Eine Ungleichung, wie sie vielleicht auch in der Klausur vorkommen könnte. Der Betrag von x-1 soll größer sein als x-2. Besucht ist die Lösungsmenge dieser Ungleichung. Welche reellen Zahlen x erfüllen dieser Ungleichung?

Lösen Sie die so, wie Sie möchten, aber lösen Sie diese Ungleichung. Einige Leute überlegen noch, wie man überhaupt dran geht. Wenn Sie keine Idee haben, wie Sie an so etwas dran gehen, dann versuchen Sie mal Zahlen einzusetzen. Was passiert, wenn x gleich 5 ist? 5 minus 1, 4 im Betrag ist größer als 5 minus 2, 3.

5 würde zum Beispiel drin sein. Eine Idee, bei Zahlen einzusetzen, um eine Idee zu kriegen, was da überhaupt passiert. Eine andere Idee, ein Diagramm zu machen, die Funktion links mal aufzumalen, die Funktion rechts mal aufzumalen, welche Kurven das sind.

Die Funktion auf der rechten Seite. Wie skizzieren Sie die Funktion auf der rechten Seite? Gerade mit der Steigung 1 einmal x um 2 nach unten verschieben.

Der y-Achsenabschnitt ist minus 2. Wenn Sie 0 einsetzen, kriegen Sie minus 2 raus. Bei minus 2 müssen wir durch die Achse. Wenn Sie 2 einsetzen, kriegen Sie auch 0 raus. So wird die rechte Seite aussehen.

Das ist die rechte Seite. Wie können Sie die linke Seite skizzieren? Sie erinnern sich an die Komposition von Funktionen. Es ist der Betrag, hinten drin steht aber nicht x. Die Betragsfunktion, dieser Haken.

Innen drin steht aber nicht x, sondern x minus 1. Von x was abziehen, heißt nach rechts verschieben. Die Betragsfunktion 1 nach rechts verschoben. So sieht das aus. Das ist die linke Seite. Wenn Sie sich nicht erinnern, ob links oder rechts,

wenn Sie für x 1 einsetzen, wird das offensichtlich 0. Bei x gleich 1 muss der Scheitel von meiner Betragsfunktion sitzen. Dann kommt da 0 raus. Jetzt vergleichen Sie. Wo ist die rote Funktion über der grünen Funktion? Das ist gefragt. Für welche x ist die rote Funktion über der grünen Funktion?

Sie stellen fest, für alle x. Egal welches x Sie nehmen, es ist immer die rote Kurve über der grünen Kurve. Also ist die Lösungsmenge zwangsläufig die Menge der reellen Zahlen. Übrigens nicht die Menge mit der Menge der reellen Zahlen. Das wäre ja ein Beutel. Und darin steckt ein Beutel von Zahlen.

Die reellen Zahlen sind ja schon eine Menge. Die Lösungsmenge wäre die reellen Zahlen. Oder wenn Sie es anders schreiben wollen, das offene Intervall von minusunendlich bis plusunendlich wäre eine andere Schreibweise. Das heißt, wenn Sie den Weg gewählt hätten,

mal eine Skizze zu machen, müssten Sie sofort Okay, die Lösungsmenge sind alle reellen Zahlen. Alternative Schreibweise hier, wenn Sie sagen, alle Zahlen x Element r lösen die Ungleichung. Vielleicht sollte ich das im Satz schreiben.

Alle Zahlen x Element r lösen die Ungleichung. Sternchen. Sternchen soll ich da drüber schreiben. So, dass meine Ungleichung lösen Sternchen. So können Sie es auch schreiben. Also wenn man es aufgezeichnet hätte, wüsste man sofort, was passiert. Wir können es jetzt auch nochmal nach Schema F machen.

Was wäre das Rezept? Hier steht eine stückweise definierte Funktion. Der Betrag ist definiert, indem man sagt, okay, für eine Zahl ab 0 aufwärts, ist der Betrag das, was drinnen steht. Und für eine negative Zahl ist der Betrag

minus die Zahl drinnen. Alternative Definition für den Betrag wäre das mit der Wurzel aus dem Quadrat. Das geht natürlich auch. Betrag ist die Wurzel aus dem Quadrat. Aber dann haben Sie gleich zwei sehr unschöne Funktionen in dieser Ungleichung drin. Würde ich nicht machen. Also, der Betrag einer Zahl x soll sein

die Zahl x, wenn die Zahl 0 oder größer ist, minus x, wenn die Zahl negativ ist. Der Betrag ist stückweise definiert. Und das ist der Grund, weshalb ich jetzt eine Fallunterscheidung brauche, wenn ich das ganz formal nach Schema F mache.

Ich brauche einmal den Fall, dass x minus 1 größer gleich 0 ist. Dann ist der Betrag auf die eine Weise definiert. Und ich brauche den Fall, dass x minus 1 kleiner ist als 0. Dann ist der Betrag auf die andere Weise definiert. Also habe ich die Ungleichung von oben. Ist logisch äquivalent zu.

