Das finde ich immer spannend, wenn man aus Formeln was ablesen kann, um die Formel zu Ende ausgerechnet zu haben. Also ich weiß fast über die a ns und b ns allein aus der Symmetrie meiner Funktion hier. Aber jetzt wollen wir uns wirklich mal ausrechnen, die a ns und die b ns. Man könnte die komplexen Fourier-Koeffizienten nehmen und jetzt einfach drauf schließen.

Wenn Sie hier Cosinus zerlegen, Cosinus zerlegen, haben Sie danach dann drei Knoten im Gehirn und haben dasselbe raus, wie das, was ich jetzt vorführen will. Ich denke es gibt einen Weg, der kürzer ist. Ich muss mir jetzt von diesen Funktionen überlegen, was deren Länge ins Quadrat ist und was deren Skalarprodukt ist.

Wenn ich das hinkriege, bin ich am Ziel. Wir fangen mal mit der ersten an, was ist zumindest erst mal deren Quadrat aufintegriert. Das sieht so aus, wie das Skalarprodukt mit sich selbst von eben. Also ich probiere Folgendes, das Integral, 0 bis t, diese erste Funktion, Cosinus, 2pi, nt durch groß t,

die quadrieren und integrieren. Eben bei dem offiziellen Skalarprodukt stand noch eins durch t.

Das kriege ich gleich auf der anderen Seite wieder dazu, so ist es einfacher auszurechnen. Ich möchte das ausrechnen. Das lässt sich nun einfach durch malen machen. Ich schreibe erst mal hin, wo es herkommt. Nachher wird das Ergebnis Nummer 4.

Ich zeige das durch malen, warum das so sein muss, wie es dann ist. Auf der Periodenlänge t macht der Cosinus, hier steht n Durchgänge.

Das soll der Cosinus sein. Sie sehen, hier wäre n gleich 5. Dann macht er fünf komplette Durchgänge. Das wäre der Cosinus innen drin.

Wenn ich den quadriere, möchte ich das ins Quadrat wissen. Hier ist 1 Quadrat, ist 1. 1 Quadrat ist 1. Überall wo er 1 ist, kommt 1 raus. Überall wo er 0 ist, 0 Quadrat kommt 0 raus.

Überall wo der Cosinus minus 1 ist, ist sein Quadrat plus 1. Das Quadrat von Cosinus, wegen der Additionstheorie, Cosinus mal Cosinus, wenn Sie sich erinnern an Additionstheorie,

da kommt ja auch Cosinus mal Cosinus, Sinus mal Sinus, Cosinus mal Sinus. Das Quadrat von Cosinus muss auch wieder irgendwas Cosinus-Sinus-förmiges sein. Hier sehen Sie jetzt, was es sein muss. Das muss wie ein Cosinus aussehen, aber mit der doppelten Frequenz. So muss das offensichtlich aussehen. Das Quadrat von Cosinus nach oben verschoben und doppelte Frequenz.

Das wird das Quadrat von Cosinus werden. Mich interessiert jetzt diese Fläche, die Fläche unter dem Cosinus. Die können Sie jetzt ablesen.

Es reicht, dass man sich dieses Rechteck anguckt. Und dann ist die rote Fläche genau das, was hier oben auch als weiße Fläche übrig geblieben ist. Man muss das nur passend oben wieder reinlegen. Also ist die rote Fläche die Hälfte von der grünen Fläche. Und die grüne Fläche ist T mal 1.

Einhalb mal T wird das Ergebnis sein. Ohne dass man jetzt böse Integrale ausgerechnet hat. Einfach nur durchmalen. Das sagt mir etwas über die Länge, die Norm dieser Funktion. Cosinus, der nonsovielfachen Frequenz.

Denn da steht ein Halb. Das macht das Ganze eben ein bisschen blöder als bei den E hoch I. Soviel Funktionen. Bei den E hoch I. Soviel Funktionen kam eins raus und nicht ein Halb. Dasselbe klappt beim Sinus. Wenn Sie den Sinus quadrieren und integrieren.

