Mit der Determinante kann man nun eine Spezialoperation im R3 bauen, das Spatprodukt. Triple product im Englischen, Dreifachprodukt, Spatprodukt, hochgemerkt nur im R3.

Ich nehme drei Vektoren, Spatprodukt, nur im R3, der drei Vektoren, ich gebe einfach mal welche an, die im Script stehen, 1, 2, 3, 3, 0, 2, 4, minus 2, 1, die drei Vektoren.

Das Spatprodukt soll heißen, ich baue die Determinante, in der einfach diese drei Vektoren drin stehen, 1, 2, 3, 3, 0, 2, 4, minus 2, 1.

Das ist ja nichts anderes als das Volumen, was von diesen drei Vektoren aufgespannt wird, gegebenenfalls mit Vorzeichen. Also das ist Volumen mit Vorzeichen des Spats, das schraube ich jetzt mal ganz dreist, der von den dreien eben aufgespannt wird.

Es gibt auch kein besonderes Zeichen für das Spatprodukt. Das Spatprodukt ist einfach die Determinante, drei Vektoren hintereinander in eine Determinante ist das Spatprodukt.

Das kann man dann nächstes Mal etwas anders schreiben, mit Vektorprodukt und Skalarprodukt. Das ist auch der Punkt, wo überhaupt das Vektorprodukt wirklich ins Spiel kommt. Aber erstmal ist eigentlich das die Idee vom Spatprodukt. Ich habe drei Vektoren, die nehme ich als Kanten, wie auch immer sie jetzt im Raum liegen mögen,

die nehme ich als Kanten eines Parallelepipeds, eines Spats. Und das Spatprodukt soll mir sagen, was ist das Volumen dieses Spats und was ist die Orientierung? Ist das so orientiert wie XYZ oder andersrum orientiert?

Warum das Volumen? Das muss ich vielleicht nochmal erzählen. Die Determinante sagt ja, was mit dem Einheitswürfel passiert. Was passiert, wenn ich den Einheitswürfel nehme und durch diese Matrix, die da drin steht, in der Determinante jage, dann wird aus dem Einheitswürfel der Spat, diese Kante, diese Kante wird zu der einen Kante,

diese Kante wird zu der anderen Kante, die dritte Kante, die dritte Kante wird zu der dritten Kante vom Spat. Die Determinante der Matrix sagt mir, was dabei mit dem Volumen passiert, um welchen Faktor ändert sich das Volumen?

Das Volumen 1 vorher und das Volumen des Spats nachher. Das heißt, diese Determinante sagt mir schlicht und ergreifend das Volumen dieser Figur, das Volumen des Parallelepipeds, des Spats, wie er dann eben auf Deutsch heißt, plus Vorzeichen. Wenn diese drei, andersrum, wenn hier x, y, z eine rechte Hand bilden, was Sie in der Physik gerne tun,

und diese drei hier keine rechte Hand bilden, dann ist das Vorzeichen negativ und sonst ist es positiv. Das macht das Spatprodukt. Also das hat auch eine ganz billige, plastische Vorstellung, das Volumen so eines, wenn Sie wollen, Parallelogramm im Raum zu bestimmen, samt Vorzeichen.

Und von da geht es dann nächstes Mal zum Vektorprodukt. Dieses Spatprodukt kann man dann mit Skalarprodukt und Vektorprodukt schreiben.