Vielleicht nochmal direkt am Lotto, Lotto ohne Zusatzzahl, sonst wird es ganz kompliziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau vier Richtige zu haben, also nicht sechs

Richtige, das haben wir letztes Mal, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, vier Richtige, nicht fünf, nicht sechs, nicht drei, nicht zwei, nicht eins, genau vier Richtige zu haben. Genau, das heißt in der Mathematik immer exakt, nicht ein weniger, nicht ein mehr,

sondern genau vier Richtige zu haben. Das hat natürlich auch wieder mit Binomialkoeffizienz zu tun, aber allerdings auf eine etwas kompliziertere Art. Am einfachsten ist folgendes,

stellen Sie sich vor, Sie wüssten schon, welche Zahlen gezogen werden, angenommen Sie schon, Sie hätten eine prophetische Gabe und könnten jetzt sagen, oh, das sind die Zahlen 12, 13, 42, 43, 44, 45, die werden gezogen. Das sind meine sechs Richtigen. Dann heißt ja

vier Richtige, vier von diesen und zwei von den anderen. In die Richtung mal denken, wie viele Möglichkeiten gibt es von den sechs Zahlen, wenn man so tut, als ob man sie schon kennt, von den sechs Zahlen vier zu haben, das sind dann die vier Richtigen und

noch zwei dazuzunehmen von den anderen. Also der Gedanke ist folgender, ich stelle mir vor, ich wüsste schon, welche sechs Zahlen gezogen werden. Aus diesen sechs Zahlen brauche

ich die vier Richtigen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Sechs über vier. Aus sechs Zahlen, verschiedene Zahlen, vier ziehen, vier verschiedene ziehen, ohne Reihenfolge. Aus diesen sechs Zahlen, die es dann nachher werden, als Richtige, nehme ich vier heraus. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür. Dann habe ich vier Plätze gefüllt. Sie nehmen vier heraus. Nehmen

wir die vier von mir aus. Die vier nehme ich raus. Aus denen. Dann habe ich aber noch zwei Plätze zu füllen. Die beiden Plätze, die ich zu füllen habe, Plätze ist schlecht ausgerückt, ich habe noch zwei weitere Gugeln zu ziehen, die ziehe ich nicht aus den sechs Richtigen,

sondern die ziehe ich aus den 43 falschen. Aus den 43 falschen, neben den ganzen anderen Zahlen, ziehe ich noch zwei. Und da sehe ich gerade, dass das noch ein bisschen schwierig ist. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, hoch. Was machen wir jetzt mit den beiden hier?

Das ist unabhängig voneinander. Die vier, die Sie hier ziehen, die haben nichts mit den zwei zu tun, die Sie aus dem Rest ziehen. Das geht komplett unabhängig voneinander. So wie bei den Münzen. Ob die erste Münze auf Kopf oder Zahl fällt, ist komplett unabhängig davon,

ob die zweite Münze auf Kopf oder Zahl fällt. Es wird multipliziert. Sie haben so und so viele Möglichkeiten von den sechs richtigen Zahlen. Vier zu wählen und für jede dieser Wahlen nehmen Sie nochmal zwei von den falschen. So viele Möglichkeiten gibt es für zwei von

den falschen Zahlen. Die werden multipliziert. Was an dem Minus schon ganz schwer auffallen würde, wäre, dass es weniger wird. Wenn Sie da ein Minus schreiben, das wird ja weniger. Sie haben so und so viele Möglichkeiten und können jetzt noch mehr wählen. Zwei weitere

wählen, dann ist das ganz komisch. Wenn es noch weniger wird, das müssen ja mehr Möglichkeiten werden. Also wenn überhaupt plus, aber plus wäre auch, dass ich jetzt zwei ganz verschiedene Sachen addiere. Wie viele Telefonnummern gibt es, die mit 110 anfangen, wie viele Telefonnummern gibt es, die mit 112 anfangen, dass ich zwei verschiedene Sachen

addiere. Auch nicht. Jede Möglichkeit, Vier zu ziehen, für die habe ich nochmal so und so viele Möglichkeiten, zwei falsche zu ziehen, mal. Also das ist die Anzahl aller günstigen Fälle und die teile ich durch die Zahl aller, insgesamt also die Zahl der Kombinationen von sechs Zahlen

aus 49. Das ist die Wahrscheinlichkeit, den Vierer zu haben. Exakten Vierer, keinen Fünfer, keinen Dreier, ohne Zusatzzahl. Das nennt sich zum googeln die hypergeometrische Verteilung. Das hört sich grandios an, wenn Sie das kennen. Hypergeometrische Verteilung, irgendwie

wie Raumschiff Enterprise geradezu. Irgendwelche fantastischen Sachen. Ist aber nichts anderes, als wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto, keinen richtigen, einen richtigen,

zwei, drei, vier, fünf, sechs Richtige zu haben. Auf andere Fälle übertragen. Das ist der Fachbegriff dafür. Können wir vorsichtig gucken, ob man das näherungsweise rauskriegt. Das sieht ja relativ freundlich aus, anders als gerade das mit den zwei hochhundert.

Dieses Ding hier ist also sechs über vier. Ich ziehe aus sechs Sachen vier verschiedene. Die erste, die zweite, die dritte, die vierte und ignoriere die Reihenfolge durch vier Fakultät. Aus 43 ziehe ich zwei. 43 Möglichkeiten für die erste, 42 für die zweite und ich

ignoriere die Reihenfolge. Kannst vorwärts oder rückwärts stellen bei zwei. Und dann teile ich noch durch 49 über 6. Also 49 mal 48 mal 47 mal 46, 45, 44. Die Zahl der

Möglichkeiten mit Reihenfolge und ich vergesse die ohne Reihenfolge. 2, 1. Da müsste man schon gehörig kürzen können. Ich bin jetzt nicht ganz so glücklich, was ich hier zum

Kürzen sehe. Mal sehen. Die zwei, die zwei, die drei, die drei, die vier. Das könnte man versuchen überstärkig zu rechnen, aber das ist jetzt gerade nicht so prickelnd. Wenn Sie das dann

doch ausnahmsweise im Taschenrechner eintreten, haben Sie irgendwas bei 0,001, 1 Promille. Also auch das kann man ausrechnen. Da kommen plötzlich dann Produkte von binomial koeffizient.

Das heißt, man muss ein bisschen vorsichtig sein. Sie können jetzt nicht einfach irgendwelche Zahlen nehmen. Es ist nicht nur 4 aus 6, es ist nicht nur 4 aus 49, sondern Sie müssen tatsächlich eine Idee haben, was Sie da rechnen, um auf solche Formeln zu stoßen.