Also wenn Sie den Sinus nehmen von 0 bis T. Den Sinus 2 pi n t durch pros t quadrieren dt.

Dann ist das ganze Jahr nur um 90 Grad Phasen verschoben. Also wenn ich das hier baue für n gleich 5. Hier ist T. T n gleich 5.

Jetzt muss der Sinus 5 mal durch. Sinus 5 mal durch. Das ist aber nicht so richtig.

Ein Freihandsinus. Ein Sinus. Welche Farbe hatte ich? Rot. Davon interessiert mich das Quadrat. 0, 1, 0, 1, 0, 1. So wird er aussehen.

Nicht ganz so schick geworden wie eben. Das Integral wird die Fläche sein unter der roten Kurve. Den Sinus ins Quadrat. Und die selbe Argumentation. Wenn Sie hier dieses grüne Rechteck einmalen.

Dieses grüne Rechteck einmalen sehen Sie. Die rote Fläche ist die Hälfte der Fläche vom grünen Rechteck. Das macht also T halbe. Denn dessen Fläche ist T mal 1. Selbes Argument beim Sinus.

Dessen Norm ist also auch ein bisschen klein. Da steckt dann irgendwie noch eine Wurzel 2 dabei. Das hier ist das Quadrat der Länge. Da muss also irgendwie eine Wurzel 2 schief gehen. Das Spannendste ist Produkte jetzt quer durch den Garten zu bilden. Nicht ein Ding mit sich selbst zu multiplizieren,

sondern zwei verschiedene zu multiplizieren. Verben, die weiterhin senkrecht aufeinander stehen. Und das tun Sie in der Weise. Sonst wird es ganz fürchterlich. Also ich nehme Sinus 2 Pi n kleinen t durch T. Mal Sinus 2 Pi m mal kleinen t durch Dt.

Zwei verschiedene Sinuswellen. Und in der Tat. Es haut hin, wenn man das macht. Man kriegt tatsächlich Null raus.

Zwei verschiedene Sinuswellen nehmen. N und gleich M. Das kommt wirklich Null raus. Sie stehen auf diese Weise senkrecht aufeinander. Das ist mit Malen nicht mehr ganz so gemütlich. Man kriegt es mit zweifacher partieller Integration hin. Also ich möchte dieses Integral ausrechnen.

Auf der linken Seite. Partielle Integration. Der Sinus hier vorne soll abgeleitet werden. Und der Sinus hier hinten. Von dem möchte ich eine Stammfunktion. Das wird alles die Nummer 9.

Da können Sie das mitten durch den Text malen. Also den möchte ich ableiten. Den möchte ich integrieren. Den Sinus hier vorne ableiten. Das macht mir den Cosinus. Vom selben Kram. Und jetzt kommt die innere Ableitung. Zwei Pi N durch groß T. Und ableite das in der Ableitung dazu. Hier will ich eine Stammfunktion.

Was leite ich ab, damit der Sinus rauskommt. Ist Minus Cosinus. Minus Cosinus. Vom selben Kram. Das muss ich aber noch gut machen. Dass hier die innere Ableitung steht. Wenn ich hier ableite. So Proberechne. Wenn ich hier ableite kommt 2 Pi M durch groß T dazu.

Den muss ich loswerden. Mal T durch 2 Pi M. Wenn Sie jetzt hier ableiten. Kommt tatsächlich der Sinus wieder raus. 2 Pi M durch groß T. Kommt davor. Hebt sich da hinten weg. Minus Cosinus wird zu Sinus beim ableiten. Das wird dann der erste Schritt bei der partiellen Ableitung.

Was kriegen wir bei der partiellen Ableitung? Sie kriegen als Randterm die beiden nicht abgeleiteten Sinus. Minus Cosinus. Sinus Blah. Mal Minus Cosinus Blah.

Mal T durch 2 Pi M. Ist der Randterm. Zwischen 0 und T. Minus und jetzt vertauschte Rollen. Beides was unten steht. Da steht noch ein Minus. Macht insgesamt ein Plus. Das T unten und das T oben. Die heben sich weg.

