darunter hoch 2 hoch 0 Buch 2 Wochen und natürlich um 0 hoch 2 das wilde erklärte ich selbst immer noch dass die Funktion wächst sie den Ex auf die Matrix 2 0 0 2 1 sie das Haus jeder Eintrag für sich mit Exponentialfunktion gesetzt warum sind die beiden verschieben
Hier steht 1 und da steht das sind 2 verschiedene Matrizen diese nicht gleich 2 sich nicht verwirren lassen also der Exponentialfunktion einer Matrix heißt nicht dass sie den Eintrag seiner Funktion sondern das heißt das nicht dass man um was dass man sich überlegt was hier aus dieser Summe rauskommt oder dass man sich über nicht die man eine Lösung für dieses Desaster Quatsch das der schon Lösung an eine Lösung für diese Differentialgleichung das heißt Funktion von Matrizen das heißt nicht ganz billig wird die Funktion zu das geht schief
Und vor allem kann sich nicht mit gut 3 anreisen
Weil er so natürlich aber das ist gerade nicht gemeint für diese Art der Funktion für die wichtige mathematischer
Matrix <Mathematik>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Physik
Einmaleins
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Differentialgleichung
Computeranimation
Gradient
Quadrat
Arbeit <Physik>
Homogenes Polynom
Fächer <Mathematik>
Eigenwert
Komplexe Zahl
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Erweiterung
Mathematik
Vektorrechnung
Exponent
Rand
Gleichung
Vektor
Zahl
Eigenvektor
Unendlichkeit
Konstante
Summe
Gasströmung
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Anfangsbedingung
Differentialgleichungssystem
Aggregatzustand

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 13.2 Exponentialfunktion von Matrizen
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2011
Anzahl der Teile 92
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/10252
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Folgende Ressource ist Begleitmaterial zum Video

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