Jetzt habe ich es schon wieder vergessen. x minus 1 stand im Betrag. x minus 1, das, was im Betrag steht, ist größer gleich 0. Und so weiter. Oder x minus 1 ist kleiner 0. Das sind jetzt meine beiden Fälle. Diese beiden Fälle hier. Im Betrag steht was ab 0 aufwärts oder was Negatives.

Ab 0 aufwärts oder negativ. Und in jedem der beiden Fälle muss die Ungleichung gelten. Betrag größer als x minus 2. Der Betrag aus x minus 1 größer als x minus 2.

Und hier unten genauso x minus 1 im Betrag größer als x minus 2. Das Nette ist nun, dass ich mit meiner Fallunterscheidung den Betrag hier loswerden kann. Wenn x minus 1 größer gleich 0 ist, dann steht im Betrag etwas ab 0 aufwärts. So was er gerade gemacht.

Also kann ich den Betrag vergessen. x minus 1 ist in diesem Fall eine Zahl größer gleich 0. Also kann ich die Betragstriche loswerden. Im zweiten Fall steht dann eine negative Zahl in den Betragstrichen. Also mache ich aus den Betragstrichen Klammern und setze ein Minus davor. Der Betrag ist minus das, was drinnen steht.

Wenn Sie das hier natürlich ausrechnen. Minus x plus 1 haben Sie 1 minus x. Minus minus 1 plus 1 minus x. Das heißt, man kann auch einfach sagen, wir drehen von allen Summanden, die da stehen, jeweils das Vorzeichen um.

So können Sie es auch sagen. Und damit ist der Betrag weg. Das war der Sinn der Fallunterscheidung, weil einige Leute gerade sich fragten, muss ich jetzt auf der linken Seite auch größer 0, kleiner 0 unterscheiden? Diese Unterscheidung größer gleich 0, kleiner 0 mache ich nur wegen des Betrags. Wenn ich natürlich noch mehr stückweise definierte Funktionen hier in meiner Ungleichung habe,

werde ich entsprechend viel mehr Fallunterscheidungen noch machen müssen. Hier gibt es nur eine einzige. Und die werde ich jetzt los durch diese Fallunterscheidung. Und der Rest dürfte, dürfte, dürfte, sagt man ja immer so, dürfte keine große Überraschung sein. Aber gucken wir mal.

x minus 1 größer gleich 0. Das heißt, x größer gleich 1. Auf beiden Seiten 1 addieren. Und so. Hier steht jetzt x minus 1 größer x minus 2. Das schreibe ich gerade noch mal hin, ist noch nicht fertig. x minus 1 größer x minus 2.

Was halten Sie von dem? Weil an einer Stelle gerade die Frage kam, ja das ist jetzt ja blöd, das kann ich nicht nach x auflösen. Sie subtrahieren auf beiden Seiten x. Das dürfen Sie machen mit einer Ungleichung. Wenn 42 größer als 13, dann ist auch 40 größer als 11.

Oder 45 größer als 16. Sie dürfen auf beiden Seiten einer Ungleichung addieren, dasselbe addieren oder dasselbe subtrahieren. Hier subtraiere ich auf beiden Seiten x. Also minus 1 größer minus 2. Dann habe ich jetzt ja nicht nach x aufgelöst. Huch. Aber Sie sehen, was Sie haben, das ist immer wahr. Minus 1 ist immer größer als minus 2.

Hier steht ja gar kein x mehr drin. Das ist eine wahre Aussage. Also ist das, was hier gestanden hat, auch immer wahr. Und wenn es immer wahr ist, in dem und. Das machen Sie mit einem Ding, das immer wahr ist in einem und. Genau, das können Sie wegstreichen.

x größer als 1. Und außerdem soll etwas passieren, was immer wahr ist. Dann können Sie das, was immer wahr ist, aus dem und auch einfach weglassen. Den hier können Sie ignorieren. Wahr oder falsch. Und wahr ist immer der Wert des Vorderen.

So, das war der obere Teil. Oder x minus 1 kleiner 0. Und hier kann man jetzt tatsächlich dann nach x auflösen. Vielleicht schreibe ich noch einmal hin, was da stand. Und 1 minus x, 1 minus x größer x minus 2. Das stand da ja original.

Was passiert, wenn Sie das nach x auflösen? Man kann es in verschiedenen Reihenfolgen machen. Ich würde lieber als erstes dafür sorgen, dass das x auf einer Seite steht. Und das haben Sie, wenn Sie x addieren auf beiden Seiten. Dann ist es links weg. Wenn Sie x addieren und zur rechten Seite haben Sie 2.