2 Pi hebt sich weg. Es bleibt N durch M. Plus N durch M. Mal das Integral von 0 bis T. Cosinus und so weiter. Ne. Cosinus und so weiter. Cosinus und so weiter dt.

Das wird da stehen. Uff. Was halten Sie von dem Randterm? Dieser Randterm ist gnädigerweise 0. Sie sehen das wenn Sie hier den Sinus einsetzen. Der Sinus von groß T.

Soviel mal 360 Grad wird 0. Der Sinus von 0 wird 0. Ein anderer Grund wäre. Das was hier drinnen steht. Ist eine Funktion mit der Periode groß T. Ich nehme eine Funktion mit der Periode groß T. Einmal bei groß T. Minus bei 0. Da hat sie aber den selben Wert.

Sonst hätte sie nicht die Periode groß T. Muss 0 sein. Das vorne muss 0 sein. Und das macht man jetzt hier hinten. Diesen Schritt den man da hatte. Macht man hier hinten nochmal. Ich frage mich gerade ob ich das nochmal ausführe. Oder ob ich es nur andeute. Jetzt hier den selben Ärger nochmal.

Den Cosinus ableiten. Dann habe ich wieder was mit Sinus. Den Cosinus dahinten integrieren. Ist auch wieder was mit Sinus. Und ich kriege nochmal ein weiteres N durch M. Was da zum Schluss steht ist das.

Integral über Sinus mal Sinus sein wird. N Quadrat durch M Quadrat. Mal Integral über Sinus Sinus. Das wird man zum Schluss haben. Wenn Sie hier weitermachen. Den Cosinus ableiten. Den Cosinus integrieren. Sinus. Es gibt wieder diese beiden Terme dazu.

Durch die innere Ableitung. Also nochmal ein N durch M. Und zum Schluss. Ich führe es mir wirklich nicht auf. Man kriegt ja die Krise wenn man das durchrechnet. Zum Schluss wird da was rauskommen. Wie N Quadrat durch M Quadrat. Mal das Integral 0 bis T.

Sinus. Sinus dt. Und was habe ich dann gelernt? Ich habe festgestellt. Dass mein Integral. Mit den Sinus N Sinus M. Dasselbe sein muss. Wie das Integral. N Quadrat durch M Quadrat.

Das Integral. Das wird zum Schluss dabei rauskommen. Wollen Sie nicht das im Einzelnen nachzurechnen. Ich hoffe das es mir zu klar ist. Dass das so passieren muss. Was weiß ich dann? Warum muss jetzt dieses Integral hier 0 sein?

Ich schreibe das gerade nochmal anders hin. Zum Schluss haben wir sowas. Unser wunderschönes Integral. Ist gleich N Quadrat. Durch M Quadrat. Mal unser wunderschönes Integral. Was wissen Sie über das Integral? Das ist eine ziemlich. Abstruse Begründung. Das Integral ist eine Zahl mit der Eigenschaft.

Dass ich. Wenn ich sie mit N Quadrat durch M Quadrat multipliziere. Auch wieder diese Zahl rauskriege. Eine Zahl. Wenn ich mal für N und M Werte einsetze. Irgendeine Zahl. Die gleich. 3 Quadrat. Durch 4 Quadrat. 9 Sechzehntel mal sich selbst ist eine Zahl.

Die gleich 9 Sechzehntel mal sich selbst ist. 10 kann es nicht sein. 9 Sechzehntel mal 10 ist definitiv nicht 10. Sondern viel weniger. 100 kann es nicht sein. Minus 10 kann es nicht sein. Es kann nur die Null sein. Die einzige Zahl die diese Eigenschaft hat. Ist die Null. Das ist der offizielle Weg dann zu zeigen. Dass dieses Integral Null sein muss.

Und nichts anderes sein kann. Dies ist ein ganz schöner Klimmzug. Will ich hier auch nicht in aller Glorie zeigen. Will ich hier auch nicht in aller Glorie zeigen. Okay, man findet also tatsächlich. Dass Sinus. Der einen Frequenz und Sinus der anderen Frequenz. In diesem Sinne senkrecht aufeinander stehen. Dieses Integral ist Null. Wenn N und M nicht gleich sind.

Wenn N und M gleich sind. Steht hier netterweise auch eins. Und dann ist es möglich. Dass I gleich einmal I ist. Aber wenn N und M nicht gleich sind. Steht hier niemals eins. Das geht nicht. Wenn I ungleich Null ist. Das selbe passiert mit Sinus und Kosinus. Und Kosinus und Kosinus.

Das gebe ich einfach nur an. Also wenn Sie den bilden. Von Null bis T. Den Sinus. Zwo Pi Nt durch T. Mal den Kosinus. Zwo Pi Nt durch T. Dann kriegen Sie Null raus.

Zehn. Und hier dürfen N und M sogar gleich sein. Wenn Sie den Sinus des einen. Stimmte Frequenz. Mit dem Kosinus des selben. Auch dann kriegen Sie Null raus. In dem Fall dürfen sogar N und M gleich sein. Und.

Der letzte in der Runde wäre. Mit dem Kosinus. Der Kosinus der einen Frequenz. Mal den Kosinus einer anderen Frequenz. Frequenz. M. Dt. Auch das ist Null. Also hier.

Muss natürlich wieder N ungleich M sein. Sonst habe ich das Quadrat vom Kosinus. Für N ungleich M. N ungleich M. Für N ungleich M. Und hier sogar. Für N gleich N. Weil der Sinus mit dem Kosinus multipliziert wird.

All das geht mit partieller Integration. Keine Raketentechnik. So. Das heißt die Sinus und Kosinus Funktionen. Sind senkrecht zueinander. Insofern Glück gehabt. Aber ihre Längen sind unfaktur Wurzel 2 daneben. Wo war das?

Das Quadrat der Länge. Ist nicht T. Andersrum. Das hier wäre das. Quadrat der Länge. Durch T Teil. Das Quadrat der Länge ist nicht 1. Sondern ein Halb. Ist also um Faktur Wurzel 2 daneben.

Das rächt sich dann an einem Faktor 2. An diversen Stellen. Nämlich. Wenn ich nun folgendes bilde. Analoger Trick. Ich probiere doch jetzt mal meine Funktion. Mit dem Kosinus zu integrieren.

2 Pi M mal T. Durch groß T. Meine Funktion. DT von 0 bis groß T. Dieses Ding. Mit dem Kosinus zu integrieren. Für M gleich 1, 2.

Und so weiter. Hier bei dem F. Stelle ich mir ja vor. Steht drinnen. Der Gleichspannungsversatz. Plus eine Summe. Mit. A n. Kosinus plus b n. Sinus. Das stelle ich mir vor.

Der Kosinus M. Ignoriert den Gleichspannungsversatz. Kosinus mal eine feste Zahl. Über eine Periode integriert. Fliegt raus. Er integriert den Kosinus. Wenn dieses N. Was anders ist als das M.

Er integriert sowieso alle Sinus. Integral Kosinus mal Sinus. Gibt immer 0. Egal was sie machen. Der einzige Term, der übrig bleibt. Ist der, wenn hier dieses N. Gleich den N ist. Dann haben wir hier den Kosinus. Mal den Kosinus.

Und das wissen wir, was das ist. Der Kosinus mal sich selbst integriert. Kam irgendwo. Anfang genau. T halbe. Nicht da. Eins weiter noch. Da. Den Kosinus mal sich selbst integriert. T halbe. Das ist das einzige, was übrig bleibt. Alle anderen Kosinus werden zu 0 in Integral.

Kosinus von M. Mal Kosinus irgendein anderes N. Wird zu 0. Kosinus mal Sinus. Wird zu 0. Der einzige ist M. Der übrig bleibt. Hier in der Summe der m. Am. Mal das Integral Kosinus mal Kosinus. Haben wir gesehen ist groß T halbe.