Also 1 ist größer als 2x minus 2. Auf beiden Seiten x addiert. Und jetzt auf beiden Seiten 2 addieren. Dann ist die 2 rechts weg. Und links haben wir 3. 3 ist größer als 2x. Und jetzt können Sie durch 2 teilen.

Und haben 3 halbe ist größer als x. Addieren, subtrahieren auf beiden Seiten eine Ungleichung. Sollte keine Aktion sein. Wenn das eine kleiner ist als das andere und Sie addieren was,

dann ist es immer noch kleiner als das andere. Sie subtrahieren was, dann ist es immer noch kleiner als das andere. Beim addieren und subtrahieren wird nicht schief gehen auf beiden Seiten. Was ist mit dem Teilen? Hier teile ich durch 2. Ich habe vorher... Auf der linken Seite steht etwas größeres als rechts.

Ich teile durch 2. Okay, dann ist das auf der linken Seite immer noch größer als auf der rechten Seite. Welchen Ärger kann ich aber beim Teilen haben? Also genau, Vorsicht beim Teilen. Wenn Sie durch was negatives teilen... Durch 0 dürfen Sie sowieso nicht teilen. Wenn Sie durch was negatives teilen, durch minus 2...

Dann kriege ich ja negative Zahlen. Dann sehen Sie, dann ist es falsch rum. Wenn Sie durch was negatives teilen, müssen Sie das Ungleichungszeichen umdrehen. Aus dem größer wird ein kleiner, aus dem größer gleich wird ein kleiner gleich. Hier kein Problem. Ich teile durch was positives. Ich teile durch 2.

Dann bleibt das Ungleichungszeichen so, wie es da war. Sollte man die beiden zusammenfassen... Sie sehen, hier sollte ich auch noch sagen, x ist kleiner als 1. So, die beiden zusammenfassen. x ist kleiner als 1 und x ist kleiner als dreihalbe.

Was machen Sie daraus? x ist kleiner als 1 und x ist kleiner als dreihalbe. Bleibt x ist kleiner als 1. Vielleicht sollte ich das nochmal mit meinen Zahlenstrahldiagrammen aufmalen. 1 und dreihalbe. x ist kleiner als 1, heißt alles bis zu 1, aber nicht die 1.

x ist kleiner als dreihalbe, oder dreihalbe ist größer als x. Das heißt, alles bis zu dreihalbe, aber nicht dreihalbe. Das und sucht alle, die beides erfüllen. Alle Zahlen, die hier liegen, und da liegen. Die Schnittmengen. Sie sehen, okay, das ist dann bis zur 1, ohne die 1.

Das wird das Ergebnis sein. Zusammen haben wir x ist größer gleich 1. Oder, hier unten, x ist kleiner als 1. Alle Zahlen, die größer gleich 1 sind oder kleiner als 1 sind, lösen diese Ungleichung.

Na schön, das sind alle. Denn reelle Zahlen sind entweder größer gleich 1 oder kleiner 1. Das ist eine wahre Aussage. Was wir schon wussten aus dem Diagramm, diese Ungleichung stimmt immer.

Ich sollte jetzt zu dem Größergleich noch etwas sagen, was ich gerade eben gesehen hatte beim Rummengehen. Wenn Sie diese Fallunterscheidung machen. Vorsicht, beim Betrag steht hier Größergleich. Was im Betrag steht, kann ja auch Null sein. Manchmal hat man Fallunterscheidungen, wo hier nun größer und kleiner steht.

Zum Beispiel, wenn es ums Teilen geht. Wenn ich einen Nenner wegholen will und weiß, dass der sowieso nicht Null sein kann. Dann reicht mir das Größer. Aber hier bei dem Betrag brauchen Sie wirklich das Größergleich. Genau wie es in der Definition der Funktion steht. Nämlich, wenn Sie nicht das Größergleich hätten. Wenn Sie vor, Sie hätten hier nur das Größer.

Dann zum Schluss, würde Ihnen die Zahl 1 fehlen. Und Sie würden sagen, okay, alle Zahlen, aber nicht die Zahl 1. Was offensichtlich nicht die richtige Lösung ist. Also vorsichtig, diese feinen Unterschiede führen schon zu bedeutsamen Ergebnissen im Zweifelsfall. Die Fallunterscheidung hier ist genau dieselbe wie in meiner Funktion.

Größergleich und kleiner. Eine Alternative wäre, dass Sie hier oben schreiben, Größer und hier unten kleiner gleich. Dann kriegen Sie ja dieselbe Funktion raus. Minus Null ist gleich Plus Null. Und hier schreiben, Größer und kleiner gleich. Muss dasselbe Resultat werden.

Ist aber eher ungewöhnlich, muss ich sagen. Ich würde die Betragsfunktion doch lieber mit Größergleich und kleiner hinschreiben. Vielleicht kann es manchmal geschickter sein, hier oben das Größer zu haben und hier unten das kleiner gleich zu haben. Denke ich eher selten an. Vielen Dank.