Also weiß ich. Wie ich dieses A bestimmen kann. Der N der Koeffizient A. Ist also sie teilen. Durch T. Und multiplizieren mit 2.

2 durch groß T. Mal das Integral von 0 bis T. Kosinus. 2 Pi N. T durch T. Mal F von T. So kriege ich den Anteil von Kosinus. Erstmal nur. Für 1, 2 und so weiter. Noch nicht die Gleichspannung.

Für N gleich. 1, 2. 3 und so weiter. In netter Weise. Wenn man jetzt einen Schritt weiter denkt. Okay was passiert. Wenn ich in diese Formel. N gleich 0 einsetze. Wenn Sie diese Formel N gleich 0 einsetzen. Was passiert mit dem Kosinus.

Eben habe ich das gezeigt. Wenn Sie das integrieren. Wenn Sie integrieren und durch die breite teilen. Haben Sie sowas mit dem Mittelwert gebildet. Ich finde das wieder. Hier an dieser Stelle. Integral durch die breite teilen. Das ist der Mittelwert. Wie hoch muss dieses Rechteck sein.

Damit es den selben Flächeninhalt hat. Wie die Originalfunktion. Das heißt. Wenn Sie die 2 hier weglassen. N gleich 0 setzen. Kosinus von 0 ist 1. Wenn Sie N gleich 0 setzen. Haben Sie das Integral der Funktion durch T. Das wäre der Mittelwert. Das wäre der Gleichspannungswert.

Was rauskommen sollte. Wenn da die 2 nicht stünde. So kommt jetzt eben. Der doppelte Gleichspannungswert raus. Wenn Sie N gleich 0 einsetzen. Und das ist der Grund. Der Grund für. Für dieses halbe. Man zahlt.

Man ist bereit hier. Diesen Preis zu zahlen. Dass hier A 0 halbe steht. Für den Gleichspannungsversatz. Nur um diese Formel hier. Nicht nur für N gleich 1, 2. Und so weiter zu haben. Sondern auch. Um sie für N gleich 0 zu haben. Damit dieselbe Formel gilt.

Wenn ich N gleich 0 einsetze. Will ich Willens. Als Preis zu zahlen. Dass in meiner Fouchierreihe hier. A 0 halbe steht. Irgendwo muss dieser Faktor halbe. Untergebracht werden an der Stelle. Irgendwer muss leiden. Man hätte ihn auch symmetrisch aufteilen können.

Aber das wird nicht viel schöner. Okay. Damit haben wir die Cosinus-Anteile. Und den Gleichspannungsanteil. Das ist die Formel für den Cosinus-Anteil. Sie sehen. Das sieht aus wie das Skalarprodukt. Integrieren und durch die Breite teilen. Aber es kommt der Faktor 2 dazu. Weil diese Funktion Cosinus.

Nicht die richtige Länge hat. Die ist, wenn Sie wollen, zu kurz. Und analog hat man das für die Bs. Wenn Sie sich genauso überlegen. Die Bn sind. Also dann nicht B4. Sondern die Bn. Sind dann 2 durch T.

0 bis T. Sinus. 2 Pi n T durch T. F von T. DT. Also um festzustellen. Natürlich jetzt für. N gleich 1, 2, 3. N gleich 0 ergibt bei Bn ja keinen Sinn. Der ist nicht dabei. Also um festzustellen. Was für eine bestimmte Sinuswelle drin ist.

Multipliziere ich mit exakt dieser Sinuswelle. Und integriere auf. Um festzustellen. Was für eine bestimmte Cosinuswelle drin ist. Multipliziere ich mit dieser Cosinuswelle. Und integriere auf. Das ist die. Schuhmäßige Art der. Fujirei. Bei der man dann wirklich sieht.

Wie eine Funktion. Eine Funktion mit Periode groß T. Natürlich immer im Hinterkopf. Wie eine Funktion mit Periode groß T. Zusammengesetzt wird aus. Sinus und Cosinus.